параметрического утверждения существования " х $ у А (х, у) («для

всякого х существует у такой, что А (х, у)» ) предполагает

указание «общего» конструктивного процесса, начинающегося с произвольного

конструктивного объекта х данного исходного типа и заканчивающегося

построением искомого у. Другими словами, " х $ у А (х, у)

выражает существование алгоритма, находящего у, исходя из х.. Из

такой трактовки существования вытекает и конструктивное понимание дизъюнкции:

суждение « А или В» считается установленным, только если предъявлен

конструктивный процесс, заканчивающийся указанием его верного члена. Дальнейшее

разъяснение смысла суждений более сложной структуры и выработки правил

обращения с ними, соответствующих исходным конструктивным установкам,

составляет задачу конструктивной семантики и конструктивной логики. Приведенная

конструктивная трактовка утверждений существования и дизъюнкции существенно

отличается от традиционной: в теоретико-множественной математике, например,

суждение $ х А (х) может быть доказано приведением к нелепости его

отрицания. Такое доказательство обыкновенно не содержит никакого способа

построения искомого конструктивного объекта. Конструктивная математика считает,

что подобное рассуждение доказывает не $ х А (х), а его «двойное

отрицание», то есть ù ù $ х А (х). Последнее суждение

рассматривается в конструктивной математике как, вообще говоря, более слабое,

чем $ х А (х). Таким образом, конструктивная математика не принимает

закона снятия двойного отрицания, а, следовательно, и закона исключенного

третьего (на отсутствие оснований для принятия последнего указывает и

конструктивная трактовка дизъюнкции).

Первоначальные математические структуры – натуральные, целые и рациональные

числа – непосредственно могут трактоваться как слова некоторых простых типов в

фиксированном алфавите, при этом соответствующие отношения равенства и порядка

легко сводятся к графическому совпадению и различию слов. Введение более

сложных структур – действительных чисел, функций над ними и т. д.

–осуществляется в конструктивной математике на основе понятия алгоритма,

играющего в ней примерно такую же роль, какую играет в традиционной математике

понятие функции. Считая интуитивные представления об алгоритмах слишком

расплывчатыми для таких построений, конструктивная математика делает здесь

принципиальный шаг, стандартизируя используемые алгоритмы посредством принятия

одного из современных точных определений этого понятия вместе с соответствующей

гипотезой типа Чёрча тезиса, принципа нормализации и т.д., утверждающей

совпадение оперативных возможностей, доставляемых алгоритмами в интуитивном и

точном смысле слова. Фактически наибольшее применение в конструктивной

математике получили нормальные алгорифмы Маркова. К необходимости

уточнения понятия алгоритма приводит также и конструктивная трактовка

существования. Например, отрицание суждения " х $ у A (х,у) есть

утверждение о невозможности некоторого алгоритма, между тем интуитивные

представления, достаточные для опознания в качестве алгоритма того или иного

конкретного предписания, в принципе не позволяют получать сколько-нибудь

нетривиальные теоремы невозможности. На основе изложенных принципов и опираясь

на современную теорию алгоритмов, конструктивная математика строит ряд

математических дисциплин, в том числе и конструктивный математический анализ,

включая сюда элементы функционального анализа, дефференциальные уравнения,

теорию функций комплексного переменного и т.д.. Получаемые таким образом

теоретические модели, основанные на более скромной чем обычносистеме

абстракций, хотя и уступают традиционным в прозрачности и элегантности, тем не

менее, по-видимому, способны обслужить тот же круг приложений.

