Каталог Рефератов - Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций

	Информационно-образоательный портал
	Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,



МЕНЮ\|

поиск

Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций

Отсюда имеем

Учитывая граничное условие (2), получаем lhu(0) = 0,5h [– (ku’)’(0) + d0u0 – j0] + O(h2). Выражение, стоящее в квадратных скобках, преобразуем, учитывая уравнение (1), к виду – (ku’)’(0) + d0u0 – j0 = – (ku’)’(0) + q(0)u(0) – f(0) + + (d0 – q(0))u0 – (f(0) – j0) = (d0 – q(0))u0 – (f(0) – j0). Из соотношений

получаем

что и требовалось доказать. Таким образом, при достаточной гладкости коэффициентов k(x), q(x), f(x) и решения u(x) разностная схема (10) аппроксимирует исходную задачу (2) со вторым порядком по h. При практическом использовании разностной схемы для нахождения ее коэффициентов не обязательно вычислять интегралы (4), (6) точно. Можно воспользоваться коэффициентами, полученными путем замены этих интегралов квадратурными формулами, имеющими точность O(h2) и выше. Например, в результате применения формулы прямоугольников получим следующие коэффициенты: ai = k(xi – 0,5h), di = q(xi), j i = f(xi).

Применяя формулу трапеций, получим

Представление коэффициентов разностной схемы в виде интегралов (4), (6) оказывается полезным при исследовании сходимости в случае разрывных функций k(x), q(x), f(x). 2.3. Уравнение для погрешности. Решение yi = y(xi ) разностной задачи (3), (4) зависит от шага h сетки, y(xi) = yh(xi). По существу, мы имеем семейство решений {yh(xi)}, зависящее от параметра h. Говорят, что решение yh(x) разностной задачи сходится к решению u(x) исходной дифференциальной задачи, если при h®0 погрешность y h(xi) – u(xi), i = 0, 1,., N, стремится к нулю в некоторой норме. В настоящем параграфе в качестве такой нормы будем брать норму в сеточном пространстве C(wh), т.е. положим

Говорят, что разностная схема имеет m-й порядок точности (или сходится с порядком m), если

где m>0, M>0 – константы, не зависящие от h. Выше было установлено, что схема (3), (4) имеет второй порядок аппроксимации. Докажем теперь, что эта схема имеет и второй порядок точности. Для этого прежде всего выпишем уравнение, которому удовлетворяет погрешность zi = yi – u(xi). Поставим yi = zi + u(xi) в уравнения (3), (4). Тогда получим уравнения Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций

(11) (12) где обозначено

Функция yi, входящая в правую часть уравнения (11), называется погрешностью аппроксимации дифференциального уравнения (1) разностным уравнением (3) на решении задачи (1), (2). В п.1 было доказано, что yi = O(h2) при h®0, i=1, 2,., N–1. Аналогично, величина n1 является по определению погрешностью аппроксимации краевого условия (2) разностным краевым условием (4) на решении задачи (1), (2), причем n1=O(h2). Таким образом, структура уравнений для погрешности (11), (12) та же, что и у разностной схемы (3), (4), отличаются только правые части. Чтобы доказать сходимость разностной схемы, оценим решение задачи (11), (12) через правые части yi, n1, т.е. получим неравенство вида

(13)

с константой M1, не зависящей от h. Из этого неравенства и будет следовать, что Отметим, что неравенства вида (13), называемые априорными оценками, нашли широкое применение в теории разностных схем. Поскольку структура для погрешности (11), (12) та же, что и у разностной схемы (3), (4), а отличаются только правые части, то оценка (13) выполняется одновременно с аналогичной оценкой

для разностной схемы (3), (4) при m2 = 0. Последняя оценка выражает устойчивость решения разностной задачи по правым частям j и m1. 2.4. Разностные тождества и неравенства. Для того, чтобы доказать неравенство (13), нам потребуются некоторые разностные тождества и неравенства. Будем рассматривать сеточные функции, заданные на сетке (7). Обозначим

Справедливо следующее разностное утверждение: (y, ux) = –(u, yx) + yNuN – y0u1. (14) Действительно,

что и требовалось доказать. Тождество (14) называется формулой суммирования по частям.

