|
|
| Генерация матриц |
|
аким образом, при k = 1 формула (1.31) доказана. Доказательство этой формулы для любого k, удовлетворяющего неравенствам 1 < k < n, проводится по индукции, т.е. формула (1.31) справедлива для (k_1) строк, и, опираясь на это, убедимся в справедливости формулы (1.31) для k строк.Итак, пусть 1 < k < n и фиксированы какие угодно k строк матрицы (1.8) с номерами , удовлетворяющими условию . Тогда по предположению для (k_1) строк с номерами справедлива формула (1.32)(суммирование идет по всем возможным значениям индексов удовлетворяющим условиям .Разложим в формуле (1.32) каждый минор по строке, имеющей в матрице (1.8) номер ik. В результате весь определитель ? будет представлен в виде некоторой линейной комбинации миноров коэффициентами, которые мы обозначим через , т.е. для ? будет справедливо равенство,и остается вычислить коэффициенты и убедиться в том, что они равны. (1.33)С этой целью заметно, что минор (n-k) - го порядка получается в результате разложения по строке с номером ik только следующих k миноров (n-k+1) - го порядка: (), (1.34)ибо каждый из остальных содержащих строку is миноров (n-k+1) - го порядка не содержит всех строк и всех столбцов минора .В разложении каждого минора (1.34) по строке матрицы (1.8) с номером ik выписывается только то слагаемое, которое содержит минор (остальные слагаемые обозначаются многоточием). Учитывая при этом, что в каждом миноре (1.34) элемент стоит на пересечении [ik - (k_1)] - й строки и [js - (s_1)] - го столбца этого минора, получимТеперь остается учесть, что в формуле (1.32) каждый минор (1.34) умножается на множительи после этого суммируется по всем s от 1 до k. Имея также в виду, что , получаем, что.Замечая, что сумма в квадратных скобках представляет собой разложение минора последней k_й строке, в итоге получим для формулу (1.33). Теорема Лапласа доказана.В полной аналогии с формулой (1.32) записывается и выводится формула разложения определителя по каким-либо k его столбцам.Свойства определителей. Ниже устанавливается ряд свойств, которыми обладает произвольный определитель n_го порядка.Свойство равноправности строк и столбцов. Транспонированием любой матрицы или определителя называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате транспонирования матрицы A получается матрица, называемая транспонированной по отношению к матрице A и обозначаемая символом A'.В дальнейшем мы договоримся символом |A|, |B|, |A'|… обозначать определители квадратных матриц A, B, A'… соответственно.Первое свойство определителя формулируется так: при транспонировании величина определителя сохраняется, т.е. |А'|=|А|.Это свойство непосредственно вытекает из теоремы 1.2 (достаточно лишь заметить, что разложение определителя |A| по первому столбцу тождественно совпадает с разложением определителя | A' | по первой строке).Доказанное свойство означает полную равноправность строк и столбцов и позволяет нам все последующие свойства устанавливать лишь для строки быть уверенными в справедливости их и для столбцов.Свойство антисимметрии при перестановке двух строк (или двух столбцов). При перестановке местами двух строк (или двух столбцов) определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный.Для определителя второго порядка это свойство проверяется элементарно (из правила (1.10) сразу вытекает, что определителиотличаются лишь знаком).Пусть n > 2, рассмотрим теперь определитель n_го порядка (1.11) и предположим, что в этом определителе меняются местами две строки с номерами i1 и i2. Записывая формулу Лапласа разложения по этим двум строкам, будет иметь. (1.35)При перестановке местами строк с номерами i1 и i2 каждый определитель второго порядка в силу доказанного выше меняет знак на противоположный, а все остальные величины, стоящие под знаком суммы в (1.35), совсем не зависят от элементов строк с номерами i1 и i2 и сохраняют свое значение. Тем самым свойство 2° доказано.Линейное свойство определителя. Будем говорить, что некоторая строка () является линейной комбинацией строк (), (),…, () с коэффициентами , если для всех j = 1, 2,…, n.Линейное свойство определителя можно сформулировать так: если в определителе n_го порядка ? некоторая i_я строка () является линейной комбинацией двух строк () и () с коэффициентами ? и µ, то , где - определитель, у которого i_я строка равна (), а все остальные строки те же, что и у ?, а ?2 - определитель, у которого i_я строка равна (), а всеостальные строки те же, что и у ?.Для доказательства разложим каждый из трех определителей по i_й строке и заметим, что у всех трех определителей все миноры элементов i_й строки одинаковы. Но отсюда следует, что формула сразу вытекает из равенств (j = 1, 2,…, n).Конечно, линейное свойство справедливо и для случая, когда i_я строка является линейной комбинацией не двух, а нескольких строк. Кроме того, линейное свойство справедливо и для столбцов определителя.Доказанные три свойства являются основными свойствами определителя, вскрывающими его природу.Следующие пять свойств являются логическими следствиями трех основных свойств.Следствие 1. Определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю. В самом деле, при перестановке двух одинаковых строк, с одной стороны, определитель ? не изменится, а с другой стороны, в силу свойства 2° изменит знак на противоположный. Таким образом, , т.е. 2?=0 или ? = 0.Следствие 2. Умножение всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя на число ? равносильно умножению определителя на это число ?.Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя можно вынести за знак этого определителя. (Это свойство вытекает из свойства 3° при ? = 0.)Следствие 3. Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю. (Это свойство вытекает из предыдущего при ? = 0.)Следствие 4. Если элементы двух строк (или двух столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю. (В самом деле, в силу следствия 2 множитель пропорциональности можно вынести за знак определителя, после чего останется определитель с двумя одинаковыми строками, который равен нулю согласно следствию 1).Следствие 5. Если к элементам некоторой строки (или некоторого столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (другого столбца), умноженные на произвольный множитель ?, то величина определителя не изменится. (В самом деле, полученный в результате указанного прибавления определитель можно в силу свойства 3° разбить на сумму двух определителей, первый из которых совпадает с исходным, а второй равен нулю в силу пропорциональности двух строк (или столбцов) и следствия 4.)Следствие 5, как и линейное свойство, допускает более общую формулировку, которую приведем для строк: если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы строки, являющейся линейной комбинацией нескольких других строк этого определителя (с какими угодно коэффициентами), то величина определителя не изменится.Следствие 5 широко применяется при конкретном вычислении определителей (соответствующие примеры будут приведены в следующем пункте).Прежде чем сформулировать еще одно свойство определителя, введем полезное понятие алгебраического дополнения данного элемента определителя.Алгебраическим дополнением данного элемента определителя n_го порядка (1.11) назовем число, равное и обозначаемое символом .Таким образом, алгебраическое дополнение данного элемента может отличаться от минора этого элемента только знаком.С помощью понятия алгебраического дополнения теоремы 1.1 и 1.2 можно переформулировать так: сумма произведений элементов любой строки (любого столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения этой строки (этого столбца) равна этому определителю.Соответствующие формулы разложения определителя по i_й строке и по j_му столбцу можно переписать так: (1.13') (1.21')Свойство алгебраических дополнений соседних строк (или столбцов). Сумма произведений элементов какой-либо строки (или какого-либо столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов любой другой строки (любого другого столбца) равна нулю.Доказательство проведем для строк (для столбцов оно проводится аналогично). Записывая подробно формулу (1.13') (1.36)видно, что поскольку алгебраические дополнения не зависят от элементов i - й строки , то равенство (1.36) является тождеством относительно и сохраняется при замене чисел любыми другими n числами. Заменив соответствующими элементами любой (отличной от i_й) k_й строки , мы получим слева в (1.36) определитель с двумя одинаковыми строками, равный нулю согласно следствию 1. Таким образом,(для любых несовпадающих i и k). 2. Описание алгоритма генерации матриц2.1 Описание алгоритма программы генерации квадратных матрицИсследовав теоретическую часть по проблеме генерации матриц, приступаем к практическому применению полученных знаний. Но прежде, чем приступать к написанию кода программы, генерирующей квадратные матрицы по введенному пользователем определителю, размерности матрицы и диапазона элементов матрицы, составим алгоритм для решения данной задачи.Алгоритм.1. Ввести определитель, размерность и диапазон значений генерируемой матрицы.2. Если введенный определитель является простым числом, выходящим за рамки введенного диапазона, и размерность меньше двух, то выдать сообщение об ошибке и перейти к пункту 1, иначе, при корректном вводе, перейти к пункту 3.3. Организовать функцию разложения определителя на простые множители. Полученные множители записать в вспомогательный массив.4. Если размерность вспомогательного массива меньше размерности строки генерируемой матрицы, то массив дополняется единицами до тех пор, пока размерность вспомогательного массива не будет равна размерности строки генерируемой матрицы. Если размерность вспомогательного массива больше размерности строки генерируемой матрицы, то получившийся в результате разности размерностей массива и матрицы хвост перемножается с первыми элементами вспомогательного массива.5. Организовать цикл для генерации матрицы, в которой получившийся массив в пункте 4 располагается на главной диагонали, и одна из областей, находящихся выше или ниже главной диагонали, заполняется случайными числами, принадлежащими введенному диапазону, а другая заполняется нулями.6. Дальше берется первая строка, умноженная на определенные коэффициенты, получившейся матрицы и складывается с остальными строками.7. Вывести получившуюся матрицу на экран.2.2 Написание программы, реализующей алгоритм генерации матрицПреодоление проблем, возникших при написании программыПри написании кода программы, реализующей алгоритм генерации матриц, столкнулись с рядом трудностей.Во-первых, необходимо было реализовать проверку вводимых данных, чтобы вводимый определитель удовлетворял диапазону элементов матрицы, т.е. введенный определитель, если является простым числом, то должен входить во введенный диапазон, и размерность матрицы должна быть больше двух. Для преодоления первой проблемы был разработан следующий алгоритм, реализация которого будет приведена ниже.1. Инициализировать функцию простого числа.2. Инициализировать функцию проверки определителя и размерности.3. Если определитель выходит за рамки диапазона и является простым числом или размерность матрицы меньше двух, то выдаем сообщение об ошибке.4. Иначе при успешной проверки переходим к дальнейшим преобразованиям для генерации матрицы.
Страницы: 1, 2, 3, 4
|
|
|
|
© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент. |
|
|
