|
|
| Диплом: К решению нелинейных вариационных задач |
Диплом: К решению нелинейных вариационных задач
Казанский государственный педагогический университет.
Дипломная работа
«К решению нелинейных вариационных задач».
выполнил студент 151 группы математического факультета
Салахутдинов М.Ш.
Научные руководители:
КФМН, доцент
Сайфуллин Э. Г.
Ст. Преподаватель Хисматуллина Н.Г.
Казань -1999.
ВВЕДЕНИЕ
Дипломная работа в целом посвящена методам решения экстремальных задач.
Причем более подробно изложены те классы экстремальных задач, которые не
изучаются ни в школьном курсе, ни в педвузовском курсе математики. Однако
основная идея их решения лежит на основе построения математических моделей
экономических задач и их решения.
В первой части дипломной работы рассмотрены простейшие задачи на отыскание
наибольшего и наименьшего значения, которые решаются элементарным способом -
на основе известных неравенств: среднее арифметическое не меньше среднего
геометрического. В случае равенства сумма принимает минимальное значение, а
произведение достигает максимального. Рассмотрены экстремальные значения
квадратного трехчлена, а также решение экстремальных задач с применением
производной.
Далее рассматриваются основные понятия о задачах математического
программирования: транспортная задача линейного программирования;
задача о рационе; задача об оптимальном использовании сырья; рассмотрены
задачи нелинейного программирования (случай нелинейной целевой функции;
случай нелинейной целевой функции и нелинейной системы ограничений).
Во второй части приводятся основные понятия о краевых задачах, примеры
аналитического решения краевых задач, приближенный метод решения. Приводится
сходящийся алгоритм для линейных краевых задач. На основе этого алгоритма при
помощи ЭВМ решены цикл различных краевых задач; численные результаты
приведены в приложениях.
Третья часть посвящена'одномерным вариационным задачам и методам их решения.
Преимущество данной работы в методическом плане заключается в том, что
вариационная задача, в частном случае, может быть сведена к обычной задаче на
отыскание экстремума функции одной переменной, а поэтому позволяет ввести
понятие вариационной задачи уже в школьном курсе в классах с углубленным
изучением- математики, как новый класс экстремальных задач.
Далее в работе приводится вывод уравнений Эйлера-Лагранжа. На их основе
рассмотрены примеры аналитического решения вариационной задачи. Получен
алгоритм решения линейных вариационных задач на основе метода конечных
разностей, которая не решается аналитическими приемами. На основе этого
алгоритма на ЭВМ решены ряд задач, численные результаты приведены в
приложениях.
Другой метод решения вариационных задач - метод Ритца вводится на простейших
примерах, а затем обобщается. Так как оценка точности метода Ритца не
является тривиальной задачей, то сравнительный анализ численных результатов
весьма актуален.
Решение рассмотренных задач методом Ритца и другими приемами, сравнительный
анализ результатов показывает хорошую достоверность этого метода уже в первом
приближении.
В заключении приводится одна новая модификация метода Ритца, при помощи
которой вариационная задача сводится к достаточно простой задаче отыскания
экстремума функции одной переменной. При этом процедура нахождения корня
нелинейного уравнения выполнима лишь приближенными методами. Сравнительный
анализ численных результатов показывает надежность метода. Основная ценность
этой модификации в решении существенно нелинейных задач.
В конце третьей части этой работы приводится идея обобщения рассмотренных
задач на двумерный случай и методом Ритца решается двумерная задача.
I. ОБ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ
1.1. Определение экстремума элементарным способом
Во многих учебных пособиях для 7-х и 8-х классов встречаются неравенства,
связывающие среднее арифметическое и геометрическое:
^ ^
С-г I
где среднее арифметическое больше или равно среднего геометрического, что
очевидно:
°^-^^Г-=? а^г 2.1/ЙГ»;> ({&')^({Г)^ г^\1аГ^ {fS-fT)\0
Причем равенство возможно только при ft=6. При помощи этого неравенства
решаются задачи на экстремум:
1) Положительное числоД представить в виде суммы положительных слагаемых х
и^-^так, чтобы их произведение х-(/^-х) было наибольшим.