Подставляя в (14) вместо u выражение azx и вместо y функцию z, получаем первую разностную формулу Грина

(15)

Здесь В частности, если zN = 0 (как в задаче (11), (12)), то получим (16)

Обозначим

и докажем, что для любой сеточной функции zi, удовлетворяющей условию zN = 0, справедливо неравенство

(17)

Для доказательства воспользуемся тождеством

и применим неравенство Коши-Буняковского

Тогда получим

Откуда сразу следует неравенство (17). 2.5. Доказательство сходимости. Возвращаясь к доказательству сходимости схемы (3), (4), получим тождество, которому удовлетворяет погрешность z i = yi – u(xi). Для этого умножим уравнение (11) на hzi и просуммируем по i от 1 до N–1 . Тогда получим

Отсюда, применяя разностную формулу Грина (16), получим

Далее, согласно (12) имеем

следовательно, справедливо тождество

(18) Из этого тождества и будет сейчас выведено требуемое неравенство вида (13).

Заметим прежде всего, что если

k(x) ³ c1 > 0, b ³ 0, q(x) ³ 0, то коэффициенты разностной схемы (3), (4) удовлетворяют неравенствам ai ³ c1 > 0, b ³ 0, di ³ 0. (19) Это утверждение сразу следует из явного представления коэффициентов (5), (6). Воспользовавшись (19), оценим слагаемые, входящие в левую часть тождества (18), следующим образом:

Тогда придем к неравенству

(20) Оценим сверху правую часть этого неравенства. Будем иметь

Подставляя эту оценку в (20) и учитывая неравенство (17), получим

т.е.

Окончательно

(21)

Поскольку из неравенства следует, что погрешность zi = yi – u(xi) также является величиной O(h2) при h®0. Итак, справедливо следующее утверждение. Пусть k(x) – непрерывно дифференцируемая и q(x), f(x) – непрерывные функции при xÎ[0, l], решение u(x) задачи (1), (2) обладает непрерывными четвертыми производными. Пусть коэффициенты разностной схемы (3), (4) удовлетворяют условиям (8), (9), (19). Тогда решение разностной задачи (3), (4) сходится при h®0 к решению исходной дифференциальной задачи (1), (2) со вторым порядком по h, так что выполняется оценка

где M – постоянная, не зависящая от h. 3. Разностные схемы для уравнения теплопроводности 3.1. Исходная задача. Будем рассматривать следующую первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами. В области {0 < x < 1, 0 < t £ T} требуется найти решение уравнения

(1) удовлетворяющее начальному условию u(x, 0) = u0(x) (2) и граничным условиям u(0, t) = m1(t), u(1, t) = m2(t). (3) Здесь u0(x), m1(t), m2(t) – заданные функции. Известно, что при определенных предположениях гладкости решение задачи (1)–(3) существует и единственно. В дальнейшем при исследовании аппроксимации разностных схем будем предполагать, что решение u(x, t) обладает необходимым по ходу изложения числом производных по x и по t. Решение задачи (1) – (3) удовлетворяет принципу максимума и тем самым непрерывно зависит от начальных и граничных данных. 3.2. Явная схема. Как всегда, для построения разностной схемы надо прежде всего ввести сетку в области изменения независимых переменных и задать шаблон, т.е. множество точек сетки, участвующих в аппроксимации дифференциального выражения. Введем сетку по переменному x такую же, как в предыдущей главе, т.е. wh = {xi = ih, i = 0, 1,., N, hN = 1} и сетку по переменному t с шагом t, которую обозначим wt = {tn = nt, n = 0, 1,., K, Kt = T} Точки (xi, tn), i = 0, 1,., N, n = 0, 1,., K, образуют узлы пространственно-временной сетки wh, t = w h x wt. Узлы (xi, tn), принадлежащие отрезкам I0 = {0 £ x £ 1, t = 0}, I 1 = {x = 0, 0 £ t £ T}, I2 = {x = 1, 0 £ t £ T}, называются граничными узлами сетки wh, t, а остальные узлы – внутренними. На рисунке граничные узлы обозначены крестиками, а внутренние – кружочками.

