если , то ;

если , то решений нет;

если , то , .

VI. Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров

и , при которых

системы

(1)

и

(2)

имеют одинаковое число решений ?

Решение.

С учетом того, что

имеет смысл только при

, получаем после преобразований систему

(3)

равносильную системе (1).

Система (2) равносильна системе

(4)

Первое уравнение системы (4) задает в плоскости хОу семейство прямых, второе

уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром в точке А(1;1)

и радиусом

Поскольку , а

, то , и,

следовательно, система (4) имеет не менее четырех решений. При

окружность касается прямой

и система (4) имеет пять решений.

Таким образом, если

, то система (4) имеет четыре решения, если

, то таких решений будет больше, чем четыре.

Если же иметь в виду не радиусы окружностей, а сам параметр а, то система (4)

имеет четыре решения в случае, когда

, и больше четырех решений, если

.

Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой системы

задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом и втором

квадрантах. Второе уравнение системы (3) задает в плоскости хОу семейство

прямых.

При фиксированных положительных а и b система (3) может иметь два, три, или

четыре решения. Число же решений зависит от того, будет ли прямая, заданная

уравнением , иметь

общие точки с гиперболой

при (прямая

всегда имеет одну точку пересечения с графиком функции

).

Для решения этого рассмотрим уравнение

,

которое удобнее переписать в виде

Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D последнего

уравнения:

· если , т.е. если , то система (3) имеет два решения;

· если , то система (3) имеет три решения;

· если , то система (3) имеет четыре решения.

Таким образом, одинаковое число решений у систем (1) и (2) – это четыре. И это

имеет место, когда

.

Ответ:

II. Неравенства с параметрами.

§1. Основные определения

Неравенство

¦(a, b, c, ., k, x)>j(a, b, c, ., k, x), (1)

где a, b, c, ., k – параметры, а x – действительная переменная величина,

называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.

Любая система значений параметров а = а0, b = b0, c = c

0, ., k = k0, при некоторой функции

¦(a, b, c, ., k, x) и

j(a, b, c, ., k, x

имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых

значений параметров.

называется допустимым значением х, если

¦(a, b, c, ., k, x) и

j(a, b, c, ., k, x

принимают действительные значения при любой допустимой системе значений

параметров.

Множество всех допустимых значений х называется областью определения

неравенства (1).

Действительное число х0 называется частным решением неравенства (1),

если неравенство

¦(a, b, c, ., k, x0)>j(a, b, c, ., k, x0)

верно при любой системе допустимых значений параметров.

Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением

этого неравенства.

Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров

существует общее решение и каково оно.

Два неравенства

¦(a, b, c, ., k, x)>j(a, b, c, ., k, x) и (1)

z(a, b, c, ., k, x)>y(a, b, c, ., k, x) (2)

называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и

том же множестве систем допустимых значений параметров.

§2. Алгоритм решения.

1. Находим область определения данного неравенства.

2. Сводим неравенство к уравнению.

3. Выражаем а как функцию от х.

4. В системе координат хОа строим графики функций а =¦ (х) для тех

значений х, которые входят в область определения данного неравенства.

5. Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.

6. Исследуем влияние параметра на результат.

· найдём абсциссы точек пересечения графиков.

· зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от -¥ до+¥

7. Записываем ответ.

Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с

использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с

использованием стандартной системы координат хОy.

§3. Примеры

I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство

Решение.

В области определения параметра а, определённого системой неравенств

данное неравенство равносильно системе неравенств

Если , то решения исходного неравенства заполняют отрезок .

Страницы: 1, 2, 3, 4