âû÷èñëåíèÿ

íîâûõ âèäîâ

îïðåäåëåííîãî

èíòåãðàëà

ïîêàçàëà,

÷òî

îáûêíîâåííûé,

äâîéíîé è ò. ä.

îïðåäåëåííûé

èíòåãðàëû

äîëæíû áûòü

îáîñíîâàíû

ñàìè ïî ñåáå

íåçàâèñèìî

îò ïîíÿòèÿ

íåîïðåäåëåííîãî

èíòåãðàëà.

Íî êàæäîå

ñëàãàåìîå

ëþáîé

èíòåãðàëüíîé

ñóììû

ÿâëÿåòñÿ

áåñêîíå÷íî

ìàëîé

âåëè÷èíîé.

Òåì ñàìûì íå

òîëüêî

ñòàâèëñÿ

âîïðîñ î

ëåãàëèçàöèè

ðàíåå

“èçãîíÿåìîãî”

ïîíÿòèÿ

áåñêîíå÷íî

ìàëîãî, íî è î

ðàñêðûòèè

åãî

ðåàëüíîãî

ñîäåðæàíèÿ è

î

ñîîòâåòñòâóþùåì

åãî

èñïîëüçîâàíèè.

Êàê óæå

óêàçûâàëîñü,

÷òîáû âñ¸

ýòî ñäåëàòü

íàäî áûëî

ïðåîäîëåòü —

îáîáùèòü,

ðàçâèòü

òðàäèöèîííîå

(ýéëåðîâî)

òîëêîâàíèå

ôóíêöèè è

ïîíÿòèÿ

ïðåäåëà.

Èçó÷åíèå

ôóíêöèé

ïîêàçàëî,

÷òî ôîðìóëà,

ïðåäñòàâëÿþùàÿ

ôóíêöèþ, è

ôóíêöèÿ, åþ

ïðåäñòàâëÿåìàÿ

— ýòî íå îäíî è

òî æå.

Ôîðìóëà

ÿâëÿåòñÿ

îðóäèåì

îäíîãî èç

ñïîñîáîâ

(àíàëèòè÷åñêîãî)

ïðåäñòàâëåíèÿ

ôóíêöèè.

Íàïðèìåð,

ôóíêöèÿ f(x)=|x|

ìîæåò áûòü

çàäàíà íà

ïðîìåæóòêå (–p; +p)

äâóìÿ

ôîðìóëàìè:

ó=õ, ó=–õ;

âìåñòå ñ òåì

îíà ìîæåò

áûòü çàäàíà

è îäíèì

àíàëèòè÷åñêèì

âûðàæåíèåì,

à èìåííî —

ñõîäÿùèìñÿ

ê íåé

òðèãîíîìåòðè÷åñêèì

ðÿäîì.

 ïîëüçó ýòîãî çàêëþ÷åíèÿ ãîâîðèëè è èíûå ñîîáðàæåíèÿ. “Íîâåéøèå èññëåäîâàíèÿ ïîêàçàëè,— Ïèñàë Ðèìàí,— ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ (òðèãîíîìåòðè÷åñ­êèå ðÿäû), ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ìîæíî â çàäàííîì ïðîìåæóòêå ïðåäñòàâèòü ëþáóþ íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ. Òàêèì îáðàçîì, íå ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì, áóäåò ëè çàâèñèìîñòü âåëè÷èíû w îò âåëè÷èíû z çàäàíà ïðîèçâîëüíî èëè ñ ïîìîùüþ ìàòåìàòè÷åñêîé ôîðìóëû.”

Ïî-íîâîìó áûë ïîñòàâëåí âîïðîñ î íåïðåðûâíîñòè è òî÷êàõ ðàçðûâà ôóíêöèè. Ýéëåðîâî ïîíÿòèå íåïðåðûâíîñòè áûëî îñòàâëåíî, êàê íå îòâå÷àþùåå îáùåìó ïîíÿòèþ ôóíêöèè. Áîëüöàíî, Êîøè, Ëîáà÷åâñêèé, à âñëåä çà íèìè è äðóãèå ìàòåìàòèêè âûäâèãàþò íà ïåðâîå ìåñòî îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè “íà ÿçûêå e è d”.

“Ñîãëàñíî

ïðàâèëüíîìó

îáúÿñíåíèþ,—

óêàçûâàë

Áîëüöàíî,—

ïîíèìàþò

ïîä

âûðàæåíèåì,

÷òî ôóíêöèÿ

f(x)

èçìåíÿåòñÿ

ïî çàêîíó

íåïðåðûâíîñòè

äëÿ âñåõ

çíà÷åíèé õ

, êîòîðûå

ëåæàò

âíóòðè èëè

âíå

èçâåñòíûõ

ãðàíèö; ëèøü

òî, ÷òî, åñëè

õ —

êàêîå-íèáóäü

èç ýòèõ

çíà÷åíèé,

òîãäà

ðàçíîñòü f(x+w)–f(x)

ìîæåò áûòü

ñäåëàíà

ìåíüøå, ÷åì

ëþáàÿ

çàäàííàÿ

âåëè÷èíà,

åñëè ìîæíî

ïðèíÿòü w

ñòîëü ìàëûì,

ñêîëüêî ìû

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35