Квантовые вычисления

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

Реферат

Квантовые вычисления

2009

Содержание

Введение

Глава I. Основные понятия квантовой механики

Глава II. Основные понятия и принципы квантовых вычислений

Глава III. Алгоритм Гровера

Заключение

Список литературы

Введение

Представьте себе компьютер, память которого экспоненциально больше, чем можно было бы ожидать, оценивая его явный физический размер; компьютер, который может оперировать одновременно с экспоненциально большим набором входных данных; компьютер, который проводит вычисления в туманном для большинства из нас гильбертовом пространстве.

Тогда вы думаете о квантовом компьютере.

Идея вычислительного устройства, основанного на квантовой механике, впервые рассматривалась еще в ранних 1970-х годах и ранних 1980-х физиками и компьютерными учеными, такими, например, как Чарльз Х. Беннет из IBM Thomas J. Watson Research Center, Пол А. Бениофф из Аргоннской национальной лаборатории в Иллинойсе, Дэвидом Дойчем из Оксфордского университета, и позднее Ричардом П. Фейнманом из из Калифрнийского технологического института (Калтех). Идея возникла тогда, когда ученые заинтересовались фундаментальными ограничениями вычислений. Они поняли, что если технология будет продолжать следовать постепенному уменьшению размеров вычислительных сетей упакованных в кремниевые ЧИПы, то это приведет к тому, что индивидуальные элементы станут не больше чем несколько атомов. Тогда возникла проблема, так как на атомном уровне действуют законы квантовой физики, а не классической. А это подняло вопрос, можно ли сконструировать компьютер, основанный на принципах квантовой физики.

Фейнман одним из первых попытался дать ответ на этот вопрос. В 1982г. он предложил модель абстрактной квантовой системы, пригодной для вычислений. Он также объяснил, как такая система может быть симулятором в квантовой физике. Другими словами, физики могли бы проводить вычислительные эксперименты на таком квантовом компьютере.

Позже, в 1985 году, Дойч осознал, что утверждение Фейнмана могло бы, в конце концов, привести к квантовому компьютеру общего назначения, и опубликовал важнейшую теоретическую работу, показывающую, что любой физический процесс может в принципе быть промоделирован на квантовом компьютере.

К сожалению, все, что тогда смогли придумать, было несколько довольно надуманных математических задач, до тех пор, пока Шор выпустил в 1994 году свою работу, в которой представил алгоритм решения на квантовом компьютере одной важной задачи из теории чисел, а именно, разложения на простые множители. Он показал, как набор математических операций, сконструированных специально для квантового компьютера, может факторизовать (разложить на простые множители) огромные числа фантастически быстро, значительно быстрее, чем на обычных компьютерах. Это был прорыв, который перевел квантовые вычисления из разряда академического интереса в разряд задачи, интересной для всего мира.

Глава I. Основные понятия квантовой механики

В конце 19 века среди ученых было широко распространено мнение, что физика - наука «практически завершенная» и для полной её «завершенности» осталось совсем немного: объяснить структуру оптических спектров атомов и спектральное распределение теплового излучения. Оптические спектры атома получаются при испускании или поглощении света (электромагнитных волн) свободными или слабо связанными атомами; такими спектрами обладают, в частности, одноатомные газы и пары.

Тепловое излучение - это механизм переноса тепла между пространственно разделёнными частями тела за счет электромагнитного излучения.

Однако начало 20 века привело к пониманию того, что ни о какой «завершенности» не может быть и речи. Становилось ясным, что для объяснения этих и многих других явлений требуется кардинальным образом пересмотреть представления, лежащие в основе физической науки.

Например, исходя из волновой теории света, оказалось невозможным дать исчерпывающее объяснение всей совокупности оптических явлений.

При решении проблемы спектрального состава излучения немецким физиком Максом Планком в 1900 году было высказано предположение о том, что излучение и поглощение света веществом происходит конечными порциями, или квантами. При этом энергия фотона - кванта электромагнитного излучения (в узком смысле -- света) определяется выражением

,

Где - частота излучаемого (или поглощаемого) света, а - универсальная постоянная, называемая теперь постоянной Планка.

Часто используется постоянная Дирака

Тогда энергия кванта выражается как , где

- круговая частота излучения.

Противоречия между рассмотрением света как потока заряженных частиц и как волны привело к понятию корпускулярно-волнового дуализма.

С одной стороны, фотон демонстрирует свойства электромагнитной волны в явлениях дифракции (огибание волнами препятствий, сравнимых с длинной волны) и интерференции (наложение волн с одинаковой частотой и с одинаковой начальной фазой) в масштабах, сравнимых с длиной волны фотона. Например, одиночные фотоны, проходящие через двойную щель, создают на экране интерференционную картину, которую можно описать уравнениями Максвелла. Тем не менее, эксперимент показывает, что фотоны излучаются и поглощаются целиком объектами, размеры которых много меньше длины волны фотона (например, атомами), или, вообще, в некотором приближении могут считаться точечными (например, электрон), то есть ведут себя как частицы - корпускулы. В окружающем нас макромире существует два фундаментальных способа передачи энергии и импульса между двумя точками пространства: непосредственное перемещение материи в одной точки в другую и волновой процесс передачи энергии без переноса вещества. Все носители энергии здесь строго разделены на корпускулярные и волновые. Напротив, в микромире такого разделения не существует. Всем частицам, а в частности и фотонам, приписываются одновременно и корпускулярные, и волновые свойства. Ситуация ненаглядна. Это объективное свойство квантовых моделей.

Почти монохроматическое излучение с частотой испускаемое источником света, можно представить себе состоящим из «пакетов излучения», которые мы называем фотонами. Монохроматическое излучение - обладающее очень малым разбросом частот, в идеале -- одной длиной волны.

