|
В следующем примере решение показательного неравенства является составляющей
более сложной задачи, а именно, нахождения области определения
логарифмической функции.
Пример.
Найдите все значения параметра а, при которых в области определения
функции  лежат
числа 20, 50, 70, но не лежат числа 2, 5, 7.
Решение.
 . При  область определения пуста. Рассмотрим два случая.
1)  . Тогда  .
Так как  , то 
. Значит,  . Но в
этом промежутке лежат все положительные числа и, в частности, числа 2, 5, 7.
Поэтому такие значения а не удовлетворяют условию.
2)  . Тогда  . Так как  , то  . Значит,  .
В этом промежутке лежат числа 20, 50, 70, только если его левый конец меньше 20.
А для того, чтобы в нем не было чисел 2, 5, 7, нужно, чтобы левый конец был не
меньше 7. Получается двойное неравенство на параметр 
.
.
Ответ:  .
Рассмотрим следующий пример. В нем исследуется композиция (результат
последовательного выполнения) трех базовых функций: показательной с
основанием 3, затем с обратнопропорциональной зависимостью и, наконец,
показательной с основанием 2.
Пример.
Найдите множество значений функции
Решение.
Функция определена при 
. Рассмотрим случай 
. По свойствам показательной функции с основанием 3, при неограниченном
возрастании х величина 
также неограниченно возрастает от нуля к 
. Так как числитель дроби 
постоянен, а знаменатель неограниченно возрастает, оставаясь положительными, то
сама дробь убывает от 
к нулю, оставаясь положительной. Так как показательная функция с основанием 2
сохраняет характер монотонности, то получаем, что при таком изменении аргумента
х функция у убывает от 
до  . Значит, при
положительных х данная функция принимает все значения от 1 до 
.
Аналогичным образом при убывании отрицательного аргумента х от нуля к 
величина  убывает от
нуля к –1, а значит, величина 
возрастает от  к –1,
оставаясь меньше –1. Так как показательная функция с основанием 2 сохраняет
характер монотонности, то при таком изменении аргумента х функция у
монотонно и непрерывно возрастает от 0 к 
. Значит, при отрицательных х данная функция принимает все значения от 0
до 0,5. Остается объединить ответы.
Ответ:  .
Приведенное решение максимально точно соответствует характеру задания
функции. Уж раз сама исследуемая функция есть результат последовательного
выполнения трех различных элементарных композиций, то и множество ее значений
следует искать последовательно на каждом поле выполняя необходимые
вычисления.
В основу решения некоторых неравенств удается положить следующее простое
наблюдение: если известно что, например, функция 
монотонно возрастает на своей области определения Е и 
, то множеством решений неравенства 
является множество  .
Докажем это утверждение.
Если  и 
, то  , то есть в
точке  неравенство 
не выполняется. Если же 
, то  . То есть
неравенство выполняется на множестве 
и только на нем. Что и требовалось доказать.
В случае неравенств с показательной функцией рассмотренное утверждение
применяется, например, в следующей ситуации:
Решить неравенство
 ,
выполняется одна из двух систем условий:
1)  или 2) 
Решение
Приведем неравенство к виду:
Заменив  , рассмотрим функцию
 . Тогда  .
Кроме того, оба основания
 или  ,
поэтому функция 
монотонно убывает в первом случае и монотонно возрастает в случае (2), как сумма
двух функций монотонно убывает или монотонно возрастает для 
.
Согласно доказанному выше утверждению, искомое неравенство сводится теперь к
одному из неравенств 
.
Пример.
Числа а и b являются длинами катетов, а число с – длина
гипотенузы прямоугольного треугольника. Определить знак числа 
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
| 
