· набрать оператор «:=» и выражение для первой производной (выразить из дифференциального уравнения), в котором вместо имени искомой функции подставлен первый элемент вектора-параметра, например, для уравнения

вектор-функция будет определятся следующим образом:

( если ORIGIN=0, подставлять );

q присвоить некоторой переменной значение функции rkfixed, указав в скобках следующие параметры:

· первый - имя вектора начальных условий,

· второй - левая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,

· третий - правая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,

· четвертый - количество точек, в которых ищется решение,

· пятый - имя вектора-функции, описывающего первую производную, без параметров;

например:

(в результате получится матрица Z, в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомой функции, во втором - значения самой функции);

q вывести матрицу, содержащую решение ДУ с помощь оператора «=», например: Z = ;

q построить график найденной функции (см. тему 5), указав в качестве аргумента по оси абсцисс столбец , а в качестве значения функции по оси ординат - столбец (если ORIGIN=0, набирать соответственно и ).

Решение систем дифференциальных уравнений

Последовательность действий для решения системы дифференциальных уравнений первого порядка такова (описана для значения ORIGIN=0):

q перейти в исходной системе уравнений к однотипным обозначениям функций и выразить первые производные, например, систему

можно преобразовать в ;

q в документе MathCad сформировать вектор начальных условий, количество элементов которого равно количеству уравнений системы, присвоив его некоторой переменной (см. тему 2); например

q определить вектор-функцию, которая содержит первые производные искомых функций:

· набрать имя функции с двумя параметрами: первый параметр - аргумент искомых функций (независимая переменная), второй - имя вектора, содержащего искомые функции (можно использовать имя вектора начальных условий), например, D(t,V);

(Замечание: если независимая переменная явно не присутствует в системе, то в качестве ее имени можно выбрать любую переменную)

· набрать оператор «:=» и вставить шаблон вектора, количество элементов которого равно количеству уравнений системы (см. тему 2)

· набрать в качестве элементов вектора правые части системы уравнений, в которых искомые функции представлены соответствующими элементами вектора-параметра, например,

q присвоить некоторой переменной значение функции rkfixed, указав в скобках следующие параметры:

· первый - имя вектора начальных условий,

· второй - левая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,

· третий - правая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,

· четвертый - количество точек, в которых ищется решение,

· пятый - имя вектора-функции, описывающего первые производные, без параметров; например:

(в результате получится матрица Z, в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомых функций, во втором - значения первой функции, в третьем - значения второй функции и т.д.);

q вывести матрицу, содержащую решение системы ДУ с помощь оператора «=», например: Z = ;

построить графики найденных функций (см. тему 5), указав в качестве аргумента по оси абсцисс первый столбец матрицы решений, например, , а в качестве значений функций по оси ординат - остальные столбцы матрицы через запятую, например, ,

2 Алгоритмический анализ задачи

2.1 Постановка задачи

1. С использованием системы MathCAD рассчитать значения функций напряжения на конденсаторе и тока в цепи второго порядка в свободном режиме при отсутствии гармонического воздействия. Построить графики этих функций.

2. Рассчитать значения и построить графики функций напряжения на конденсаторе и тока в цепи при апериодическом и колебательном режимах.

3. Исследовать реакцию колебательного контура на гармоническое воздействие e(t). Построить графики функций напряжения на конденсаторе и тока в цепи при различных значениях частоты гармонического воздействия.

2.2 Описание математической модели

Работу цепи, приведенной на рисунке, описывает дифференциальное уравнение второго порядка вида

при e(t)=0

В свободном режиме ( при отсутствии внешнего источника ЕДС) данное дифференциальное уравнение будет выглядеть следующим образом

Гармоническое воздействие e(t) описывается следующей функциональной зависимостью

e(t)=Em•sin(?•t)

где Em - амплитуда гармонического напряжения;

? - круговая частота гармонического напряжения.

Собственная частота колебательного контура определяется по формуле

При исследованиях п.3 необходимо выполнить следующие вычисления:

1) Частота гармонического напряжения значительно меньше, чем собственная частота колебательного контура.

2) Частота гармонического напряжения имеет значение, близкое к собственной частоте колебательного контура.

3) Частота гармонического напряжения имеет значение, равное собственной частоте колебательного контура.

4) Частота гармонического напряжения имеет значение, близкое к собственной частоте колебательного контура и больше его.

5) Частота гармонического напряжения значительно больше, чем собственная частота колебательного контура.

2.3 Анализ исходных и результирующих данных

Графическая схема алгоритма

• 3 Описание реализации задачи в MathCad
• 3.1 Описание реализации базовой модели
• Для реализации решения данной задачи в начале необходимо решить уравнение (1) используя: исходные данные из таблицы 1 и время t,время исследования 10-2 с.В свободном режиме при отсутствии гармонического воздействия.

(1)

В результате решения получаем вектор, состоящий из ответов решения уравнения, которыми является изменением напряжения с течение времени (приложение А). Данный вектор используем для построения графика зависимости, напряжения от времени Uc(t). Но, в MathCAD для решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений (в нашем случаи дифференциальное уравнение второго порядка) необходимо их преобразование. В результате преобразований имеющих вид;

Uc=y1 - напряжение

Uc'=y2 - скорость изменения напряжения

y2=

получим систему из двух дифференциальных уравнений:

(2)

Решение которых и является целевой задачей данной курсовой работы. При решении системы уравнений (2) получаем матрицу, состоящую из трёх столбцов где, первым столбцом которой является изменение времени t, вторым значение заряда с течением времени Uc(t) и третьим производная от изменения заряда с течением времени Uc'(t) (приложение А). Потом также строим график зависимости величины напряжения от времени Uc(t).

