Сетевое планирование в условиях неопределенности

При определении временных параметров сетевого графика до сих пор предполагалось, что время выполнения каждой работы точно известно. Такое предположение в действительности выполняется редко: СПУ обычно применяется для планирования сложных разработок, не имевших в прошлом никаких аналогов.

В данной ситуации продолжительность работы является случайной величиной, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый промежуток. Соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения случайной величины. Для непрерывных случайных величин одной из такого закона является функция плотности случайных величин, которая полностью описывает случайные величины с вероятностной точки зрения. График этой функции называется кривой распределения.

Пример.

Найти вероятность попадания величины Х на отрезок б до в через плотность распределения.

Решение: Р(б<Х<в) =

Рис.5

В механической интерпретации функция f(x) буквально характеризует плотность распределения масс по оси абсцисс. Поскольку масса распределена не по отдельным точкам, а непрерывно по оси абсцисс, ни одна точка не обладает конечной массой. По аналогии можно сделать вывод о том, что вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю. Поэтому следует говорить об f(x)dx - элементе вероятности.

Наиболее употребительными характеристиками случайных величин являются математическое ожидание и дисперсия у2.

Математическое ожидание характеризует положение случайных величин на числовой оси, то есть указывает среднее значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины.

В механической интерпретации математическое ожидание есть не что иное, как абсцисса центра тяжести системы материальных точек.

Дисперсия случайной величины у2 есть характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около её математического ожидания. Само слово «дисперсия» означает «рассеивание».

Если вновь обратиться к теоретической механике, то дисперсия представляет собой не что иное, как момент инерции заданного распределения масс относительно центра тяжести (математического ожидания).

Практически во всех системах СПУ априори принимается, что распределение продолжительности работ обладает тремя свойствами:

а) непрерывностью;

б) унимодальностью, то есть наличием единственного максимума у кривой распределения;

в) двумя точками пересечения кривой распределения с осью Ох, имеющие неотрицательные абсциссы.

Кроме того, установлено, что распределение продолжительности работ обладает положительной асимметрии, то есть максимум кривой смещен влево относительно медианы (линии, делящей площадь под кривой на две равные части). Распределение, как правило, более круто поднимается при удалении от минимального значения t и полого опускается при приближении к максимальному значению t.

Простейшим распределением с подобными свойствами является известно в математической статистике в - распределении. Анализ большого количества статистических данных (хронометрии времени реализации отдельных работ, нормативные данные и т.д.) показывает, что в - распределение можно использовать для всех работ.

График для определения числовых характеристик и у2(i,j) этого распределения работы (i,j) на основании опроса ответственных исполнителей проекта и экспертов определяют три временные оценки:

а) оптимистическую оценку t0(i,j), то есть продолжительность работы (i,j) при самых благоприятных условиях;

б) пессимистическую оценку tп(i,j), то есть продолжительность работы (i,j) при самых неблагоприятных условиях;

в) наиболее вероятную оценку tнв(i,j), то есть продолжительность работы (i,j) при нормальных условиях.

Предположение о в - распределении продолжительность работы (i,j) позволяет получить следующие оценки её числовых характеристик:

Следует отметить, что обычно специалистам трудно оценить наиболее вероятно время выполнения работы tп(i,j). Поэтому в реальных проектах используется упрощенная (и менее точное) оценка средней продолжительности работы (i,j) на основании лишь двух задаваемых временных оценок t0(i,j) и tп(i,j):

Зная и у2(i,j) можно определять временные параметры сетевого графика и оценивать их надежность.

Так при достаточно большом числе работ, принадлежащих пути L, и выполнения некоторых весьма общих условий можно применить центральную предельную теорему Ляпунова, на основании которой можно утверждать, что общая продолжительность пути L имеет нормальный закон распределения со средним значением (L), равным сумме средних значений продолжительности составляющих его работ и дисперсией у2(L), равной сумме соответствующих дисперсий у2(i,j):

Предположим, что взятый в качестве примера график представляет сеть не с детерминированным (фиксированным) , а со случайными продолжительностями работ . Кроме того известны все дисперсии у2(i,j).

Следует отметить, что и в этом случае временные параметры сетевого графика - длина критического пути, ранние и поздние сроки свершения событий, резервы времени событий и работ и т. д. - будут такие же, как и рассчитанные первоначально.

Но при этом необходимо учесть, что эти параметры теперь будут являться средними значениями соответствующих случайных величин: средней длиной критического пути , средним значением раннего срока наступления события , средним значением полного резерва времени работы Rп(i,j) и т.п.

Так =7 будет означать, что длина критического пути лишь в среднем составляет 7 месяцев, а в каждом конкретном проекте возможны заметные отклонения длины критического пути от её среднего значения (причем, чем больше суммарная дисперсия продолжительности работ критического пути, тем более вероятны значительные по абсолютной величине отклонения).

Поэтому предварительный анализ сетей со случайными продолжительностями работ, как правило, не ограничивается расчетами временных параметров сети. Весьма важным моментом анализа становиться оценка вероятности того, что срок выполнения проекта tкр не превзойдет заданного директивного срока Т.

