Численные методы при решении задач

Министерство образования Российской Федерации

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра Систем управления

Челябинск, 2004

Курсовая работа по информатике

Тема: «Численные методы при решении задач»

Автор: студент группы ПС-146

Нечаев Л. В.

Проверил: Алёшин Е. А.

• Оглавление 2
• Программы и описания 3
• Программа для решения задачи 17 3
• Условие задачи 17. 3
• Решение задачи по методу Адамса 3
• Блок-схема функции main из программы 17.c 4
• Блок-схема функции Adams из программы 17.c 5
• Листинг программы 17.c 6
• Результат решения задачи 17 на ЭВМ 9
• Вывод: 9
• Программа для решения задачи 30. 10
• Условие задачи 30. 10
• Решение задачи по методу наименьших квадратов 10
• Блок-схема функции main из программы 30.c 11
• Блок-схема функции MMinor из программы 30.c 11
• Блок-схема функции MatrixMultiply из программы 30.c 12
• Блок-схема функции Determinant из программы 30.c 12
• Листинг программы 30.c 12
• Результат решения задачи 30 на ЭВМ 17
• Вывод: 17

Разработать функцию численного интегрирования системы дифференциальных уравнений методом Адамса. Прототип функции:

void Adams (

void f(double *y, double *ys, double t),

double *y,

int n,

double tn,

double tk,

int m,

double eps);

где:

f - Функция вычисления правых частей системы дифференциальных уравнений:

y - Массив размера n значений зависимых переменных;

ys - Массив размера n значений зависимых производных;

n - Порядок системы дифференциальных уравнений;

t - Независимая переменная;

tn - Начальное значение интервала интегрирования;

tk - Конечное значение интервала интегрирования;

m - Начальное число разбиений отрезка интегрирования [tn;tk]

eps - относительная погрешность интегрирования. Вычисления прекращаются, когда , где - значение i-й компоненты вектора зависимых переменных при t=tk для количества разбиений отрезка интегрирования m.

Начальные шаги делаются по методу Рунге-Кутта.

Применить эту функцию для интегрирования дифференциального уравнения 3-его порядка y(3)+2y''+3y'+y=5+x2 в интервале xО[0;2] с шагом ?x=0, и начальными условиями x = 0; y(0) = 1; y'(0) = 0.1; y''(0) = 0.

Для запуска экстраполяционного метода Адамса требуется 4 начальных значения функции. Одно значение уже задано, а остальные получаются по методу Рунге-Кутта 4 порядка. После вычисления значения в конце отрезка происходит вычисление относительной погрешности (из текущих и ранее полученных с шагом h значений функции) и сравнение её с заданным значением. Если полученная погрешность меньше, чем заданная, то считается, что задача выполнена и происходит возврат в вызывающую программу с полученным значением функции. Если же нет - то уменьшается в 2 раза шаг и весь процесс, начиная с метода Рунге-Кутта, повторяется вновь (для вычисления новых значений функции). Так продолжается до тех пор, пока полученное значение погрешности не станет меньше чем заданное.

Для работы программы необходима функция вычисления правых частей системы дифференциальных уравнений. Это функция func (double *y, double *ys, double x). Т. к. в задаче требуется решить уравнение y(3)+2y''+3y'+y=5+x2, составляем систему дифференциальных уравнений первого порядка. Выглядит она так:

При каждом вычислении левых частей этой системы происходит дифференцирование y, y' и y'', т. е. вычисление соответственно новых значений y', y'', y'''.

Ну, а если переложить это всё в программу на Си, то получится функция func (смотри листинг 17 задачи).

Министерство образования Российской Федерации

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра Систем управления

Челябинск, 2004

Министерство образования Российской Федерации

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра Систем управления

Челябинск, 2004

// Задача 17. Численное интегрирование системы дифференциальных уравнений

// методом Адамса. Программа рассчитана на компиляцию в Micro$oft C 6.00

// или Borland C 3.1+

// (C) 2004 REPNZ. All rights reserved. Release date is 2.04.2004

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <math.h>

void func (double *y, double *ys, double t)

{ // функция вычисления правых частей уравнений

ys[0] = y[1]; // ys[1]-первая производная; ys[2]-вторая и т.д.

ys[1] = y[2]; // t-независимый аргумент

ys[2] = 5 + t * t - y[0] - 3. * y[1] - 2. * y[2];

}

void Adams (

void f (double *y, double *ys, double x),

// Функция вычиления правых частей системы

double *y, // Массив размера n значений зависимых переменных

int n, // Массив размера n значений производных

double tn, // Начало интервала интегрирования

double tk, // Конец интервала интегрирования

int m, // Начальное число разбиений отрезка интегрирования

double eps) // Относительная погрешность интегрирования

{

double *k1, *k2, *k3, *k4; // Для метода Рунге-Кутта

double *q0, *q1, *q2, *q3; // Значение производных Для метода Адамса

double *ya; // Временный массив

double *y0, *y1, *y2, *y3; // Значения функции для метода Адамса

double h; // Шаг интегрирования

double xi; // Текущее значение независимой переменной

double eps2; // Для оценки погрешности

double dq2, dq1, dq0, d2q1, d2q0, d3q0; // приращения

int flag = 0; // 0, пока идёт первый просчёт

int i, j; // Индексы

if (m < 4) m = 4; // Минимум 4 отрезка

if (tn >= tk)

