Каталог Рефератов - Методы исследования операций - скачать рефераты, бесплатно рефераты

	Информационно-образоательный портал
	Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,



МЕНЮ\|

поиск

Методы исследования операций

b>Стандартная форма задачи линейного программирования

Стандартная форма задачи линейного программирования предполагает, что для всех переменных выполняется условие неотрицательности и все условия-ограничения имеют вид уравнений с неотрицательной правой частью.

Допустимые базисные решения.

Пусть ограничения задачи ЛП заданы в форме уравнений, т.е. задача записана в стандартной форме и содержит m уравнений и n (nm) переменных. Тогда все допустимые крайние точки множества допустимых решений определяются как все однозначные неотрицательные решения системы m уравнений, в которых n-m переменных равны нулю. Однозначные решения такой системы уравнений, получаемые путем приравнивания к нулю (n-m) переменных, называются базисными решениями. Если базисное решение удовлетворяет требованию неотрицательности, оно называется допустимым базисным решением. Переменные, имеющие нулевое значение называются небазисными или свободными переменными, а остальные базисными.

Основные теоремы линейного программирования

В основе методов решения задач линейного программирования лежат следующие теоремы.

Основная теорема линейного программирования, устанавливающая место нахождения оптимальных решений.

Теорема 2.1. Если целевая функция принимает максимальное значение в некоторой точке допустимого множества R, то она принимает это значение в крайней точке R (вершине выпуклого многогранника). Если целевая функция принимает максимальное значение более, чем в одной крайней точке, то она принимает это же значение в любой их выпуклой комбинации.

Из теоремы 2.1 следует, что при отыскании оптимального решения достаточно просмотреть только крайние точки допустимого множества решений R.

Теорема 2.2. Каждое допустимое базисное решение соответствует крайней точке R.

Справедлива также следующая теорема, обратная к теореме 2.2. Теорема 2.3. Если -- крайняя точка допустимого множества решений R, то соответствующее решение x0 -- является допустимым базисным решением системы ограничений задачи линейного программирования.

Используя результаты теорем 2.1 и 2.2, можно сделать вывод, что для отыскания оптимального решения задачи линейного программирования достаточно перебрать лишь допустимые базисные решения. Этот вы-вод лежит в основе многих методов решения задач линейного программирования.

Симплекс-метод.

Общая идея симплекс-метода заключается в следующем: начиная с некоторой исходной допустимой угловой точки (обычно начала координат), осуществляются последовательные переходы от одной крайней точки к другой до тех пор, пока не будет найдена точка соответствующая оптимальному решению. Решение задачи линейного программирования симплекс-методом удобно оформлять в виде симплекс-таблиц.

Алгоритм симплекс-метода состоит из следующих шагов:

Шаг 0. Используя линейную модель стандартной формы, определяют начальное допустимое базисное решение путем приравнивания к нулю n-m (небазисных) переменных. При этом если матрица системы ограничений задачи линейного программирования содержит единичную подматрицу порядка m, то это решение очевидно. Переменные, столбцы которых образуют эту единичную матрицу, являются базисными, остальные - свободными. Если же такой единичной матрицы нет, то для получения начального базисного решения вводятся искусственные переменные. Затем базисные переменные выражаются через небазисные из соответствующих ограничений и полученные выражения подставляются в целевую функцию. Если используются искусственные переменные, то применяются специальные методы (метод больших штрафов, двухэтапный метод).

Шаг 1. Из числа текущих небазисных переменных выбирается включаемая в новый базис переменная, увеличение которой обеспечивает улучшение значения целевой функции. Если такой переменной нет, вычисления прекращаются, так как полученное базисное решение оптимально. В противном случае переходят к шагу 2.

Шаг 2. Из числа переменных текущего базиса выбирается исключаемая переменная, которая должна принять нулевое решение (стать небазисной) при введении в состав базисных новой переменной.

Шаг 3. С помощью метода исключения переменных или метода Гаусса-Жордана находится новое базисное решение, соответствующее новым составам базисных и небазисных переменных и осуществляется переход к шагу 1.

Пример. Решить симплекс-методом задачу

Максимизировать z=3x1+2x2

при ограничениях x1+2x2 6;

2x1+x2 8;

-x1+x2 1;

x1 2;

x1 0, x2 0.

Решение.

Запишем задачу в стандартном виде

z-3x1-2x2=0

x1+2x2+s1= 6;

2x1+x2+s2= 8;

-x1+x2+s3= 1;

x1+s4= 2,

где s1, s2, s3, s4 - дополнительные неотрицательные переменные, которые вводятся в правые части ограничений имеющих знак «» и называются остаточными. Если задача линейного программирования является задачей оптимального распределения ограниченных ресурсов, и правые части каждого ограничения представляют запасы ресурсов, то значения остаточных переменных в любом решении показывают остаток этих ресурсов. Матрица системы ограничений содержит единичную матрицу порядка 4. Ее образуют коэффициенты при остаточных переменных, значит переменные s1, s2, s3, s4 будут базисными переменными, а x1, x2 - свободными или нулевыми.