Полагая tкр случайной величиной, имеющей нормальный закон распределения, получим:

где Ф(z) - значение интеграла вероятностей Лапласа

Если Р (tкр< Т) мала (например, меньше 0,3), то опасность срыва заданного срока выполнения комплекса велика, необходимо принятие дополнительных мер (перераспределение ресурсов по сети, пересмотр состава событий и работ и т.п.). Если Р (tкр< Т) значительно (например, более 0,8), то , очевидно, с достаточной степенью надежности можно прогнозировать выполнение проекта в установленный срок.

В некоторых случаях представляет интерес решение обратной задачи: определение максимального срока выполнения проекта Т, который возможен с заданной надежностью (вероятностью) в в этом случае

где zв - нормированное отклонение случайной величины, определяемое с помощью функции Лапласа Ф(zв) = в.

Пример. Оценить вероятность выполнения проекта в срок Т = 9 месяцев.

Теперь искомая вероятность

т.е. можно с известным риском предполагать выполнения проекта в срок.

Рассмотрим пример решения обратной задачи: оценить максимально возможный срок Т выполнения проекта с надежностью в = 0,95.

Получаем Т = 7+z0.95·4.1 = 7+8 = 15, т.е. с надежностью 0,95 срок выполнения проекта не превысит 15 месяцев.

Однако приведенный метод расчета имеет принципиальные недостатки оценки параметров. Во-первых, он годится для сложных сетей с большим количеством работ. Во-вторых, даже в том случае, на практике нередки случаи, когда дисперсии у2(L) длине некритических (но близких к критическому) путей существенно больше, чем у2кр. Поэтому при изменении ряда условий в данном конкретном комплекте работ возможен переход к новым критическим путям, которые в расчете не учитывается.

Лабораторная работа №1

Создание нового проекта и просмотр критического пути

После запуска программы на экране дисплея появляется рабочее окно Microsoft Project (Рис.1.1).

63

Рис.1.1. Рабочее окно Microsoft Project

Microsoft Project имеет интерфейс аналогичный для всех программ Windows. Основное пространство рабочего окна предназначено для отражения текущего проекта в различных режимах - или иначе представлениях. Переход от одного представления проекта к другому осуществляется через падающее меню Вид. По умолчанию при первом запуске Microsoft Project устанавливается режим диаграммы Ганта, который используется для составления списка и графика работ.

Создание нового проекта включает следующие основные шаги:

· Внесение основных сведений о проекте.

· Настройка базового календаря.

· Ввод работ.

· Установление связей между работами.

· Группировка работ.

· Просмотр работ критического пути.

Для внесение информации о новом проекте необходимо выбрать из падающего меню Пуск команду Сведения о проекте… .

В результате откроется диалоговое окно, представленное на рис.1.2.

Рис.1.2. Окно Сведения о проекте

Microsoft Project позволяет создавать проект от начальной или конечной даты. Если предполагается планирование от конечной даты, то в открывающемся списке Планирование следует выбрать дата окончания проекта. Затем в открывающемся списке Дата окончания следует установить конечную дату. При этом в центре диалогового окна появится надпись Все работы начинаются как можно позднее.

Мы будем создавать наш проект от начальной даты, поэтому оставим эту установку без изменения.

В открывающемся списке Дата начала по умолчанию предлагается текущая дата. Мы же предлагаем начать выполнение нашего проекта 3 марта 2004 года. Для установки этой даты необходимо нажать на кнопку у правой границы поля открывающегося списка Дата начала. Появится календарь текущего месяца (Рис.1.3).

Теперь курсором следует указать требуемую дату, и она автоматически отобразится в открывающемся списке Дата начала.

В открывающемся списке Календарь можно выбрать один из типов предлагаемых программой календарей: Стандартный, 24 часа, Ночная смена.

По умолчанию Microsoft Project создает график на основе Стандартного базового календаря. Этот календарь может быть легко модифицирован. Кроме того, на его основе можно создавать новые календари, включая индивиду-альные календари для каждого работника (ресурса). Например, одна бригада может работать без выходных на сдельной оплате труда, а другая - на повременной оплате со всеми выходными днями.

Сделаем некоторые настройки в базовом календаре, прежде чем вводить в проект исходную информацию. Для этого выберем команду Параметры из падающего меню Сервис. Щелкнем мышью на вкладке Календарь. Появится диалоговое окно с основными настройками базового календаря (Рис.1.4).

Рис.1.4. Вкладка Календарь диалога Параметры

Убедитесь, что в открывающемся списке День начала недели установлено Понедельник.

Финансовый год должен начинаться с января. Убедитесь, что в открывающемся списке Начало финансового года установлено Январь.

В поле списка Начало рабочего времени введите 8:15

В поле списка Конец рабочего времени введите 17:15

Убедитесь, что в поле со счетчиком Рабочих часов в день установлено 8, а в поле Рабочих часов в неделю установлено 40, а Дней в неделю - 20.

Нажмите кнопку Установить по умолчанию. Это позволит установленные параметры календаря использовать в текущем и во всех вновь создаваемых проектах.

Теперь необходимо провести более точные настройки календаря, указав программе нерабочие и предпраздничные сокращенные дни. Эти настройки мы будем выполнять уже в новом календаре. Для его создания следует выбрать из падающего меню Сервис команду Изменить рабочее время… . Внизу появившегося диалогового окна нажать кнопку Создать (Рис.1.5).

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6