Имея общий критический источник с интуиционимтической математикой Л.Брауэра и

заимствовав из неё ряд конмтрукций и идей, контруктивная математика

обнаруживает определённое сходство с последней. Вместе с тем, здесь имеются и

принципиальные отличия как общефилософского, так и конкретно математического

характера. Прежде всего констуктивная математика не разделяет интуиционизму

убеждение е первоначальном характере математической интуиции, считая, что

сама эта интуиция формаируется под влиянием практической деятельности

человека. Соответственно абстрагирование в конструктивной математике идет не

от умственных построений как в интуиционизме. А от простейших реально

наблюдаемых, конструктивных процессов. В математическом плане конструктивная

математика не принимает выходящую за рамки конструктивных процессов и

объектов концепцию свободно становящейся последовательности и основанную на

ней интуиционистскую теорию континуума как среды свободного становления. С

другой стороны, интуиционистическая математика не принимает правила

конструктивного подбора и не считает необходимым элиминировать интуитивные

алгоритмы при помощи соответственных точных определений. Следует заметить,

что в последние годы наметилась определённая тенденция к сближению

конструктивного и интуитивного подходов; в некоторых конструктивных

исследованиях, в особенности относящихся к семантике, используются

индуктивные определения и соответствующие им индуктивные доказательства,

напоминающие построения Л. Брауэра при доказательстве им так называемой бар-

теоремы, занимающей одно из центральных мест в интуиционистской математике.

2. КОНСТРУКТИВНАЯ СЕМАНИТКА КАК СОВОКУПНОСТЬ СПОСОБОВ ПОНИМАНИЯ СУЖДЕНИЙ В

КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКЕ.

Небоходимость в особой семантике вызвана различием общих принципов, лежащих в

основе традиционной (классической) и конструктивной математики. Особое

внимание конструктивная семантика уделяет суждениям о конструктивных объектах в

языках первого порядка, то есть, по существу, арифметическим суждениям.

Принципиальные различия с традиционной семантикой в понимании дизъюнкций

A0ÚA1 сформулированы Л. Брауэром. Контструктивное обоснование таких

сужднеий требует решения задачи: найти число i £ 1 такое, что

верно Ai (соответственно найти число n такое, что А(n)). Общие

принципы описания задач, соответствующих более сложным формулам юыли намечены

А. Гейтингом и А.Н.. Колмогоровым. Точная формулировка (которая стала возможна

после появления математического определения алгоритма) была дана С. Клини в

виде понятия реализации замкнутой арифметической формулы. Реализация вернорго

равенства t=r есть фиксированнная константа, например число 0, а ложное

равенство не имеет реализаций. Реализация конъюнкции А&В –это пара

(a,b),где a – реализация А, а b – реализация В

. Реализация дизъюнкции A0ÚA1 - это пара (i,a), где

i =0,1 и a - реализация суждения A1. Реализация суждения

$ х A (х) - это пара (n,a), где n – число, a – реализация

суждения А(n). Реализация суждения " х A (х) - это общий метод

¦, который по всякому натуральному n выдаёт реализацию ¦(n)

суждения А(n). Реализация суждения А É В – это общий

метод ¦, который по всякой реализации а суждения А

выдаёт реализацию ¦(а) суждения В (и может быть не определён для

аргументов а, не являющихся реализациями А). При этом общий

метод понимается как алгоритм (частично рекурсивная функция). Используя

кодирование алгоритмов числами, можно записать условие «число е есть

реализация формулы А» в виде арифметической формулы (erA), не

содержащей дизъюнкции V и содержащей существование $ только

перед равенствами. Такие формулы называются почти нормальными. Суждение $

e (erA) (читаемое «А реализуемая») может служить конструктивным

разъяснением суждения А. При таком понимании закон исключённого

третьего " х (A (х) Ú ù А (х)) опровергается,

например, для A (x) = E y T (x,x,y), где T (e,x,y) означает,

что алгоритм (с кодом) е заканчивает работу над аргументом x за

у шагов. Опровергается и закон двойного отрицания " х (ù ù

В (х) É В (х)), например для В (х)=A (х) Ú

ù А (х). Приведенное определение связывает конструктивную задачу

(поиск реализации) со всяким суждением A, даже если А не

содержит Ú, $. Предложенный Н.А. Шаниным алгоритм выявления

конструктивной задачи не меняет формул без Ú, $ (нормальных

формул) и эквивалентен реализуемости в формальной интуиционистической

арифметике с бескванторной индукцией. Произвольные формулы сводятся к почти

нормальным, так как основания для почти нормальных формул, содержащих Ú

и нетривиальное $.

