22 Векторное произведение векторов

Свойства 1) Векторное произведение по модулю равно площади параллелограмма

построенного по этим векторам. Вектор с являющийся векторным произведением

всегда перпендикулярен к плоскости в которой лежат вектора а в . 3.

Вектор с направлен так, что кратчайший поворот от а к b, наблюдаемый с конца с

должен происходить против часовой стрелки. 4. Не коммутативность a*b=

-b*a 5. Векторное произведение равно 0 если один из векторов =0 или они

коллинеарные. 6. Ассоциативность по отношению к умножению на скаляр.

7. Дистрибутивность по отношению сложению векторов a*(b+c)=a*b+a*c.

Векторное произведение в координатной форме.

i j k

a*b=xa ya za

xb yb zb

23 Смешанное произведение векторов.

Смешанное произведение по модулю представляет собой объём параллепипида на этих

векторах как на рёбрах.

Знак смешанного произведения не измениться если менять порядок вектора в

круговом порядке1)

2)

3)Когда смешенное произведение равно 0 векторы компланарны (параллельны одной и

той же плоскости)

В координатной форме

=

27. Уравнение примой, проходящей через две точки на плоскости:

Прямую на плоскости можно охарактеризовать двумя точками А и В с координатами.

Каноническое уравнение примой на плоскости:

и в пространстве: можно охарактеризовать 3 и более мерами,

Каноническое уравнение прямой в (3мерном) пространстве:

28. Уровнение плоскости проходяшее через 3 точки:

Вектора А1А3, А1А2, А1В лежат в одной плоскости

следовательно их смешенное произведение равно 0. (z3-z1)(z2-z1)(z-z1)=0

вектороное уравнение плоскости проходяший через 3 точки

- уравнение плоскости проходящей через 3 точки

31. Эллипс называется множество точек плоскости обладаюших, имеющих

постоянную сумму расстояний до двух заданых точек называемыми фокусами эллипса.

Заданы величины а>с

обозначим тогда

А1(-a;0) A2(a;0)

A1A2 называется большой осью эллипса B1(0;-b);B2(0;-b)

B1B2 малая ось

32 Гипербола –Называется геометрическое место точки плоскости для которой

абсолютная величина разности расстояний от некоторой фиксированной точки

называется фокусом. Для любой точки данной кривой есть величина расстояний и

меньшая чем расстояния между фокусами.

Вывод:

возводим в квадрат

-2xc=4 : 4

-xc= *в квадрат : :a^2b^2

каноническое уравнение гиперболы

.Ассимптотами гиперболы называются---------------

если E стремиться к

бесконечности то отношение b к а растёти значит

гипербола вытягивается по оси oy . Если а=в то гипербола равнобокая

33 Парабола это множество точек плоскости для которой расстояние до

некоторой прямой равно расстоянию до некоторой фиксированной точки F . P

параметр параболы. Выведем уравнение параболы. Расположим ось абсцисс так,

чтобы она проходила через фокус перпендикулярно директрисе и имела

положительное направление от директрисы к фокусу (рис.1 ). За начало координат

выберем середину перпендикуляра FR, опущенного из фокуса на директрису. В

выбранной таким образом системе фокус имеет координаты F(p/2; 0). Уравнение

директрисы примет следующий вид: х = — р/2.

Пусть М(х; у) — точка параболы. По определению параболы, расстояние MN точки М

(х; у) от директрисы равно ее расстоянию MF от фокуса: MN = MF. MN=MQ+QM=

+x

у2 = 2рх.

35. Базисом линейного пространства называется произвольная линейно не

зависимая система из n векторов в Rn. Rn – это множество действительных чисел.

Если система е1 е2 и тд это система линейно не зависимых векторов в

пространство является n мерным а вектор е1 еn его базис.

36 Линейное пространство R называется n мерным если в нём существует n

линейно независимых векторов, а любые из (n+1) линейно зависимые. Размерность у

пространства называется количество в нём линейно независимых векторов. DIM R.

Любой вектор x линейного пространства может быть представлен и при том

единственным способом в виде линейной комбинации базисных векторов.Если

система e1,e2,e3 это система линейно независимых векторов в пространстве и

любой вектор линейного выражается через данный вектор , то пространство

является n а вектор e1,e2,e3 базис данного векторного линейного

пространтва.

37Евклидово пространство. Скалярное произведением двух векторов

и xy=

Свойства скалярного произведения 1)xy=yx 2)x(y+z)=xy+xz 3) x(

y)=(xy) 4) xx>0

всегда кроме случая x=0

Линейное (векторное)пространство в котором определено скалярное произведение

векторов, удовлетворяющее перечисленным 4 свойствам называется евклидовым

пространством.

Угол между векторами

Во всяком Евклидовом n мерном пространстве существует ортанормированный базис

Переход от одного базиса к другому Переход осуществляется с помощью матрицы

перехода.