Распространение фотонов в пространстве правильно описывается классическими уравнениями Максвелла. При этом каждый фотон считается классическим цугом волн, определенным двумя векторными полями - напряженностью электростатического поля и индукцией магнитного поля . Цуг волн -- это ряд возмущений с перерывами между ними. Излучение отдельного атома не может быть монохроматическим, потому что излучение длится конечный промежуток времени, имея периоды нарастания и угасания.

Неправильно интерпретировать сумму квадратов амплитуд и как плотность энергии в пространстве, в котором движется фотон; вместо этого каждую величину, квадратично зависящую от амплитуды волны следует интерпретировать как величину пропорциональную вероятности какого-либо процесса. Скажем, не равен энергии, вносимой фотоном в эту область, а пропорционален вероятности обнаружить фотон в этой области.

Энергия, переданная в каком-либо месте пространства фотоном, всегда равна . Тем самым где - вероятность нахождения фотона в данной области, а - число фотонов.

В 1921 году опытом Штерна-Герлаха было подтверждено наличие у атомов спина и факт пространственного квантования направления их магнитных моментов (от англ. spin -- вращаться, вертеться.). Спин -собственный момент количества движения элементарных частиц, имеющий квантовую природу и не связанный с перемещением частицы как целого. При введении понятия спина предполагалось, что электрон можно рассматривать как «вращающийся волчок», а его спин - как характеристику такого вращения. Спином называют также собственный момент импульса атомного ядра или атома; в этом случае спин определяется как векторная сумма (вычисленная по правилам сложения моментов в квантовой механике) спинов элементарных частиц, образующих систему, и орбитальных моментов этих частиц, обусловленных их движением внутри системы.

Спин измеряется в единицах (приведенных постоянных Планка, или постоянных Дирака) и равен , где J -- характерное для каждого сорта частиц целое (в т. ч. нулевое) или полуцелое положительное число - спиновое квантовое число, которое обычно называют просто спином (одно из квантовых чисел). В связи с этим говорят о целом или полуцелом спине частицы. Однако не следует путать понятия спин и спиновое квантовое число. Спиновое квантовое число -- это квантовое число, определяющее величину спина квантовой системы (атома, иона, атомного ядра, молекулы), т. е. её собственного (внутреннего) момента импульса. Проекция спина на любое фиксированное направление z в пространстве может принимать значения J, J--1, ..., --J. Т. о., частица со спином J может находиться в 2J + 1 спиновых состояниях (при J = 1/2 - в двух состояниях), что эквивалентно наличию у неё дополнительной внутренней степени свободы.

Ключевым элементом квантовой механики является принцип неопределенности Гейзенберга, который говорит о том, что нельзя одновременно точно определить положение частицы в пространстве и ее импульс. Этот принцип объясняет квантование света, а также пропорциональную зависимость энергии фотона от его частоты.

Движение фотона можно описать системой уравнений Максвелла, в то время как уравнение движения любой другой элементарной частицы типа электрона описывается уравнением Шрёдингера, которое более общее.

Система уравнений Максвелла инвариантна относительно преобразования Лоренца. Преобразованиями Лоренца в специальной теории относительности называются преобразования, которым подвергаются пространственно-временные координаты (x,y,z,t) каждого события при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. По сути, эти преобразования представляют собой преобразования не только в пространстве, как преобразования Галилея, но и во времени.

Глава II. Основные понятия и принципы квантовых вычислений

Хотя компьютеры стали компактными и значительно быстрее, чем раньше, справляются со своей задачей, сама задача остается прежней: манипулировать последовательностью битов и интерпретировать эту последовательность как полезный вычислительный результат. Бит - это фундаментальная единица информации, обычно представляемая как 0 или 1 в вашем цифровом компьютере. Каждый классический бит физически реализуется макроскопической физической системой, такой как намагниченность на жестком диске или заряд конденсатора. Например, текст, составленный из n символов, и сохраненный на жестком диске типичного компьютера, описывается строкой из 8n нулей и единиц. Здесь и лежит фундаментальное отличие между вашим классическим компьютером и квантовым компьютером. В то время как классический компьютер подчиняется хорошо понятным законам классической физики, квантовый компьютер это устройство, которое использует квантово-механические явления (в особенности квантовую интерференцию), чтобы осуществлять совершенно новый способ обработки информации.

В квантовом компьютере фундаментальная единица информации (называемая квантовый бит или кубит), не двоична, а скорее четверична по своей природе. Это свойство кубита проистекает как прямое следствие его подчиненности законам квантовой механики, которые радикально отличаются от законов классической физики. Кубит может существовать не только в состоянии, соответствующем логическим 0 или 1, как классический бит, но также в состояниях, соответствующих смесли или суперпозиции этих классических состояний. Другими словами, кубит может существовать как ноль, как единица, и как одновременно 0 и 1. При этом можно указать некоторый численный коэффициент, представляющий вероятность оказаться в каждом состоянии.

Идеи о возможности построения квантового компьютера восходят к работам Р. Фейнмана 1982- 1986 гг. Рассматривая вопрос о вычислении эволюции квантовых систем на цифровом компьютере, Фейнман обнаружил "нерешаемость" этой задачи: оказывается, что ресурсы памяти и быстродействия классических машин недостаточны для решения квантовых задач. Например, система из n квантовых частиц с двумя состояниями (спины 1/2) имеет 2n базисных состояний; для ее описания необходимо задать (и записать в память ЭВМ) 2n амплитуд этих состояний. Отталкиваясь от этого негативного результата, Фейнман высказал предположение, что, вероятно, "квантовый компьютер" будет обладать свойствами, которые позволят решать на нем квантовые задачи.[3]

Страницы: 1, 2, 3