Решение: Найти х?о (/Ьх^при гл-сх-х Е Х (А-У)'3 __
о Пусть о-=Х и &=/4-х. Знаем, что ^^clx (a-5J-w-axV'aS = а
——
При 0-^0
т.е. ?< = А-У — Х= ^/^
2) Найти прямоугольник, имеющий данный периметр Р и наибольшую площадь.
Пусть о. и ^ - стороны прямбугольника, тогда .?= 2-(o-t-e) .
Площадь ^а-с' принимает максимальное значение как произведение двух
положительных чисел при (Х-^о. Тогда J?=<?fci<-a,)^a=^, искомый
прямоугольник будет квадратом со сторонами а =- -Р/^
3) Положительное число л представить в виде произведения положительных
множителей X и С^/у)так, чтобы их сумма была наименьшей.
Речение • /-Ссихт-сх. х ^al<- m-t,n, f х+ ух J . Эше-тб cl^ X,
g= ^узс •, ^и-^ (Cl+^)= 2--SS'.
при <Z=6 ,т.е. при х^ /у. -^ X ^Р ^ ^= ip
Значит ^ — р - t-7 ^ L Х+ ^--1 - ^^ Г -/Р^- ^ J ^. JP7
4) Найти минимальное значение функции t/ = Х + /X , т.е.
суммы А-^- /^ ( Х 70^)
m-Lrb ( х -/- ^< ^ 2 / Х-^( = ^ или при Л = ^ ^ ^ =^
тогда . /
г^п. (Х^- Ух) =- /^ // -^
5) Найти при УЮ ,CL70,o-70 наименьшее значение дроби
77 i (ol-i-x)c 6+Х-}
^ Р f)
Решение- iQ^Lli&tl) = Q10- 4" y +-cl+o если сумма У ' у х
CL 4-6 .- ' /- /-
•—.-— + х принимает наименьшее значение и дробь
будет наименьшей, т.е. при а,' & ^ у ^ у,2 ^ cl-u
^' Х^УЛ-о
• (о-^)^) х (а^ {лУ ) ( & г /аТ) /_ /^,2 ^ ^—— -- ————^у————— -(/^Ч&;
Итак, мы привели задачи, для решения которых использовали неравенство Коши
для двумерного случая. Переходим к рассмотрению этой задачи в общем виде.
1.2. Соотношение между средними величинами. Определение экстремума суммы и
произведения из неравенства Коши
Пусть имеется несколько неотрицательных чисел Ct^CLs.,, .., 0^. . Будем
считать, что они пронумерованы в порядке возрастания, т.е. О/ ^О-л. ^ •
^ ^л- • Средней величиной для этих чисел называется всякое число О. ,
удовлетворяющее неравенствам и/ ^ й- ^ 0^ • Вообще говоря, средних
величин имеется сколько угодно. Мы рассмотрим четыре средних величины, наиболее
употребительные в математике:
1. Среднее арифметическое: /U = -°-^ ах- ^ •" + л>\- 0)
~t -L < П-
2. Среднее геометрическое: jl^ -•^ Q.^-CLa.-,„ ' Л^. (2)
3. Среднее гармоническое: ^ = ^ ^^..^ Уси (3)
4. Среднее квадратичное: /Ц -: \ О-^-ь О-а- +^•• -^
^ (4) ^ v п-
Наша задача состоит из двух частей:
а) доказать, что числа А/г, Л. ^/ -^ -действительно средние величины для
СЬ, О-а., - •-, 0^- ,
б) установить неравенства между ними.
В выражении (1) заменить все йс ( L r // ^ •
-, п-) самым наименьшим из них Л< ; получим М^
^ Д< . В выражении (1) заменим все СШ наибольшим из них OLr^
; получим -/У/ l^ Cin. .