Следующим шагом в решении является решения дифференциального уравнения (3)

(3)

где Uc(t) и Uc'(t) будут результатами.

3.2 Описание опытной части

Выполнение опытной части представляет собой проведение ряда опытов при изменении варьируемого параметра (в нашем случае ?c) и пронаблюдать изменение графика функции. Для проведения опытной части необходимо повторить п. 3.1.

3.3 Выводы по работе

В проделанной работе мы с использованием системы MathCAD рассчитали значения функций напряжения на конденсаторе и тока в цепи второго порядка в свободном режиме при отсутствии гармонического воздействия и исследовали реакцию колебательного контура на гармоническое воздействие e(t). В результате, получили графики функций напряжения на конденсаторе и тока в цепи при апериодическом и колебательном режимах.

Анализируя полученные графики, мы пришли к выводу: с увеличением частоты до частоты резонанса наблюдается рост амплитуды тока и напряжения. При частоте резонанса амплитуда тока и напряжения -- максимальна. При дальнейшем увеличение частоты, наблюдается уменьшение амплитуды тока и напряжения.

Если при апериодическом воздействии получился график затухающих колебаний, при резонансе - возрастающее колебание, а при изменении частоты, за исключением частоты резонанса, получаем синусоидальный график с неравномерной изменяющейся амплитудой в зависимости от времени.

Список литературы

1. Фигурнов В. Э. IBM PC для пользователя. Краткий курс. - М.: ИНФРА - М, 2001. - 480 с.: ил.

2. Дьяконов В. П. Справочник по MathCAD Plus 6.0 Pro - М.: «СК Пресс», 1997. -336с.

3.Туранкова Л. В.«Численное решение дифференциальных уравнений». М/ук 666 Гомель, ГГТУ, 1985г

4. Симонович С.В. Информатика. Базовый курс. 2-е издание - СПб.: Питер,2007. - 640 с.: ил.

5.Трохова Т.А. Практическое пособие по теме "Основные приемы работы в системе MathCAD, версии 6.0." для студентов всех специальностей дневного и заочного отделений. - Гомель: ГГТУ, 1998. (м/у 2286).

6.Токочаков В.И. Практическое пособие по теме "Решение систем алгебраических и дифференциальных уравнений в среде MathCAD Windows" для студентов всех специальностей дневного и заочного отделений. - Гомель: ГГТУ, 2000. (м/у 2453).

Заключение

В данной курсовой работе была разработана математическая модель технического объекта. С использованием системы MathCAD рассчитать значения функций напряжения на конденсаторе и тока в цепи второго порядка в свободном режиме при отсутствии гармонического воздействия. Построить графики этих функций.

Рассчитать значения и построить графики функций напряжения на конденсаторе и тока в цепи при апериодическом и колебательном режимах. Исследовать реакцию колебательного контура на гармоническое воздействие e(t). Построить графики функций напряжения на конденсаторе и тока в цепи при различных значениях частоты гармонического воздействия.

В курсовой работе показано, что уже и в наши дни можно полностью автоматизировать труд как отдельных инженеров, так и целых проектных институтов. Безусловно, все те навыки, которые получены изучая курс информатики, будут успешно и эффективно применены в дальнейшем при решении многих инженерных задач. Таким образом, использование ПК существенно облегчает задачи решения и описания технологических процессов, позволяет инженеру быстро и качественно произвести необходимые расчеты, уменьшая во много раз процент ошибки.

Приложение А

С использованием системы MathCAD рассчитать значения функций напряжения на конденсаторе и тока в цепи второго порядка в свободном режиме при отсутствии гармонического воздействия. Построить графики этих функций.

Исходные данные

Решаем Д У

Полученные данные:

График падения напряжения на конденсаторе

Приложение Б

Рассчитать значения и построить графики функций напряжения на конденсаторе и тока в цепи при апериодическом режиме.

Исходные данные

Решаем Д У

Полученные данные

График функции тока в цепи при апериодическом режиме

График функции напряжения на конденсаторе при апериодическом режиме

Рассчитать значения и построить графики функций напряжения на конденсаторе и тока в цепи при колебательном режиме.

Исходные данные

Решаем Д У

Полученные данные

График функции тока в цепи при колебательном режиме

График функции напряжения

Приложение В

Исследовать реакцию колебательного контура на гармоническое воздействие e(t). Построить графики функций напряжения на конденсаторе и тока в цепи при различных значениях частоты гармонического воздействия.

Исходные данные

Решаем Д У

Полученные данные

График функции тока в цепи

График функции напряжения

Исходные данные

Решаем Д У

Полученные данные:

График функции тока в цепи

График функции напряжения

Исходные данные

Решаем Д У

Полученные данные

График функции тока в цепи

График функции напряжения

Исходные данные

Решаем Д У

Полученные данные

График функции тока в цепи

График функции напряжения

Исходные данные

Решаем Д У

Полученные данные

График функции тока в цепи

График функции напряжения

Исходные данные

Решаем Д У

Полученные данные

График функции тока в цепи

График функции напряженя

Страницы: 1, 2