Слоем называется множество всех узлов сетки wh, t, имеющих одну и ту же временную координату. Так, n-м слоем называется множество узлов

(x0, tn), (x1, tn),., (xN, tn). Для функции y(x, t), определенной на сетке wh, t, введем обозначения yni = y(xi, tn ),

(4) Иногда для упрощения записи индексы i и n будем опускать, обозначая

(xi, tn+1) (xi-1, tn+1) (xi, tn+1) (xi+1, tn+1)

(xi-1, tn) (xi, tn) (xi+1, tn) (xi, tn) (xi-1, tn+1) (xi, tn+1) (xi+1, tn+1) (xi, tn+1)

(xi-1, tn) (xi, tn) (x i+1, tn) (xi-1, tn) (xi, tn) (xi+1, tn) (xi, tn-1) Чтобы аппроксимировать уравнение (1) в точке (xi, tn), введем шаблон, изображенный на рисунке и состоящий из четырех узлов (xi ±1, tn), (xi, tn), (xi , tn+1). Производную ¶u/¶t заменим в точке (xi, tn ) разностным отношением ynt, i, а производную ¶2 u/¶2x – второй разностной производной ynxx, i. Правую часть f(x, t) заменим приближенно сеточной функцией jn i, в качестве jni можно взять одно из следующих выражений:

В результате получим разносное уравнение

(5) которое аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение в точке (xi , tn) с первым порядком по t и вторым порядком по h при условии, что разность jni – f(xi, tn) имеет тот же порядок малости. Под разностной схемой понимается совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение во всех внутренних узлах сетки и дополнительные (начальные и граничные) условия – в граничных узлах сетки. Разностную схему по аналогии с дифференциальной задачей будем называть также разностной задачей. В данном случае разностная схема имеет вид

(6) Эта схема представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных. Находить решение такой системы следует по слоям. Решение на нулевом слое задано начальными условиями y0 i = u0(xi), i = 0, 1,., N. Если решение y ni, i = 0, 1,., N, на слое n уже найдено, то решение yin+1 на слое n+1 находится по явной формуле

(7)

а значения доопределяются из граничных условий. По этой причине схема (6) называется явной разностной схемой. Несколько позже мы познакомимся и с неявными схемами, в которых для нахождения yi n+1 при заданных yin требуется решать систему уравнений. Погрешность разностной схемы (6) определяется как разность zi n = yin – u(xi, tn) между решением задачи (6) и решением исходной задачи (1) – (3). Подставляя в (6) yin = zin + u(xi, tn ), получим уравнение для погрешности

(8)

где – погрешность аппроксимации разностной схемы (6) на решении задачи (1) – (3), yin = O(t + h 2). Можно оценить решение zin уравнения (8) через правую часть yin и доказать тем самым сходимость разностной схемы (6) с первым порядком по t и вторым – по h. Однако это исследование мы отложим, а сейчас на примере схемы (6) продемонстрируем один распространенный прием исследования разностных схем с постоянными коэффициентами, называемый методом гармоник. Хотя данный метод не является достаточно обоснованным, в частности не учитывает влияния граничных условий и правых частей, он позволяет легко найти необходимые условия устойчивости и сходимости разностных схем. Покажем, например, что явную схему (6) можно применять лишь при условии t £ 0,5h2, означающем, что шаг по времени надо брать достаточно малым.