Итак:
Аналогично доказываем неравенства:
а/ ^Н^ ^ (^ , а,^ ^ ^ а^ , а< ^ У^ ^ ^ .
Справедливы следующие неравенства:
^ ^ ^-^. ^-л^
^ ^УЧ^ - ^а/-с^-... •а^ '^ q^^^-^q^ ^ -
п-
и причем неравенство возможно только при (Xt •= 0-f. ^... ^ CU^. В
случае ^-^2 - {07~а! ^ ^ ^g2- .
Мы уже это доказали, с общим доказательством можно ознакомиться по книге.
Там же приводится доказательство
Я^ ^УЧ.2 , -Л^ ^-^
1.Если г\ = Ct-f ^-Ол-^-...+• ftn. , то максимальное значение
О^-О.г,--^ достигается при ol< ^ CLa. s.. ^ ^.
= ^ /^ ,
^(a,.cu-..-^)-^-^-...-^A-W.
2. Если Р= ^< • ds.' •.. ' Л^ , то минимальное значение (а
^ <^^-" ^^'-у достигается при CUf Ол^'-- ="
<2и. '= ^УР,
r^^ fo/+C?^+,„^Q^^ /Z-'lfP1.
Рассмотрим частную, но практически важную задачу. Задача 1
Найти прямоугольный параллелепипед с данным объемом \/~, чтобы сумма его
изменений была наименьшей. Дано: а-гО^-й^^ У _^ .найти min. (
Qfi-Qii-Cts ) При СИ = 0^ - 0-5 = v^
rvuLn, ^С?/-ка,1+-^).=3' v \Г , т.е. ребра куба равны v Г .
Более подробное изложение приложений неравенств к элементарному определению
экстремумов более подробно изложено в книгах .
1.3. Об экстремальных значениях квадратного трехчлена
Квадратный трехчлен ^-=-а-х. +6-Jc.-f-c , а. ^ о, представим в виде: -У
^ а ( х-f- &/2а. ) 2 -f- ( с - ё г/^^)
Возможно 2 случая:
О- -70 и ol^-o .
1. О. 70 , ^гъ У^ С - ао. ^и. ^^~°/2о. 2 clz.o,
л^ах ^=- С- ^y^ci, г^/усс ж ^ - %cl
Примеры: / 9 ,
1) ^^•г- 6'зс -^/^^ te-з;^^ / ^•^ ^=^ ^с де^.
2) У---^^S^-У^-2(^--%):LS//^^CL)( У-^/Р п^с ^-Х
Рассмотрим частную задачу, которая играет ключевое значение в теории
оптимизации.
Задача 2.
Даны числа Ci^, Ci^, ..., Ctn. . Найти число У такое,
чтобы сумма / v2 / ,0 / ,2
^п.^ (х-а^)-(-(у-а^)-^,., ч-(^~с^)
имела наименьшее значение. S^ ^•K2-2•(Q^t-CL^-^<^)'X^(Oцi1-Q.^,„^ll^ )^
. ^. ( х- ^^-^) \А, ^ 'А-^^)^^^-^ rv^rv ^^А ^сс эс= ((^+(^f-,„^a^)/h. .
Здесь мы рассматривали лишь простейшие примеры решения задач, с более
сложными задачами можно ознакомиться по литературе.
10
1.4. К решению экстремальных задач с применением производной
Введение изучения производной в школьный курс открыло возможности более
глубокого изучения вопросов физики, рассмотрению прикладных задач. И задачи на
экстремум функции начали рассматриваться с общей точки зрения. Например,
нахождение экстремума трехчлена = а х2-/- ё х + с =T'fxJ
рассматривается при помощи производной:
^= 2.dsei-e^0 ^ r&- -S/2а-критическая точка, при этом если
у4. (^+^)^-2oi£>o ^ ^ (е-(-^) = 2ае^о, п^>
г^с^ У- У (- ^/2о.)^ иначе г^гъ У=^(~ wq,) .
В пункте 28 [1] хорошо изложены правила нахождения максимальных и минимальных
значений функций.
