Д(Z)- дисперсия Д((- )/s(-)) =

M(Z) = 0; Д(Z) = 1. Для того, чтобы выбрать Zкр. и при заданном уровне

значимости a, определить принимается или не принимается основная гипотеза,

найти вероятности.

P(0 < Z < Zкр.) + P(Z > Zкр. прав.) = ½ Ф(Zкр.) + a/2 = ½

Ф(Zкр. прав.) = ½ - a/2

Zнабл. =

|Zнабл.| < Zкр.прав. Þ Н0 |Zнабл.| > Zкр.прав. Þ Н0 отвергается.

38. Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних при неизвестных

дисперсиях.

Пусть x и h нормально распределенные СВ, предполагается, что неизвестны, но

равны между собой дисперсии. x1, x2, ... , xn h1, h2, ... , hm

; : Н0: М(x) = М(h) Н1: М(x) ¹ М(h)

Для проверки гипотезы Н0, вводится СВ t, которая представляет собой

Теоретическое обозначение признака; СВ Т распределена по закону Стъюдента,

зависит от первого параметра, который называется числом степеней свободы (k).

k = n + m – 2 (по таблице для распределения Стъюдента при заданном значении k

и уровне значимости a в зависимости от вида альтернативной и конкурирующей

гипотезы, находятся либо односторонние tкр., либо двухсторонние tкр.).

Ткр. прав. = - Ткр. лев. | Тнабл. | < Ткр. двуст. Þ Н0 | Тнабл. | >

Ткр. двуст. Þ Н0 отвергается.

42. Марковские случайные процессы. Размеченный граф состояний.

Предположим, что дана система S. Предп., что состояние этой сис-мы хар-ся

параметрами состояний. Если состояние системы меняется во времени случайно, то

говорят, что в сис-ме протекает случайный процесс. Сис-ма —аудитория. Для

хар-ки состояния используется параметр—число студентов, тогда эта система с

дискретными состояниями. Будем рассматривать системы с дискретными состояниями

и непрерывным t: сис-ма мгновенно в произвольные сегменты t скачками меняет

состояние. Если параметр t принимает дискретные значения (t=1,2,3,...), то

происходит процесс с дискретным временем (случайная последовательность), если

же t изменяется на некотором интервале, то процесс с непрерывным временем. Если

случайные величины семейства принимают дискретные значения, то имеет место

процесс с дискретными значениями, если же непрерывное, то с непрерывными

значениями. Предположим, что рассматривается система с дискретными состояниями

и непрерывным t. Пусть S1, S2,...,Sn —возможные состояния сис-мы. Для описания

процесса, происх. в сис-ме, надо знать вер-ти каждого состояния на произвольный

момент t. Р1(t)—вер-ть того, что в момент t сис-ма находится в 1-ом состоянии.

соответствующего перехода.

43. Система дифф. уравнений Колмогорова для вероятностей состояний.

Пусть дан марковский случайный процесс. Рi(t)—вер-ти состояний: i=1,n(все с

чертой), тогда для Рi(t) выполняется следующее дифференциальное уравнение

d Рi(t)/dt=å( от i<>k,k=1 до n) lki* Рi(t)—å( от

j<>1,j=i до n) lij*Pi(t); i=1,n(все с чертой) (1) Система из n уравнений

, т.к. для любого момента t å( от i=1 до n) Pi(t), то в системе (1) одно

любое уравнение м-но отбросить. И, задав начальное условие на момент t=t0,

P1(t0)=1, Pi(t0)=0, i=1,n( все с чертой).

В итоге м-но решить сис-му дифф. ур-ний и найти все вер-ти состояний Pi(t),

i=1,n(все с чертой).

44. Предельные вероятности состояний. Нахождение предельных вероятностей.

Предположим, что дан марковский случайный процесс, тогда, используя уравнение

Колмогорова, можно найти Рi(t); i =

Предельными или финальными вероятностями называют пределы

, если эти вероятности существуют, т.е. = Рi.

Если эти предельные вероятности существуют, то в системе устанавливается

стационарный режим, при котором состояние системы меняется случайным образом,

но вероятность каждого состояния остается неизменной.

Предельная вероятность в марковском случайном процессе существует, если этот

процесс удовлетворяет свойству транзитивности. Процесс в протекающей

системе называется транзитивным, если существует интервал времени t

состояние Sj.

