Лекция: Лекции по матану (III семестр) переходящие в шпоры

№1

1 Двойной интеграл

Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией Г,

являющейся замкнутой непрерывной кривой. z = l(P) = f(x,y), P= (x,y) Î D

– произвольные ф-ции определенные и ограниченные на D. Диаметром области D наз.

наибольшее расстояние между граничными точками. Область D разбивается на n

частых областей D1.Dn конечным числом произв. кривых. Если S – площадь D, то

DSi – площадь каждой частной области. Наибольший из диаметров областей обозн l.

В каждой частной области Di возьмем произв. точку Pi (xi , Di) Î Di, наз.

промежуточной. Если диаметр разбиения D l à 0 , то число n областей Di

à ¥. Вычислим зн-ие ф-ции в промежуточных точках и составим сумму:I

= f(xi, Di)DSi (1),

наз. интегральной суммой ф-ции. Ф-ция f(x,y) наз. интегрируемой в области D

если существует конечный предел интегральной суммы.

Двойным интегралом ф-ии f(x,y) по области D наз. предел интегральной суммы при l

à 0. Обозн:

или

2 Понятие числового

ряда и его суммы

Пусть задана бесконечная последовательность чисел u1, u2, u3.

Выражение u1+ u2+ u3.+ un (1) называется числовым рядом, а числа его

составляющие- членами ряда.

Сумма конечно числа n первых членов ряда называется n-ной частичной суммой

ряда: Sn = u1+..+un

Если сущ. конечный предел:

, то его называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится, если такого предела

не существует, то говорят что ряд расходится и суммы не имеет.

№ 2

1 Условие существования

двойного интеграла

Необходимое, но недостаточное:

Ф-ция f(x,y) интегрируема на замкнутой области D, ограничена на D.

1 достаточный признак существования: если ф-ция f(x,y) непрерывна на

замкнутой, огр. области D, то она интегрируема на D.

2 достаточный признак существования: если ф-ция f(x,y) ограничена в замкнутой

области D с какой-то границей и непрерывна в ней за исключением отдельных

точек и гладки=х прямых в конечном числе где она может иметь разрыв, то она

интегрируема на D.

2 Геометрический и

арифметический ряды

Ряд состоящий из членов бесконечной геометрической прогрессии наз.

геометрическим:

или

а+ а×q +.+a×qn-1

a ¹ 0 первый член q – знаменатель. Сумма ряда:

следовательно конечный предел последовательности частных сумм ряда зависит от

величины q

Возможны случаи:

1 |q|<1

т. е. ряд схд-ся и его сумма 2 |q|>1 и предел суммы так же равен бесконечности

т. е. ряд расходится.

3 при q = 1 получается ряд: а+а+.+а. Sn = n×a ряд расходится

4 при q¹1 ряд имеет вид: а-а+а . (-1)n-1a Sn=0 при n

четном, Sn=a при n нечетном предела частных суммы не существует. ряд

расходится.

Рассмотрим ряд из бесконечных членов арифметической прогрессии:

u – первый член, d – разность. Сумма ряда

при любых u1 и d одновременно ¹ 0 и ряд всегда расходится.

№3

1 Основные св-ва 2ного интеграла

1. Двойной интеграл по области D = площади этой области.

2. Если область G содержится в Д, а ф-ция ограничена и интегрируема в Д, то

она интегрируема и в G.

3. Аддитивное св-во. Если область Д при помощи кривой г разбивают на 2 области

Д1 и Д2, не имеющих общих внутренних точек, то:

4. константы выносятся за знак интеграла, а сумму в ф-ции можно представить в

виде суммы интегралов:

5. Если ф-ции f и g интегрируемы в Д, то их произведение также интегрируемо в

Д. Если g(x,y) ¹ 0 то и f/g интегрируема в Д.

6. Если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в Д и всюду в этой области f(x,y) <=

g(x,y), то:

В частности: g(x,y) >=0 то и

7. Оценка абсолютной величины интеграла: если f(x,y) интегрируема в Д, то и

|f(x,y)| интегрир. в Д причем

обратное утверждение неверно, итз интегрируемости |f| не следует

интегрируемость f.

8. Теорема о среднем значении.

Если ф-ция f(x,y) интегр. в Д., то в этой области найдется такая точка (x, h)

Î Д, что:

(2), где S – площадь

фигуры Д. Значение f(x, h) опред по ф-ле (2) наз. средним значением ф-ции f по

области Д.

2 С-ва сходящихся рядов

Пусть даны два ряда: u1+u2+.un =(1) и v1+v2+.vn = (2)

Произведением ряда (1) на число l Î R наз ряд: lu1+lu2+.lun =(3)

Суммой рядов (1) и (2) наз ряд:

(u1+v1)+(u2+v2)+.(un+vn) = (для разности там только - появица)

Т1 Об общем множителе

Если ряд (1) сходится и его сумма = S, то для любого числа l ряд

=l × тоже

сходится и его сумма S’ = S×l Если ряд (1) расходится и l ¹ 0, то и

ряд тоже

расходится. Т. е. общий множитель не влияет на расходимости ряда.

Т2 Если ряды (1) и (2) сходятся, а их суммы = соотв S и S’, то и ряд:

тоже сходится и если s его сумма, то s = S+S’. Т. е. сходящиеся ряды можно

почленно складывать и вычитать. Если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то

их сумма(или разность) тоже расходится. А вот если оба ряда расходятся. то

ихняя сумма (или разность)может как расходится (если un=vn) так и сходиться

(если un=¹vn)

Для ряда (1) ряд

называется n – ным остатком ряда. Если нный остаток ряда сходится, то его сумму

будем обозначать: rn =

Т3 Если ряд сходится, то и любой его остаток сходится, если какой либо остаток

ряда сходится, то сходится и сам ряд. Причем полная сумма = частичная сумма

ряда Sn + rn

Изменение, а также отбрасывание или добавление конечного числа членов не

влияет на сходимость (расходимость) ряда.

№4

1 Сведение

2ного интеграла к повторному

Пусть у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке [a, b], у1(х)<= у2(х) на всем отрезке.

D={x,y}: a<=x<=b; y1(x)<=y<=y2(x)

Отрезок [a,b] – проекция Д на ось ох. Для такой области людбая прямая,

параллельная оу и проходящая через внутреннюю точку области Д пересекает

границу области не более чем в 2 точках. Такая область наз. правильной в

направлении оси оу.

Если фция f(x,y) задана на Д и при каждом х Î [a,b] непрерывна на у , на

отрезке, [y1(x),y2(x)], то фц-ия F(x) =

, наз. интегралом, зависящим от параметра I, а интеграл :

, наз повторным интегралом от ф-ции f(x,y) на области Д. Итак, повторный

интеграл вычисляется путем последовательного вычисления обычных определенных

интегралов сначала по одной., а затем по другой переменной.

2 Необходимый

признак сходимости рядов

Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю:

Док-во:

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6