Однако при решении некоторых задач применение элементарных способов более
эффективно, чем применение производной. Например, задача № 367 решается
очень просто элементарным способом:
Данное положительное число разложить на два слагаемых так, чтобы произведение
было наибольшим.
Решение: Пусть U - данное число, а X - одно из слагаемых.
Из условия ^а^ L X^-^J только при Y= О-- Х .находим Х=
°-/S .Обобщение этой задачи, решаемое в вузовских курсах при помощи
экстремума многих переменных следующее.
Задача 3. Положительно^число OL требуется разбить на П.
неотрицательных слагаемых так, чтобы и произведение было наибольшим. Если
<Х данное число, то ft слагаемые будут Я?у, ,„, Д?п-/ ; Ci-( Хг^-,„ч-
^.i). При этом произведение Лу- S?s. •,.,' Хц^' L О. -(х/ ч- ,„ ^
ЗСл.^ ) 3 достигает максимума при Эрг ^ Хл = ,„ = X^.f
^ CL ~ {'У-f -+,., -<• Хп - /) . Отсюда у,-=
Ci-fn-()Vf ц ^= ^/п ,т.е. все слагаемые равны ^/г. . А
решение этой задачи при помощи экстремума функций нескольких переменных весьма
затруднительно.
15
1.6. Экстремальные задачи в неполной средней школе
В курсе математики V - VI классов учащимся нередко приходится решать задачи,
в которых допускается несколько или даже много решений, причем далеко не
всегда равнозначных. В таких случаях можно ставить дополнительный вопрос:
найти наиболее выгодное решение, т.е. решать экстремальные задачи. С такими
задачами приходится сталкиваться при изучении следующих разделов:
"Неравенства", "Площадь и периметр прямоугольника", "Натуральные числа",
"делимость натуральных чисел".
Поскольку ученики V-VI классов встречаются с двойным неравенством, то в этих
классах методом оценки можно решать задачи на нахождение наибольшего и
наименьшего значения линейного выражения a. y-h^ где /ч^эе^/г (лги/?.-
целые неотрицательные числа, ^г- /• п- ).
• -'' '
^
Задача: Стоимость телеграммы вычисляется почтовыми работни
ками по следующему правилу: по 5 копеек за каждое слово и еще 20 копеек за
отправку. Какая может быть наибольшая и наименьшая цена телеграммы, если
количество слов в телеграмме определяется решением неравенства: /^ х- ^ ^0
?
Решение: решение сводится к нахождению наибольшего и наименьшего
значения выражения S'x-^-20 , если //^ а? ^^ , л G /М Сначала
можно предложить вычислить значение выражения при нескольких значениях
переменной, взятых из промежутка ^ ^ х ^ ^ . Замечаем, что
сумма будет наибольшая, если слагаемое -Ух будет наибольшим, т.е. будет
равно 5*40и наименьшим, если слагаемое .^ будет наименьшим, т.е. будет равно
5*17.
Среди экстремальных задач геометрические задачи на вычисление площадей и
периметров представляют очень большой интерес. Решение этих задач в V-VI
классах методом оценки формирует первое представление о максимальном
произведении при постоянной сумме двух переменных и о минимальной сумме при
постоянном произведении.
Задача. Начертите прямоугольник, периметр которого 36 см, и вычислите его
площадь.
Решение: оформим в виде таблицы:
16
| периметр (см) | 36 | 36 | 36 | 36 | 36 | 36 | 36 | 36 | 36 | | длина (см) | 17 | 16 | 15 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | 9 | | ширина (см) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | | площадь (см ) | 17 | 32 | 45 | 56 | 65 | 72 | 77 | 80 | 81 |
Вывод: SHaH6.=81cM при й.=6=.9см
Построение прямоугольников и запись решения в виде таблицы помогает лучше
видеть, как изменяется площадь прямоугольника с постоянной площадью.
Остановимся на решении экстремальных задач в разделе "Натуральные числа".