А.А. Марков определяет истинность для почти нормальных формул с помощью

выводимости по обычным правилам для рассматриваемых логических связок плюс

эффективное w-правило: если имеется общий метод, позволяющий для любого n

устанавливать выводимость А(n) из суждения К, то " х A(х)

выводимо из К.. Истинность определяется постепенно. Язык Яw ,

состоящий из из формул без É,"; язык Яn+1, n ³ 1,

включая Яn и формулы, которые можно построить из формул языка Яn

одним применением импликации и любым числом применений А, &.

Истинность для Я1 – формул – это выводимость по обычным правилам для

&, $, Ú. Истинность для Я2 -формул определяется через

допустимость соответствующего правила. Например, истинность $ х R (х)

É $ y T (y) означает наличие алгоритма j такого, что

R (n) É T (j (n )) для любого числа n. Для Яn+1 –

формул при n>1 истинность конъюкций и " -формул определяется

обычным образом через истинность компонента, а истинность импликации А

É В означает выводимость В из А по некоторым

правилам Sn, о которых уже доказано, что они сохраняют истинность

Яn – формул. Системы Sn содержат w-правило, а в качестве аксиом –

все истинные Яn – формулы. Понятие выводимости в Sn вводится

обобщенным индуктивным определением, а для доказательства метатеорем

применяется соответствующий принцип индукции. Индукцией по S2 – выводу

доказывается допустимость правила "

É ù ù $ х R - А É $ х R . Оно включается

в S3 и даёт принцип Маркова ù ù $ х R É

$ х R.. Системы Sn+3 , n ³ 1, состоят из обычных

правил для рассматриваемых связок, включая w-правило. Оказывается, что

почти нормальная формула А истинна по Маркову тогда и только тогда,

когда примитивно рекурсивное дерево Tа поиска вывода формулы А

без сечения (но с w-правилом и принципом Маркова) является выводом в

смысле индуктивного определения. Это эквивалентно (в рамках классической

математики) классической истинности А.

В мажоритальной семантике Н.А. Шанина для каждой почти нормальной формулы А

определяется трансвинитная иерархия {А a} формул простой

структуры, причём А a É А доказуемо в подходящей

формальной системе. Формула А a называется мажоритарной

для А,и А считается истинной формулой ранга a, если А

a верна. Точность аппроксимации растёт с ростом a : a < b

É( А a É А b). Если отвлечься от

технических деталей, то формула А строится с помощью a - кратного

вынесения кванторов, согласно эквивалентности

ù ù (ВÚù ù $ u" vC (u, v))« $ u" vù ù (BÚù ù $ u" vC(u, v) Ú C(u, v)),

и сворачивания цепочек кванторов с помощью алгоритма выявления конструктивной

задачи. Это даёт доказуемую в арифметике с транксфинитной индукцией до a

эквивалентность

А« $ u" vù ù (ù ù $ w С a Ú Da)

с бесквантовой формулой С a, так что

А a = $ u" v $ w С a (u, v, w)

оказывается мажорантой для А. Суждение оказывается с точностью до технических

деталей, эквивалентным утверждению о существовании вывода высоты <a

исходной формулы с использованием w-правила. В этом смысле мажоритарная

семантика эквивалентна ступенчатой семантике А.А. Маркова. После фиксации

некоторого класса q общекурсивных функций (например, класса всех функций,

определимых пекурсией до a ) определяются мажоранты ещё более простой

структуры:

$ u" v С a (u, v, j( v)) для jÎq .

Если К – бесквантовое исчисление для класса q, то К-

истинность $ u " v C (u, v) определяется как выводимость

формулы С (t, v) c переменной v для некоторого постоянного

терма t. Если в качестве К взято стандартное исчисление

равенств для функций, определимых рекурсией до ординалов, меньших a, то

К- истинными оказываются формулы, выводимые в формальной интуиционной

арифметике, пополненной принципом Маркова, соотношениями, определяющими

алгоритм выявления конструктивной задачи, и правилом индукции до ординалов b

таких, что e (b) – первое e - число, большее b. В частности, a=e0 для

b=w, т.е. для обычной индукции.