Шаг 0. Заполняем начальную симплекс-таблицу.

Базисные переменные	x1	x2	S1	s2	s3	s4	Решение В
Z	-3	-2	0	0	0	0	0	Z-уравнение
s1	1	2	1	0	0	0	6	s1-уравнение
s2	2	1	0	1	0	0	8	s2-уравнение
s3	-1	1	0	0	1	0	1	s3-уравнение
s4	0	1	0	0	0	1	2	s4-уравнение

Шаг 1. Условие оптимальности или правило выбора включаемой в базис переменной. Вводимой в базис переменной в задаче максимизации (минимизации) является небазисная переменная, имеющая в Z-строке наибольший по модулю отрицательный (положительный) коэффициент. Если таких коэффициентов несколько, то выбор - произвольный и после этого переходят к шагу 2. Если таких коэффициентов нет, то решение оптимально.

Столбец симплекс-таблицы, соответствующий включаемой переменной, будем называть ведущим столбцом. В нашем случае включаем в базис переменную x1.

Шаг 2. Условие допустимости или правило выбора исключаемой из базиса переменной (одинаковое в задачах максимизации и минимизации). В качестве исключаемой из базиса переменной выбирается та базисная переменная, для которой отношение постоянной в правой части соответствующего ограничения к положительному коэффициенту ведущего столбца минимально. В случае равенства этого отношения для нескольких базисных переменных выбор делается произвольно.

Строку симплекс-таблицы, соответствующую исключаемой переменной, будем называть ведущей строкой. В нашем случае исключаем из базиса переменную s2.

Шаг 3. Вычисляем новое базисное решение и переходим к шагу 1.

Симплекс-таблица, соответствующая первой итерации:

Базисные переменные	x1	x2	s1	S2	s3	s4	Решение В
Z	0	-Ѕ	0	3/2	0	0	12	Z-уравнение
s1	0	3/2	1	- Ѕ	0	0	2	s1-уравнение
x1	1	Ѕ	0	Ѕ	0	0	4	s2-уравнение
s3	0	3/2	0	Ѕ	1	0	5	s3-уравнение
s4	0	1	0	0	0	1	2	s4-уравнение

Решение не оптимально. Включаем в базис x2 вместо s1. Вторая итерация:

Базисные переменные	x1	x2	s1	s2	s3	s4	Решение В
Z	0	0	1/3	4/3	0	0	12 2/3	Z-уравнение
x2	0	1	2/3	-1/3	0	0	4/3	s1-уравнение
x1	1	0	-1/3	2/3	0	0	10/3	s2-уравнение
s3	0	0	-1	1	1	0	3	s3-уравнение
s4	0	0	-2/3	1/3	0	1	2/3	s4-уравнение

Решение оптимально.

Анализ решения на чувствительность.

Из оптимальной симплекс-таблицы либо непосредственно, либо при помощи простых преобразований можно получить информацию относительно

1. Оптимального решения: значения базисных переменных записаны в столбце В оптимальной симплекс-таблицы. Оптимальное значение целевой функции находится на пересечении Z-строки и столбца В оптимальной симплекс таблицы. Для рассмотренного примера: x1=10/3, x2=4/3, s1=s2=0, s3=3, s4=2/3, Zmax=12 2/3.

2. Статуса ресурсов: ресурс называется дефицитным, если в оптимальном решении он использован полностью. Остаточная переменная, соответствующая дефицитному ресурсу в оптимальном решении равна нулю. Для рассмотренного примера дефицитными будут ресурсы 1 и 2, т.к. s1=s2=0,

3. Ценности каждого ресурса: характеризуются величиной улучшения оптимального значения целевой функции, приходящегося на единицу прироста объема данного ресурса. Их еще называют теневыми ценами ресурсов или двойственными оценками. Эта информация представлена в Z-строке оптимальной симплекс-таблицы в столбцах, соответствующих остаточным переменным.

4. Чувствительности оптимального решения к изменениям запасов ресурсов, вариациям коэффициентов целевой функции и интенсивности потребления ресурсов.

Двойственность в линейном программировании.

Любую задачу максимизации с экономической точки зрения можно рассматривать как задачу о распределении ограниченных ресурсов b1, b2,…, bn между различными потребителями, например, между некоторыми технологическими процессами, которые представляются столбцами A1, А2, ..., Аm матрицы ограничений задачи. Любое допустимое решение задачи линейного программирования х1, х2, ..., хm дает конкретное распределение, указывающее ту долю каждого из ресурсов, которая должна быть использована при осуществлении соответствующего технологического процесса.

Страницы: 1, 2, 3

© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.