|
|
| Курсовая: Элементарная теория сумм Гаусса |
Курсовая: Элементарная теория сумм Гаусса
-1-
Элементарная теория сумм Гаусса.
Рассмотрим следующую сумму – сумму Гаусса :
где D – целое положительное и (a, D)=1.
Покажем, что значение суммы будет одним и тем же, если х пробегает
любую полную систему вычетов по модулю D.
Действительно, пусть х пробегает полную систему вычетов по модулю D. Тогда
х=qD+k , где k =0, 1, ., D-1 , q є Z
Будем иметь :
что и требовалось.
Лемма 1.
Пусть (a, D)=1. Тогда:
Доказательство:
По свойству модуля комплексного числа :
-2-
Имеем:
Сделаем замену x = x + t . Когда х и х пробегают полную систему
вычетов по модулю D , от х и t пробегают независимо полные системы
вычетов по модулю D.
Действительно, пусть х и х пробегают полную систему вычетов по модулю D .
Тогда х = qD + k k=0, 1, ., D-1 , q є
Z
х = pD + i i=0, 1, ., D-1 , p є Z
Следовательно, t = x – x = (q – p)D + (k – i) = l D + m , где m=0, 1, ., D-1 ,
l є Z
а) Пусть D – нечетное, т.е. (2а, D)=1
если D делит t.
Если же D не делит t, то последнюю сумму можно записать в виде :
Получили :
-3-
Тогда
Отсюда
б) Пусть D делится на 4, т.е. возможно представление : D = 2D , где D –
четное и ( a, D )=1 .
Получим :
Так как D четное, то
Следовательно
в) Пусть D = 2 (mod 4) , т.е. D = 4q + 2 , q є Z
Тогда из предыдущего случая имеем : D = 2 (2q+1)= 2D , D - нечетное. Имеем :
Что и требовалось.
-4-
Лемма 2.
Если D и D взаимно простые числа, то
S ( aD1 , D2 ) S ( aD2 , D1 ) = S ( a , D1 D2 )
Доказательство:
В этих суммах t1 пробегает полную систему вычетов по модулю D2
, а t2 пробегает полную систему вычетов по модулю D2.
При этом D1t1 + D2t2 пробегает
полную систему вычетов по модулю D1D2 . Действительно ,
всего членов в сумме D1D2 и никакие два несравнимы
между собой. Действительно, предположим противное : пусть D1t
1 + D2t2 = D1t1 + D2
t2 ( mod D1D2 )
Отсюда D1 (t1 – t1) = D2 (t2 – t2 ) (mod D1D2) Тогда
D1 (t1 – t1) = D2 (t2 –
t2 ) (mod D2) А так как D2 (t2
– t2 ) = 0 (mod D2)
То по свойству сравнений имеем D1 (t1 – t1
) = 0 (mod D2) Отсюда так как (D1, D2)=1 ,
то t1 – t1 = 0 (mod D2) Аналогично
получим t2 – t2 = 0 (mod D1)
Т.е. имеем t1 = t1 (mod D2) и
t2 = t2 (mod D1) . Но это
противоречит тому, что t1 пробегает полную систему вычетов по
модулю D2 , а t2 пробегает полную систему вычетов по
модулю D2, так как в полной системе вычетов любые два числа не
сравнимы. Следовательно наше предположение было неверным и действительно D
1t1 + D2t2 пробегает полную систему
вычетов по модулю D1D2 .
Поэтому
-5-
Лемма 3.
Пусть p простое нечетное число и не делит a . Тогда
Доказательство:
что и требовалось доказать.
-6-
Лемма 4.
Если р простое нечетное число , то
Доказательство :
Из леммы 3. получим
Так как произведение сопряженных величин дает квадрат модуля, то
Лемма 5.
Если р и q различные простые числа , то
Доказательство :
Так как ( р, q )= 1 , мы можем воспользоваться леммой 2 : в нашем случае
-7-
Итак , мы показали, что
что и требовалось доказать.
|
|
|
|
© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент. |
|
|
