Существует огромное множество различных МК одного и того же порядка. В уже упоминавшейся работе Френикля приведены 880 различных квадратов 4-ого порядка. В случае, если вам нужно выбрать один из нескольких, как поступить? Давайте научимся строить лимб, портрет МК.[8]

Рассмотрим квадрат 3-его порядка:

Расположив его числа в ряд, мы получим таблицу:

Расположив 9 точек по кругу, пронумеровав их и проведя линии из 1 в 4, из 2 в 9 и т.д., мы получим лимб данного квадрата:

В работах Меркурианского плана (8 - число Меркурия), связанных с информацией, знанием, коммуникациями и т.п., следует предпочесть первый квадрат. В работах Юпитерианского плана (4 - число Юпитера), связанных с планированием, благотворительностью, финансами и т.п., следует предпочесть второй квадрат.

Но в любом случае, его порядок - 3, поэтому основная направленность - Сатурн.

Вот ещё одна вариация идеи магического квадрата, магическая плоскость 4-ого порядка:

Перемещая по ней контур 4х4, внутри него мы всегда получим магический квадрат 4-ого порядка. [4]

Магическим квадратом (МК) порядка n называется числовая таблица размером клеток, заполненная натуральными числами от 1 до n2, которые размещены таким образом, что суммы чисел любого столбца, строки или главных диагоналей (см. ниже) имеют одно и то же значение. Это значение называется константой квадрата и равно S = n(n2 + 1)/2. Две диагонали, проходящие через центр квадрата, называются главными диагоналями.

Пример 1. МК 3-го порядка из 9-ти первых натуральных чисел (известный в Китае как талисман ло-шу) представляется следующей матрицей 3x3:

Константа этого квадрата равна 15.

Этот квадрат можно встретить на палубах больших пассажирских судов - площадка для игры в палубный шаффлборд размечена в виде магического квадрата третьего порядка.[8]

(Шаффлборд - игра, в которой монеты или диски ударом биты перемещают по расчерченной на девять клеток площадке).

Пример 2. МК 4-го порядка, известный еще в Древней Индии, представляется следующей матрицей 4x4:

Константа "индийского" квадрата равна 34.

Далее мы обсудим методы построения, отличия друг от друга и практическое применение МК.

1.2 Квадраты азиатского происхождения

Изображение Ло Шу в книге эпохи Мин

Ло Шу (кит.трад., упрощ., пиньинь luт shы) Единственный нормальный магический квадрат 3Ч3. Был известен ещё в Древнем Китае, первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200 до н.э.

Квадрат, найденный в Кхаджурахо (Индия)

Самый ранний уникальный магический квадрат обнаружен в надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо:

Это первый магический квадрат, относящийся к разновидности так называемых дьявольских квадратов.

Магический квадрат Ян Хуэя (Китай)

В 13 в. математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка, причем последний оказался почти ассоциативным (в нем только две пары центрально противолежащих чисел не дают сумму 37)[2]

1.3 Квадраты европейского происхождения

Квадрат Альбрехта Дюрера

Фрагмент гравюры Дюрера «Меланхолия»

Магический квадрат 4Ч4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера«Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусстве. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания картины (1514).

Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2Ч2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.

Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона -мл.

Если в квадратную матрицу n Ч n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат - нетрадиционный. Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные в основном простым числами. Первый имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (размером 4x4) - квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия

Есть еще несколько подобных примеров:

Последний квадрат примечателен тем, что он составлен из 143 последовательных простых чисел за исключением двух моментов: привлечена единица, которая не является простым числом, и не использовано единственное чётное простое число 2.

1.4 Дьявольский магический квадрат

Дьявольский магический квадрат -- магический квадрат, в котором также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях.

Такие квадраты называются ещё пандиагональными.Существует 48 дьявольских магических квадратов 4Ч4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание еще и их дополнительную симметрию -- торические параллельные переносы, то останется только 3 существенно различных квадрата:

Однако было доказано, что из последнего третьего варианта простейшими перестановками чисел получаются первые два квадрата. То есть третий вариант -- это базовый дьявольский квадрат, из которого различными преобразованиями можно построить все остальные.

Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка n>3, для любого порядка двойной чётности n=4k (k=1,2,3…) и не существуют для порядка одинарной чётности n = 4k + 2 ().

Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными. Совершенных квадратов нечётного порядка не существует. Среди пандиагональных квадратов двойной чётности выше 4 имеются совершенные.[2]

Пандиагональных квадратов пятого порядка 3600. С учётом торических параллельных переносов имеется 144 различных пандиагональных квадратов. Один из них показан ниже.

Разломанные диагонали пандиагонального квадрата

Если пандиагональный квадрат еще и ассоциативный, то он носит название идеальный. Пример идеального магического квадрата:

Известно, что не существует идеальных магических квадратов порядка n = 4k+2 и квадрата порядка n = 4. В то же время, существуют идеальные квадраты порядка n = 8. Методом построения составных квадратов можно построить на базе данного квадрата восьмого порядка идеальные квадраты порядка n = 8k, k=5,7,9...и порядка n = 8^p, p=2,3,4... В 2008 г. разработан комбинаторный метод построения идеальных квадратов порядка n = 4k , k = 2, 3, 4,...

1.5 Выводы

Истоки возникновения магических квадратом теряются во тьме веков. История магических квадратов неразрывно связана с развитием науки. Однако если в древние времена интерес к квадратам был больше эзотерический, то в нынешнее время сугубо практический. Использование алгоритмов заполнения магических квадратов позволит решить некоторые проблемы криптографии. Также выяснено существование лишь частных алгоритмов заполнения магических квадратов. Общего алгоритма, подходящего под все виды магических квадратов не существует.

Глава 2. Механизмы генерации магических фигур

2.1 Составление магических квадратов нечетного порядка

Наибольший практический интерес представляют универсальные методы, которые не зависят от порядка магического квадрата. Такие методы известны для магических квадратов нечетного порядка. Наиболее наглядный из них удобно рассмотреть на примере составления магического квадрата 5-го порядка из натуральных чисел от 1 до 25. Алгоритм этого метода включает следующие шаги. [9]

1. Сначала исходный пустой квадрат достраивается до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры как показано на следующем рисунке, где ячейки для элементов квадрата обозначены символом #, а достроенные ячейки - символом $.

2. Полученная на шаге 1 фигура заполняется по косым рядам сверху-вниз-направо целыми числами от 1 до 25 в натуральном порядке. Результат заполнения показан на следующем рисунке:

3. Каждое число, расположенное в фигуре шага 2 вне исходного квадрата, переносится по вертикали или горизонтали внутрь исходного квадрата на число позиций, равное порядку квадрата. В рассматриваемом примере перенос осуществляется на 5 позиций. Таблица переносов имеет следующий вид:

Освобождающиеся ячейки, достроенные к исходному квадрату заполняются символом $.

4. После преобразований переноса на шаге 3 освободившиеся ячейки (заполненные символом $) должны быть исключены. Оставшиеся (внутренние) ячейки (заполненные натуральными числами) образуют магический квадрат, представленный следующей матрицей 5x5:

Страницы: 1, 2, 3, 4