{ printf ("\nНеправильные аргументы\n");

abort (); // Неправильные аргументы

}

// Выделяем память для массивов с переменными

if ((k1 = malloc ((4 + 4 + 4 + 1) * n * sizeof (double))) == 0)

{ printf ("\nОшибка распределения памяти\n");

abort (); // Прервать, если не удалось

}

// Распределяем память между массивами:

// Для метода Рунге-Кутта 4 порядка

k2 = k1 + n; k3 = k2 + n; k4 = k3 + n;

// 4 пердыдущих значения функции

y0 = k4 + n; y1 = y0 + n; y2 = y1 + n; y3 = y2 + n;

// Для временного массива сбора данных

ya = y3 + n;

// Для метода Адамса

q0 = ya + n; q1 = q0 + n; q2 = q1 + n; q3 = q2 + n;

h = (tk - tn) / m; // Шаг

eps = fabs (eps); // Абсолютное значение погрешности

start: // Отсюда начинаются вычисления

xi = tn; // Начало промежутка

// Вычисляем значения функции y0...y3, т.е. y[i-3] ... y[0]

// Первое значение системы уравнений уже дано: y ...

///////////////////////////////////////////////////////////////////////

// - Метод Рунге-Кутта 4 порядка - //

///////////////////////////////////////////////////////////////////////

for (j = 0; j < n; j++) y0[j] = y[j]; // Копируем его в y0

f (y0, q0, xi); // Заполняем q0, основываясь на значениях из y0

for (j = 0; j < n; j++) q0[j] *= h; // Делаем q0

xi += h; // Следующий шаг

// ... а остальные 3 добываем с помощью метода Рунге-Кутта 4 порядка.

for (i = 0; i < 3; i++) // i - КАКОЕ ЗНАЧЕНИЕ УЖЕ ЕСТЬ

{ // А ВЫЧИСЛЯЕМ ЗНАЧЕНИЯ Y[i+1]!!!!

// Сначала нужны коэффициенты k1

// Элемент y[i, j] = y0 + (i * n) + j = y0[i * n + j]

f (&y0[i * n], k1, xi); // Вычислим f(xi, yi) = k1 / h

// И для каждого дифференциального уравнения системы проделываем

// операции вычисления k1, а также подготовки в ya аргумента для

// вычисления k2

for (j = 0; j < n; j++)

{

k1[j] *= h; // Вычислим наконец-то k1

ya[j] = y0[i*n+j] + k1[j] / 2.;

// И один из аргументов для функции

} // вычисления k2

f (ya, k2, xi + (h / 2.)); // Вычислим f(xi,yi) = k2 / h

for (j = 0; j < n; j++)

{ // Вычислим наконец-то k2

k2[j] *= h;

ya[j] = y0[i*n+j] + k2[j] / 2.; // И один из аргументов для функции

} // вычисления k3

f (ya, k3, xi + h / 2.); // Вычислим f(xi,yi) = k3 / h

for (j = 0; j < n; j++)

{

k3[j] *= h; // Вычислим наконец-то k3

ya[j] = y0[i*n+j] + k3[j]; // И один из аргументов для функции

} // вычисления k4

f (ya, k4, xi + h); // Вычислим f(xi,yi) = k4 / h

for (j = 0; j < n; j++) k4[j] *= h; // Вычислим наконец-то k4

// Надо вычислить приращение каждой функции из n

for (j = 0; j < n; j++) // Вычисляем следующее значение

// функции

// Y[i+1] = Yi + ...

y0[(i+1)*n+j] = y0[i*n+j] + (k1[j] + 2. * k2[j] + 2 * k3[j] + k4[j]) / 6.;

// И новое значение q[i+1]

f (&y0[(i+1)*n], &q0[(i+1)*n], xi); // qi = f (xi, yi);

for (j = 0; j < n; j++) q0[((i+1)*n)+j] *= h;

xi += h; // Следующий шаг }

///////////////////////////////////////////////////////////////////////

// - Метод Адамса - //

///////////////////////////////////////////////////////////////////////

// Итак, вычислены 4 первых значения. Этого достаточно для начала метода

// Адамса для шага h.

// B y0...y3 лежат 4 значения функций (_НЕ_ПРОИЗВОДНЫХ!!!).

// A в q0...q3 лежат значения _производных_ этих функций, умноженных на h

// q0..q3, а также y0..y3 представляют собой очереди с 4 элементами

again: // Вычисляем новое значение функции Yi (Это Y[i+1])

for (j = 0; j < n; j++)

{ // Все приращения

dq2 = q3[j] - q2[j]; dq1 = q2[j] - q1[j]; dq0 = q1[j] - q0[j];

d2q1 = dq2 - dq1; d2q0 = dq1 - dq0;

d3q0 = d2q1 - d2q0;

// новое значение функции (в ya пока что)

ya[j] = y3[j] + (q3[j] + (dq2 / 2.) + (5. * d2q1 / 12.) + (3. * d3q0 / 8.));

// Сдвигаем все массивы на 1 вперёд и добавляем в очередь новое

// значение функции

y0[j] = y1[j]; y1[j] = y2[j]; y2[j] = y3[j]; y3[j] = ya[j];

// Просто сдвигаем q, ничего пока что не добавляя

q0[j] = q1[j]; q1[j] = q2[j]; q2[j] = q3[j];

}

// В очередь в качестве q3 ложим новое значение

f (y3, q3, xi); // q3 = f (xi, y3);

for (j = 0; j < n; j++) q3[j] *= h; // Вычислить q3

Страницы: 1, 2