	Информационно-образоательный портал
	Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,



МЕНЮ\|

поиск

Реферат: Приложения производной

Лицей информационных технологий Реферат Производная и ее приложения Выполнил: ученик 11А класса Новиков А. Проверила: Шекера Г.В. г.Хабаровск 2004

Содержание

Введение...................................3

1. Понятие производной..................................4

2. Геометрический смысл производной...........................4

3. Физический смысл производной.........................5

4. Правила дифференцирования...........................6

5. Производные высших порядков..........................7

6. Изучение функции с помощью производной

6.1.Возрастание и убывание функции. Экстремум функции.............8 6.2.Достаточные условия убывания и возрастания функции.

Достаточные условия экстремума функции.....................11

6.3 .Правило нахождения экстремума........................12

6.4.Точка перегиба графика функции.........................12

6.5.Общая схема исследования функции и построение ее графика..........15

6.5. Касательная и нормаль к плоской кривой....................15

7.Экономическое приложение производной.

7.1.Экономическая интерпретация производной...................16 7.2. Применение производной в экономической теории..................19 7.3. Использование производной для решения задач по экономической теории......21

8. Применение производной в физике........................23

9. Применение производной в алгебре

9.1. Применение производной к доказательству неравенств..............25 9.2. Применение производной в доказательстве тождеств...............28 9.3. Применение производной для упрощения алгебраических

и тригонометрических выражений.....................29

9.4.Разложение выражения на множители с помощью производной..........30 9.5. Применение производной в вопросах существования корней уравнений.......31

Заключение...................................32

Список литературы...............................33 Введение Понятие функции является одним из основных понятии математики. Оно не возникло сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а, как и другие фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и исторического развития. Идея функциональной зависимости восходит к древнегреческой математике. Например, изменение площади, объема фигуры в зависимости от изменения ее размеров. Однако древними греками идея функциональной зависимости осознавалась интуитивно. Уже в 16 - 17 в. в, техника, промышленность, мореходство поставили перед математикой задачи, которые нельзя было решить имеющимися методами математики постоянных величин. Нужны были новые математические методы, отличные от методов элементарной математики. Впервые термин "функция" вводит в рассмотрение знаменитый немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин (определения он не дал вообще) он употребляет в узком смысле, понимая под функцией изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким образом, понятие функции носит у него "геометрический налет". В современных терминах это определение связано с понятием множества и звучит так: «Функция есть произвольный способ отображения множества А = {а} во множество В = {в}, по которому каждому элементу а

А поставлен в соответствие определенный элемент в

В. Уже в этом определении не накладывается никаких ограничений на закон соответствия (этот закон может быть задан Формулой, таблицей, графиком, словесным описанием). Главное в этом определении:

B. Под элементами множеств А и В понимаются при этом элементы произвольной природы. В математике XVII в. самым же большим достижением справедливо считается изобретение дифференциального и интегрального исчисления. Сформировалось оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их ближайших учеников. Введение в математику методов анализа бесконечно малых стало началом больших преобразований. Но наряду с интегральными методами складывались и методы дифференциальные. Вырабатывались элементы будущего дифференциального исчисления при решении задач, которые в настоящее время и решаются с помощью дифференцирования. В то время такие задачи были трех видов: определение касательных к кривым, нахождение максимумов и минимумов функций, отыскивание условий существования алгебраических уравнений квадратных корней. Первый в мире печатный курс дифференциального исчисления опубликовал в 1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия и 10 глав, в которых излагаются определения постоянных и переменных величин и дифференциала, объясняются употребляющиеся обозначения dx, dy, и др. Появление анализа бесконечно малых революционизировало всю математику, превратив ее в математику переменных величин. Исследование поведения различных систем (технические, экономические, экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения, содержащие производные, называются дифференциальными. В своей же работе я хочу подробнее остановится на приложениях производной.

1. Понятие производной

При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом

Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую функцию f ' (x), называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов: 1) даем аргументу x приращение D x и определяем соответствующее приращение функции D y = f(x+D x) -f(x); 2) составляем отношение

3) считая x постоянным, а D x ¦0, находим

, который обозначаем через f ' (x), как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь от того значения x, при котором мы переходим к пределу. Определение: Производной y ' =f ' (x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен. Таким образом,

, или

Заметим, что если при некотором значении x, например при x=a, отношение

при D x¦0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a) не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a.

2. Геометрический смысл производной.

Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки x0

f(x)

Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции - точку А(x0, f (х0)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x . Так как АС || Ox, то ÐALO = ÐBAC = β (как соответственные при параллельных). Но ÐALO - это угол наклона секущей АВ к положительному направлению оси Ох. Значит, tgβ = k - угловой коэффициент прямой АВ. Теперь будем уменьшать ∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Предельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая (a), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А. Если перейти к пределу при ∆х → 0 в равенстве tgβ =∆y/∆x, то получим

или tga =f '(x0), так как

a-угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох

, по определению производной. Но tga = k - угловой коэффициент касательной, значит, k = tga = f '(x0). Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем: Производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0.

3. Физический смысл производной.

Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени [t0; t0+ ∆t] равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е. Vср = ∆x/∆t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ∆t → 0. lim Vср (t) = n(t0) - мгновенная скорость в момент времени t0 , ∆t → 0. а lim = ∆x/∆t = x'(t0) (по определению производной). Итак, n(t) =x'(t). Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции y = f(x) в точке x0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x 0 Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени. u(t) = x'(t) - скорость, a(f) = n'(t) - ускорение, или a(t) = x"(t). Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении: φ = φ(t) - изменение угла от времени, ω = φ'(t) - угловая скорость, ε = φ'(t) - угловое ускорение, или ε = φ"(t). Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня: m = m(х) - масса, x Î [0; l], l - длина стержня, р = m'(х) - линейная плотность. С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины. Положив ω2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х"(t) + ω2x(t) = 0, где ω = √k/√m частота колебаний (l/c), k - жесткость пружины (H/m). Уравнение вида у" + ω2y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений является функция у = Asin(ωt + φ0) или у = Acos(ωt + φ0), где А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота, φ0 - начальная фаза.

4. Правила дифференцирования

(C)’= 0 С=const

(cos x)'=-sin x
(sin x)'=cos x
(tg x)'=	(ах)'=аx ln a
(ctg x)'=-	(ех)'=ex

Страницы: 1, 2, 3, 4

© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.