Алгебраические уравнения для предельной вероятности состояний

Пусть марковский случайный процесс удовлетворяет свойству транзитивности, тогда

для него при t ® ¥ существуют предельные вероятности состояний Pi=const.

, Þ, в этом случае вместо дифференциального уравнения Колмогорова

получили систему линейных уравнений относительно вероятности состояний

Одно уравнение отбрасывается, остается n уравнений, решая эту систему

получаем Р1, Р2, ... , Рn.

45. Процессы гибели и размножения. Формулы для нахождения предельных

вероятностей.

Мы предполагаем, что все

простейшими.

li, i+1

li, i-1

Процессы такого типа называются процессами гибели и размножения.

Составим систему уравнений для нахождения предельной вероятности состояний:

S0: l01P0 = l10P1 S1: l10P1 + l12P1 = l01P0 + l21P2 S2: l21P2 + l23P2 =

l­12P1 + l32P3 ... Sn: ln, n-1 Pn = ln-1, n Pn-1 P0 + P1 + P2 + ... + Pn = 1

Из первого уравнения выражаем P1 =

l01P0 + l12P­1 = l01P0 + l21P2

P2 =

P3 = Pn = ...

P0 + ... + = 1

46. Потоки событий. Простейший поток и его свойства.

Потоком событий называется

случайные интервалы времени, т.е. в произвольные моменты времени.

Потоки избираются на числовой оси, представляющей ось времени, точками,

соответствующими моменту наступления событий.

Например: - поток вызовов, поступающих на станцию скорой помощи;

- поток автомобилей, пересекающих перекресток.

Среднее число событий, происходящих в единицу времени называется

интенсивностью потока. l - среднее число событий в потоке, происходящее за

единицу времени. Свойства потока:

1.

Поток называется стационарным, если вероятность наступления того или иного

зависит от того, в какой момент времени начинается отсчет этого интервала.

t2 – t1 = a

2.

Поток событий называется потоком без последействия (без последствия), если

для любых непересекающихся интервалов времени длины t1 и t

2.

Вероятность появления того или иного числа событий в интервале t2 не зависит

от того, какое число событий произошло в интервале t1.

Иначе, отсутствие последствия означает независимость наступления событий во

времени.

3. Поток называется ординарным, если вероятность наступления двух и более

этот интервал.

Поток, обладающий всеми тремя перечисленными свойствами называется простейшим.

47. Закон распределения числа событий за фиксированный промежуток времени и

закон распределения интервала времени между событиями в простейшем потоке.

Пусть рассматривается какой-то поток событий. С ним всегда можно связать

дискретную СВ – число событий, происходящих за интервал длины t. Эта СВ

дискретна. С этим же потоком можно связать НСВ – интервал времени между

событиями. Т – интервал времени между событиями в потоке. Для простейшего

потока доказано, что число событий, попадающих на интервал длины t является

ДСВ, распределенной по закону Пуассона. Вероятность того, что за время t

произойдет ровно k событий.

(a > 0)

a = t l, l - интенсивность простейшего потока

при t = 1

Найдем закон распределения

интервала времени между событиями простейшего потока. Выведем закон

распределения интервала времени между событиями в потоке.

F(t) = ?

Fт(t) = P(T<t) = 1 – P(T ³ t) = 1 – Pt(k=0) = 1 - = 1 – e-lt, t ³ 0

Fт(t) = le-lt

Всякий простейший поток можно задать интенсивностью, либо задать среднее

значение времени между событиями в потоке (Т).

Средняя продолжительность интервала времени ; М(Т) = = Þ l =

48. Многоканальная СМО с отказами.

СМО— система, предназначенная для обслуживания какого-то потока поступающих

всех каналов). Пусть СМО имеет n каналов обслуживания и на вход в систему

поступает простейший поток заявок с интенсивностью l. Будем считать, что

среднее время обслуживания одной заявки одним каналом Тоб=1/m; продолж. Обслуж.

Тоб—СВ, распределенная по показательному закону с параметром m. Тогда при

непрерывной работе канала он может обслужить m заявок в единицу времени

(технич., профес. Хар-ка каналов).