Пусть x имеет координаты в старом базисе а в новом базисе

имеет координаты

38 Аксиомы скалярного произведения векторов Скалярное произведением двух

векторов и

xy= Свойства

скалярного произведения 1)xy=yx 2)x(y+z)=xy+xz 3) x(

y)=(xy) 4) xx>0

всегда кроме случая x=0

Линейное (векторное)пространство в котором определено скалярное произведение

векторов, удовлетворяющее перечисленным 4 свойствам называется евклидовым

пространством

39 Нормой вектора x называют число, обозначаемое символом |x|

Свойства

1) |x|=0 x=0 2)

-действительное число 3) Свойства неравенство Коши-Буняковского

4)неравенство

треугольников

40 Угол между векторами

41 Два вектора называются ортоганальными если угол между ними 90.Нулевой

вектор ортоганален любому.

42. Линейные матричные операции

По определению, чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить на это

число все элементы матрицы.

Суммой двух матриц одинаковой размерности, называется матрица той же

размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов

слагаемых.

Произведение матриц определяется следующим образом. Пусть заданы

две матрицы A и B, причем число столбцов первой из них равно

числу строк второй. Если

, ,

то произведением матриц A и B, называется матрица

,

элементы которой вычисляются по формуле

c ij =a i1 b 1j + a i2 b 2j + ... +a in b nj , i=1, ..., m, j=1, ..., k.

Произведение матриц A и B обозначается AB, т.е. C=AB.

ПРИМЕР 1. Действия с матрицами.

Произведение матриц, вообще говоря, зависит от порядка

сомножителей. Если AB=BA, то матрицы A и B называются

перестановочными.

ПРИМЕР 2. Проверка перестановочности матриц.

Для квадратных матриц определена единичная матрица -

квадратная матрица, все диагональные элементы которой единицы, а остальные -

нули:

Единичная матрица чаще всего обозначается буквой E или E n

, где n - порядок матрицы. Непосредственным вычислением легко проверить

основное свойство единичной матрицы:

AE=EA=A.

Скалярной матрицей называется диагональная матрица с одинаковыми числами

на главной диагонали; единичная матрица - частный случай скалярной матрицы.

ПРИМЕР 3. Умножение матрицы на матрицы специального вида

Для квадратных матриц определена операция возведения в целую

неотрицательную степень:

A 0 =E, A 1 =A, A 2 =AA, ..., A n =A n-1 A, ....

ПРИМЕР 4. Возведение матрицы в степень.

Для прямоугольных матриц определена операция транспонирования

. Рассмотрим произвольную прямоугольную матрицу A. Матрица, получающаяся

из матрицы A заменой строк столбцами, называется транспонированной

по отношению к матрице и обозначается A T:

, .

Верны соотношения:

(AT )T =A;

(AB)T =BT AT.

Квадратная матрица A, для которой A T =A, называется

симметричной. Элементы такой матрицы, расположенные симметрично относительно

главной диагонали, равны.

Квадратная матрица A называется обратимой, если существует такая матрица X, что

AX=XA=E.

Матрица X называется обратной к матрице A и обозначается A -1, т.е.

A A -1 =A -1A=E.

Известно, что если матрица A невырождена (т.е ее определитель отличен от

нуля), то у нее существует обратная матрица A -1.

Верно соотношение: (A-1)T =(AT ) -1.

ПРИМЕР 5. Обращение матрицы.

Квадратная матрица U, для которой U -1 =U T, называется ортогональной матрицей.

Свойства ортогональной матрицы:

· Модуль определителя ортогональной матрицы равен единице.

· Сумма квадратов элементов любого столбца ортогональной

матрицы равна единице.

· Сумма произведений элементов любого столбца

ортогональной матрицы на соответствующие элементы другого столбца равна нулю.

Такими же свойствами обладают строки ортогональной матрицы.

43. Умножение матриц:

*

Кол-во столбцов в первой матрице должно совпадать с кол-вом строк второй

матрицы.

44. Обратной матрицей А называется матрица А в (-1) степени, если

выполняется условие:

detA - это определитель составленный из коофициентов матрицы А

a12, a2n – это алгебраические дополнения к элементам матрицы

Обратная матрица может быть найдена единственным способом, для неё

выполняется соотношение A*A(-1)=A(-1)*A=E, она очевидна но не для всех, она

существует если определитель матрицы А отличен от нуля detA=\0

45Ранг матрицы называется наивысший порядок минора этой матрицы отличного от 0.

Минор матрицы- порядок которого совпадают рангом матрицы и отличный от 0

называется базисным минором матрицы.

46 Матричное решение систем линейных уравнений

составим определитель из коэффициентов при неизвестных

В этом случае можно решать методом обратной матрицы.

AX=B X=AB

Страницы: 1, 2