Здесь на первом этапе решаются самые простые задачи, где число
рассматриваемых элементов невелико. Это во многом упрощает организацию
работы, требует меньше времени и создает хорошую возможность детям увидеть
особенности применения метода перебора к решению задач.
Задача. С помощью цифр 5,2 и 7 напишите все трехзначные числа, в каждом
из которых все цифры различны. Среди этих чисел найдите наибольшее и наименьшее
число
Решение: Это есть числа 527, 572, 275, 257, 752, 725.
Наибольшее из них - 752, наименьшее - 257.
На первый взгляд кажется, что это очень простая задача, но она несет большую
теоретическую нагрузку. В жизненных и производственных ситуациях часто
приходится встречаться с задачами, которые допускают много различных решений.
Решение экстремальных задач в курсе алгебры проходит в два этапа.
На первом этапе рассматривается неопределенная задача, текст которой
переводится на математический язык в виде неопределенного уравнения
(функции), которое допускает много или бесконечно много решений.
На втором этапе по тем или иным признакам, которые заданы в явном или
неявном виде, определяется, какое из решений задачи наиболее выгодно.
1. Ознакомимся с решением экстремальных задач по теме "Линейная функция".
Решение этих задач сводится к нахождению экстремума линейной функции ^=
к-х, •+• о , где ^ и о - постоянные. Если эту функцию рассматривать
на сегменте L^) J3>.3 , то она будет иметь на нем наименьшее и
наибольшее значения. При ^>о наименьшее значение у принимает
17
в точке л;= t/ , а наибольшее - в точке л'=/; при H^o функция У
в точке Je-=<^ принимает наибольшее значение, а в точке л'=^ - наименьшее.
Задача. Расстояние между двумя шахтами А и б по шоссейной дороге
60 км. На шахте А добывается 200т руды в сутки, на шахте В - 100т в сутки. Где
нужно построить завод по переработке руды, чтобы для ее перевозки количество
тонно-километров было наименьшим?
Решение: Выясним, что суммарное количество тонно-километров изменяется в
зависимости от места нахождения завода, вычислив его, например, для случаев,
когда завод находится от пункта А на расстоянии 30 км, 20 км, 10 км. Далее
приступаем к решению задачи, обозначив расстояние от завода С до шахты А через
х:
А С ^ ж ; 6С= 60-х- Количество тонно-километров, пройденных
транспортом от А до С за каждый день, составляет 200 ткм, а от В до С -
100*(60-JC) ткм. Суммарное количество (ткм) выразится функцией
f^^pOx.-^ {0£>( ео-зе.)-^ ^оОх. т- ёооо, д
которая определена на сегменте L. О , 60.1.
ysssas-SL...^- ,,-..^<=--„—--„.™——-, Ясно, что это уравнение может
иметь А (- ьи—^ в
бесконечно много решении.
Исследуя функцию У= -foOx + 6000 на сегменте Г о •j bo], получим:
^г^п, "s Gooo . Эта линейная функция будет иметь минимальное значение
при ^ ^0, !/^„ = 6cw?TKM. Завод надо строить возле шахты А.
2. Решение задач по теме "Квадратичная функция" сводится к исследованию
квадратного трехчлена, поэтому при их решении используются приемы выделения
квадрата двучлена или свойствами квадратичной функции.
Задача. Предлагается сделать ограду для квадратного участка земли со
стороной 20м или прямоугольного участка земли , основании которого на несколько
метров больше, а высота на столько же метров меньше. Сравните площади,
периметры квадрата и прямоугольника.
Решение: Поскольку сторона квадрата 20м, то Р =80м, s5 =400м
2 Если бы одну сторону квадрата уменьшить на X метров, а другую увеличить
на Х метров, то Р= -?• (20+ к)ч- 2 • (Ю~ У), S =
^00-х. -? -fc ^СЮ
С^ ^
J наиб. =400//при jc=o . Следовательно, наибольшую площадь из всех
прямоугольников с одинаковыми периметрами имеет квадрат.