Пусть в случае, когда заявка, поступившая в систему, застает свободный хотя

бы один канал, то она поступает сразу под обслуживание каким-то одним

каналом. Если же заявка поступает в момент занятости всех каналов, то она

получает отказ в обслуживании и покидает систему необслуженной. Нарисуем граф

состояний таких СМО, при этом нумерацию состояний будем вести по числу

заявок, находящихся в системе: S0—заявок нет S1—одна заявка, один канал

занят, n-1 каналов свободно ,,, Sn—n заявок, n каналов занято, нет

свободных.

l l l l

S0

S1

S2

Sn-1

Sn

m 2m 3m (n-1)m nm

Вероятности состояний:

Р0=(1+)-1

P1=; P2=(l2/(2!m2))*P0;....;Рr=(lk/k!mk)*P0

1. Ротказа=Рn ( все каналы заняты).

2. Относительная пропускная способность системы (вер-ть обслуживания)

q=1—Pотказа=1—Рn

3. Абсолютная пропускная способность(ср. число заявок, обслуж. за единицу

времени) A=lq

4. Среднее число занятых каналов =Aq/m

Можно найти двумя способами:

5. кзан—число занятых каанлов—СВ . зан=М(кзан)=

6.

зан=A/m 5.

незан=n—зан

7. Степень загруженности каналов s=

зан/n

49. Многоканальная СМО с ограниченным числом мест в очереди.

СМО— система, предназначенная для обслуживания какого-то потока поступающих

на вход в систему заявок. Система характеризуется наличием того или иного

числа каналов обслуживания. Если в системе несколько каналов, то мы считаем

эти каналы равноправными, и они имеют одинаковые хар-ки (среднее число

заявок, обслуж. 1-им каналом при непрерывной работе за единицу времени—одно и

то же для всех каналов). Пусть дана сис-ма с простейшим потоком, инт-ть

которого l, один канал в среднем может обслужить m заявок в единицу времени.

Пусть в сис-ме имеется m мест для постановки заявок в очередь. Предположим,

что заявка, заставшая в момент своего поступления один канал свободным, тут

же обслуж. Если же в момент поступления заявки все каналы заняты, но имеется

хотя бы одно свободное место в очереди, то заявка становится в очередь на

обслуживание, при этом как только один из каналов освобождается, одна заявка

из очереди поступает на обслуживание. Если заявка, поступившая в систему,

застает занятыми все каналы и места в очереди, то она получает отказ в

обслуживании и покидает систему. Возможные состояния системы: S0—заявок нет

S1—одна заявка, n-1 канал свободен, все места в очереди свободны Sn—n заявок,

все каналы заняты, все места в очереди свободны Sn+1—все каналы заняты, 1

заявка в очереди, m-1 мест в очереди свободны Sn+m—все каналы заняты, m мест

(все) в очереди заняты.

l l l l

l l

S0

S1

S2

Sn-1

Sn

Sn+1

Sn+m

m 2m 3m nm

nm nm

Предельные вероятности состояний:

Р0=(1+

1.Ротказа=Рn+m==

2.Относительная пропускная сп-ть q=1—Pn+m 3.Абсолютная пропускная сп-ть

A=lq 4.Среднее число заявок в очереди

5. . 6.

50. Многоканальная СМО с неограниченным числом мест в очереди.

51. Многоканальная СМО с отказами.

СМО— система, предназначенная для обслуживания какого-то потока поступающих

на вход в систему заявок. Система характеризуется наличием того или иного

числа каналов обслуживания.

Если в системе несколько каналов, то мы считаем эти каналы равноправными, и

они имеют одинаковые хар-ки (среднее число заявок, обслуж. 1-им каналом при

непрерывной работе за единицу времени—одно и то же для всех каналов).

Пусть число мест в очереди не ограничено. Хар-ки этой СМО получим из

характеристик СМО с ограниченным количеством мест в очереди, предполагая, что

m—>¥. Тогда в выражении для Р0 имеем

Р0==

При m —>¥ å1+e+e2+...+em-1 сходится только в том случае, если

0<e<1; если e>=1 сумма расходится, т.е. для этой СМО процесс не

является транзитивным. Следовательно, предельные вер-ти состояний не

существенны.

Будем считать, что при m—>¥, e<1 . Следовательно предельн. вер-ти

сост-й сущ. и хар-ки СМО след.:

1.

2. Ротказа=0

3. q=1 каждая заявка будет обслужена

4. .

5. Среднее время ожидания . 6.A=lq=l. 7.

Страницы: 1, 2, 3, 4