Доведение обоснования до бескванторного уровня (К- истинность) связано со

стремлением остаться по возможности в рамках финитизма, т.е. бескванторного

языка и соответствующих логических средств. С этим же связано стремление

ограничиться небольшими a.. Для большей части «работающего»

конструктивного анализа (включая теорему о непрерывности эффективных

операторов) достаточно конечных a..

2. СТРУКТУРА КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ

1).КОНСТРУКТИВНОЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО.

Конструктивное действительное число – понятие действительного числа,

употребляемое в конструктивной математике. В более широком смысле –

действительное число, конструируемое в соответствии с тем или иным кругом

конструктивных средств. Близкое значение имеет термин «вычислимое

действительное число», обычно употребляемый в тех случаях, когда не ставится

цель изначального, нетрадиционного, нетрадиционного построения континуума, а

речь идёт просто о классических действительных числах, вычислимых в том или

ином смысле посредством некоторых алгоритмов.

2) КОНСТРУКТИВНЫЙ ОБЪЕКТ.

КОНСТРУКТИВНЫЙ ОБЪЕКТ — название, установившееся за математич. объектами,

возникающими в результате развертывания так называемых конструктивных

процессов. При описании того или иного конкретного конструктивного процесса

обычно «...предполагается, что отчетливо охарактеризованы объекты, которые в

данном рассмотрении фигурируют в качестве нерасчленяемых на части исходных

объектов; предполагается, что задан список тех правил образования новых

объектов из ранее построенных, которые в данном рассмотрении фигурируют в

качестве описаний допустимых шагов конструктивных процессов; предполагается,

что процессы построения осуществляются отдельными шагами, причем выбор

каждого очередного

шага произволен в тех границах, которые определяются списком ранее

построенных объектов и совокупностью тех правил образования, которые

фактически можно применить к ранее построенным объектам». Такое описание

конструктивного процесса, а тем самым и Конструктивного объекта, разумеется,

не может претендовать на то, чтобы быть точным математич. определением.

Однако конкретные математич. теории всегда имеют дело лишь с такими

конкретными типами Конструктивного объекта, которые допускают точную

характеризацию. Приведенное выше описание Конструктивного объекта служит в

таких ситуациях ориентиром для выбора соответствующих точных

определений.Примером точно определенного типа Конструктивного объекта могут

служить слова в каком-либо фиксированном алфавите (буквы этого алфавита

играют роль исходных объектов; новые слова получаются из уже имеющихся путем

приписывания к последним справа букв рассматриваемого алфавита). Другими

примерами типов Конструктивного объекта могут служить конечные графы,

конечные абстрактные топологические комплексы, релейно-контактные схемы

(выбор соответствующих исходных объектов и правил образования не представляет

труда). Как Конструктивный объект могут быть также определены рациональные

числа, алгебраические многочлены, алгоритмы и исчисления различных точно

определенных типов, автоматы конечные, конечно определенные группы и другие

им подобные математич. объекты.

Конструктивные объекты играют важную роль в тех математич. теориях, в к-рых

возникает потребность в рассмотрении объектов, допускающих отчетливое

индивидуальное задание средствами той или иной математич. символики. В рамках

теоретико-множественной математики, неограниченно использующей абстракцию

актуальной бесконечности, Конструктивный объект и произвольные множества

Конструктивного объекта рассматриваются одновременно и наравне с прочими

математич. Объектами, среди которых Конструктивные объекты выделяются лишь

своей большей «осязаемостью». В рамках конструктивной математики

Конструктивные объекты или объекты, задаваемые ими) представляют собой

единственно допускаемый к рассмотрению тип математич. объектов, и

рассмотрение их здесь ведется на базе отказа от применения абстракции

актуальной бесконечности и на основе специальной конструктивной логики,

учитывающей, в частности, специфику определения Конструктивного объекта.