18
Достаточно много экстремальных задач можно решать при изучении темы
"Квадратный трехчлен". К исследованию квадратичной функции на экстремум
сводятся многие задачи экономики, физики, техники, алгебры.
Рассмотрим функцию, заданную формулой (/.^биг^юл. + с , где а., ё,с, -
некоторые числа, причем о. ^ о , п. - переменная, п-
е ^ Если -- ^/2а<:Д/, то при п.= -^/зл. данная
функция принимает экстремальное значение. Если -%а> ^ и { /2а\^/^ то
данная функция принимает одно и
• - •/ /<й
^ц ,/ fft ./
то же экстремальное значение дважды: при ^\-•=•~^72Q.i•/2 "•
Л^~у2сг ~- /2 . Если - ^/2о, ^ \ , то данная функция
принимает наибольшее ( наименьшее) значение всегда при п. =. i .
В остальных случаях данная функция принимает экстремальное значение при
натуральном п, которое ближе расположено на числовой прямой к числу -
&/^ .
Среди задач на оптимизацию есть задачи, которые могут быть использованы как
на уроках алгебры, так и на уроках геометрии. Это объясняется тем, что с
точки зрения^ содержания они геометрические (сформулированы в геометрических
терминах), а по методу решения это задачи алгебры (они сводятся к определению
экстремума функции методом опорной функции).
Задача. Найти максимум произведения лу^ , если •х- ^ .^ ^JL -^ { о. с> с.2'
Решение: Найдем максимум произведения -х— • -"— ' -
fc— , т.к. зсл/i а2- У с.3 (J
у 22
максимально при тех же условиях, что и -•х . у -. z—. По уело -
а.-2- ^ eQ -
л5- у2 г2 ,
вию —— + -^- ^ —з- = < , тогда должно выполняться равенство:
Тг^- Ч^ ? ^ • J£ У 2 ^
-a-s" :: g7- = ~сТ или -а"^ '^^'с'^ уу .
Т.к. сумма слагаемых постоянна, то их произведение будет наибольшим когда они
равны. Тогда m-OLK (^г}^ л-8-е -- /Г о ее. Ответ: ^•^•^
о
m-CLX (^i) = j^^g <7 ' <э '
19
1.7. Понятия о задачах математического программирования
Математические модели реальных задач описываются уравнениями, системами
уравнений или дифференциальными уравнениями. Но в школьном курсе изучаются
еще неравенства и системы неравенств, а их приложения иллюстрирующих их
применение для решения реальных задач отсутствуют. Для заполнения этого
пробела в первых изданиях учебника "Алгебра и начала анализа" содержался
пункт "Понятие о линейном программировании". Ниже приведем методику
изложения трех основных задач линейного программирования для изучения в
математических кружках в средней школе.
1.7 Л. Транспортная задача линейного программирования
1. Постановка задачи : Пусть на двух станциях ^4 и /\, сосредоточено
соответственно Ct, и 0.^ тонн груза, который необходимо доставить в
пункты 6 , Ь-г., В,, в количестве I,, ^д , ^ , соответственно.
Стоимость перевозки 1
тонны груза со станции у1, в пункты В,, Вд, &з составляет Сц , С^, G^ рублей
соответственно. Аналогично - стоимость перевозки со станции Л>в пункты В/,
bj, б»з составляет G, , С^ ,Сщ рублей. Требуется организовать перевозку
так,
чтобы общая стоимость этой перевозки была наименьшей. Все данные
представим в виде таблицы 1.
^^ /•"^ | В/ | fi. | | ^ | Кол-во отправленного | t ^^^ | | | | груза | | | е^ | | (^ | (^ | | А, | ^ | | ^2 | | ^3 | й< | | | Сг/ | | С?? | Сгз | | А. | х„ | | ^2 | | •Ггз | ft, | | Кол-во доставленного | &< | ^ | ^ | | | груза | | |
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5
|
|
|
|
© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент. |
|
|