Рассмотрим уравнение

(9) т.е. однородное уравнение, соответствующее (5). Будем искать частные решения (9), имеющие вид yjn (j) = qneijhj, (10) где i – мнимая единица, j – любое действительное число и q – число, подлежащее определению. Подставляя (10) в уравнение (9) и сокращая на eijhj, получим

откуда найдем

(11)

Начальные условия соответствующие решениям вида (10) (их называют гармониками), ограничены. Если для некоторого j множитель q станет по модулю больше единицы, то решение вида (10) будет неограниченно возрастать при n®¥. В этом случае разностное уравнение (9) называется неустойчивым, поскольку нарушается непрерывная зависимость его решения от начальных условий. Если же |q| £ 1 для всех действительных j, то все решения вида (10) ограничены при любом n и разностное уравнение (9) называется устойчивым. В случае неустойчивости найти решение разностной задачи (6) по формулам (7) практически невозможно, так как погрешности (например погрешности округления), внесенные в начальный момент времени, будут неограниченно возрастать при увеличении n. Такие разностные схемы называются неустойчивыми. Для уравнения (9) неравенство |q| £ 1 выполняется согласно (11) при всех j тогда и только тогда, когда g £ 0,5. Таким образом, использование схемы (6) возможно лишь при выполнении условия t £ 0,5h 2. Разностные схемы, устойчивые лишь при некотором ограничении на отношение шагов по пространству и по времени, называются условно устойчивыми. Следовательно, схема (6) возможно устойчива, причем условие устойчивости имеет вид t/h2 £ 0,5. Условно устойчивые схемы для уравнений параболического типа используются редко, так как они накладывают слишком сильное ограничение на шаг по времени. Действительно, пусть, например, h = 10-2. Тогда шаг t не должен превосходить 0,5 * 10-4, и для того чтобы вычислить решение yjn при t = 1, надо взять число шагов по времени n = t-1 ³ 2 * 10 4, т.е. провести не менее 2 * 104 вычислений по формулам (7). 3.3. Неявные схемы. Чисто неявной разностной схемой для уравнения теплопроводности теплопроводности (схемой с опережением) называется разностная схема, использующая шаблон (xi, tn), (xi ±1, tn+1), (xi, tn+1) и имеющая вид

(12) Здесь jni = f(xi, tn+1) + O(t + h2). Схема имеет первый порядок аппроксимации по t и второй – по h. Решение системы (12) находится, как и в случае явной схемы, по слоям, начиная с n = 1. Однако, теперь, в отличие от явной схемы, для нахождения y in+1 по известным yin требуется решить систему уравнений

(13) где g = t/h2, Fin = yin + tjin. Эту систему можно решать методом прогонки, так как условия устойчивости прогонки выполнены. Для исследования устойчивости разностной схемы (12) будем искать частные решения уравнения

имеющие вид (10). Тогда получим

следовательно, |q| £ 1 при любых j, t, h. Таким образом, схема (12) абсолютно устойчива, т.е. устойчива при любых шагах t и h. Абсолютная устойчивость является основным условием неявных схем. Теперь уже не надо брать шаг t слишком малым, можно взять, например, t = h = 10 -2. Величина шагов сетки t, h определяются теперь необходимой точностью расчета, а не соображениями устойчивости.

Шеститочечной симметричной схемой называется разностная схема (14) для которой начальные и граничные условия задаются так же, как и в схеме (12). Эта схема использует шеститочечный шаблон, изображенный на рисунке. Обобщением трех рассмотренных схем является однопараметрическое семейство схем с весами. Зададим произвольный действительный параметр s и определим разностную схему

(15) При s = 0 получим отсюда явную схему, при s = 1 – чисто неявную схему и при s = 0,5 – симметричную схему (14). Исследуем погрешность аппроксимации схемы (15) на решении исходной задачи (1) – (3). Представим решение задачи (15) в виде yin = u(xi, tn) + zi n, где u(xi, tn) – точное решение дифференциальной задачи (1) – (3). Тогда для погрешности получим систему уравнений

(16) i = 1, 2,., N – 1, n = 0, 1,., K – 1, z0n+1 = zNn+1 = 0, n = 0, 1,., K – 1, zi0 = 0, i = 0, 1,., N. Сеточная функция yin, входящая в правую часть уравнения (16) и равная

(17)

называется погрешностью аппроксимации схемы (15) на решении задачи (1) – (3). Получим первые члены разложения функции yin по степеням h и t. Будем разлагать все функции, входящие в выражение для yin, по формуле Тейлора в точке (xi, tn + 0,5t). Учитывая разложения где

получим

Страницы: 1, 2, 3

© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.