3). КОНСТРУКТИВНОЕ МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО.

Концепция метрич. пространства используется в конструктивной математике.

Близкий смысл имеет также понятие рекурсивного метрического пространства.

Список { ,р}, где - некоторое множество конструктивных объектов

(обычно слов в том или ином алфавите), р - алгоритм, переводящий любую пару

элементов в конструктивное действительное число, названный

Конструктивным математическим пространством, если при любых X, У, Z Î

выполняется: 1) р(Х, Х)=0, 2) р(Х, У) £ р(Х, Z)+р(У, Z) (здесь и ниже

термин "алгоритм" употребляется в смысле одного из точных понятий алгоритма).

Множество и алгоритм р называются носителем и метрическим алгоритмом

соответствующего Конструктивного метрического пространства, а элементы -

точками этого Конструктивного метрического пространства. Из аксиом 1), 2)

следует, что всегда р(Х, У)³0 и р(Х, У)= р(У, X). Две точки, X, YÎ

называются эквивалентными (различными) в Конструктивном метрическом

пространстве { , р}, если р(Х, У)=0 (соответственно р(Х,У)¹0).

III. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Роль «конструирования» в математике.

Математики действуют, применяя процесс «конструирования»; они «конструируют»

сочетания все более и более сложные. Возвращаясь затем путем анализа этих

сочетаний — этих, так сказать, совокупностей — к их первоначальным элементам,

они раскрывают отношения этих элементов и выводят отсюда отношения самих

совокупностей.

Это — процесс чисто аналитический, однако он направлен не от общего к

частному, ибо совокупности, очевидно, не могут быть рассматриваемы как нечто

более частное, чем их составные элементы.

Этому процессу «конструирования» справедливо приписывали большое значение и

желали в нем видеть необходимое и достаточное условие прогресса точных наук.

Несомненно, что оно необходимо; но оно не является достаточным.

Для того чтобы конструирование- могло быть полезным,чтобы оно не

было бесплодным трудом для разума, чтобы оно могло служить опорой для

дальнейшего поступательного движения, надо, чтобы оно прежде всего обладало

некоторым родом единства, которое позволяло бы видеть в нем нечто иное,

чем простое наращивание составных частей. Говоря точнее, надо, чтобы в

анализе конструкции выявлялось некоторое преимущество сравнительно с анализом

ее составных элементов.

В чем же может заключаться это преимущество? Зачем, например, надо рассуждать

не об элементарных треугольниках, а о многоугольнике, который ведь всегда

разложим на треугольники? Это делается потому, что существуют свойства,

принадлежащие многоугольникам с каким угодно числом сторон, которые можно

непосредственно применить к любому частному многоугольнику.

Весьма часто, напротив, только ценой продолжительных усилий можно бывает

найти эти свойства, изучая непосредственно соотношения элементарных

треугольников. Знание общей теоремы освобождает нас от этих усилий. Если

четырехугольник есть не что иное, чем соединенные рядом два треугольника, то

это потому, что он принадлежит к роду многоугольников.

Конструирование становится интересным только тогда, когда его можно сравнить

с другими аналогичными конструкциями, образующими виды того же родового

понятия. Необходимо еще, чтобы было возможно доказывать родовые свойства, не

будучи вынужденным обосновывать их последовательно для каждого вида. Чтобы

достигнуть этого, необходимо вновь подняться от частного к общему, пройдя

одну или несколько ступеней.

Аналитический процесс «конструирования» не вынуждает нас опускаться ниже, а

оставляет все на том же уровне.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Анри Пуанкарэ, О науке, -М; «Наука», 1983 г.

2. Математическая энциклопедия, - М; «Советская энциклопедия», 1979 г.,

том II.

3. Фор Р., Кофман А., М. Дени-Папен, -М; Современная математика, «Мир»,

1966г.

4. Марков А.А., Теория алгоритмов, -М; 1954 г.

5. Марков А.А., О логике конструктивной математики, -М; 1972г.

Страницы: 1, 2