(а) (б)

Рис. 3.1

Подграфом графа называют часть графа. Подграфом может быть одна ветвь, узел или множество ветвей и узлов, содержащееся в данном графе.

Путь - упорядоченная последовательность ветвей, в которой каждые две соседние ветви имеют общий узел, причем любая ветвь и любой узел встречаются в этом пути только один раз (4-2-3).

Контур - замкнутый путь, в котором один из узлов является начальным и конечным узлом пути (1-2-4). На рис. 3.1 один из контуров содержит ветви 1, 2, 4.

Если между любой парой узлов графа существует путь, то граф называют связным.

Деревом связного графа называют связный подграф, содержащий все узлы графа, но не содержащий ни одного контура.

Примеры деревьев графа на рис. 3.1, б приведены на рис. 3.2:

Рис. 3.2

Ветви графа, которые дополняют дерево до исходного графа, называют ветвями связи (хордами). Ветви графа, входящие в дерево, называют ребрами. Если граф содержит р ветвей и q узлов, то число ветвей любого дерева d=q-1, а число ветвей связи k=p-q+1.

Сечением графа называют множество ветвей, удаление которых делит граф на два изолированных подграфа, один из которых в частном случае может быть изолированным узлом.

Например, ветви графа 1-4-6, 3-2-4-6, 3-5-6 образуют сечения (рис. 3.4):

Рис. 3.4

Главным контуром называют контур, состоящий из ветвей дерева и только одной ветви связи. Другими словами, при соединении любой ветви связи с деревом образуется главный контур. Главным сечением считается сечение, состоящее из ветвей связи и только одной ветви дерева. Каждая ветвь дерева позволяет образовать одно сечение.

На рис. 3.5 показаны главные сечения, главные контуры для выделенного дерева графа (рис. 3.1, б):

Рис. 3.5

3.2 Топологические матрицы графа

3.2.1 Матрица соединений

Матрица соединений (инциденций) А - это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа (ЗКТ) для узлов.

Строки этой матрицы соответствуют узлам, столбцы - ветвям. Элементы аij матрицы А определяются следующим образом:

aij=1, если ветвь j соединена с узлом i и направлена от узла;

aij=-1, если ветвь j соединена с узлом i и направлена к узлу;

aij=0, если ветвь j не соединена с узлом i.

Число строк матрицы А равно числу независимых узлов g=q-1.

3.2.2 Матрица сечений

Матрица сечений D - это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа (ЗКТ) для сечений. Строки матрицы D соответствуют сечениям, столбцы - ветвям.

Элемент dij матрицы D=[dij] определяется следующим образом:

dij=1, если ветвь j содержится в сечении i и направлена согласно с направлением сечения;

dij=-1, если ветвь j содержится в сечении i и направлена противоположно направлению сечения;

dij = 0, если ветвь j не содержится в сечении i.

Если матрица D составлена для главных сечений, то ее называют матрицей главных сечений. При этом за положительное направление сечения обычно принимают направление ветви дерева данного сечения. Число строк матрицы D равно числу независимых сечений g.

Закон Кирхгофа для сечений в матричной форме записывают следующим образом (ЗКТ):

(3.3)

Если матрицу напряжений ветвей дерева (ребер) обозначить через Ug, то

, (3.4)

т.е. напряжения ветвей схемы, определяют через напряжения ветвей дерева (ребер).

Если ветвям дерева присвоены первые номера, то матрица главных сечений может быть разложена на две подматрицы:

D=[1 F], (3.5)

где 1 - единичная подматрица порядка q-1, столбцы которой соответствуют ребрам;

F - подматрица, столбцы которой соответствуют ветвям связи (хордам).

3.2.3 Матрица контуров

Матрица контуров С - это таблица коэффициентов уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа (ЗКН). Строки матрицы С соответствуют контурам, столбцы - ветвям.

Элементы сij матрицы С=[сij] определяются следующим образом:

сij=1, если ветвь j содержится в контуре i и направление ветви совпадает с направлением обхода контура;

сij=-1, если ветвь j содержится в контуре i и направление ветви противоположно направлению обхода контура;

сij = 0, если ветвь j не содержится в контуре i.

Матрицу С, записанную для главных контуров, называют матрицей главных контуров. При этом за направление обхода контура принимают направление ветви связи этого контура.

Второй закон Кирхгофа для напряжений в матричной форме записывают следующим образом (ЗКН):

(3.6)

Токи всех обобщенных ветвей могут быть выражены как линейные комбинации токов обобщенных ветвей связи (контурных токов)

(3.7)

где IК - столбовая матрица контурных токов.

Если ветвям дерева присвоены первые номера, то матрица главных контуров состоит из двух подматриц:

(3.8)

где F - подматрица матрицы сечений C, составленная на основании того же самого дерева;

1 - единичная подматрица порядка k=р-q+l.

Таким образом, в матричной форме могут быть записаны:

- первый закон Кирхгофа (ЗКТ):

(3.9)

- второй закон Кирхгофа (ЗКН):

3.3 Полная система уравнений электрических цепей

Законы Кирхгофа применительно к графу схемы или электрической цепи характеризуют систему в целом без учета характеристик ее элементов. Матричные уравнения

Ai=-A (или Di=-D) и Cu=Ce (3.10)

определяют систему из р отдельных уравнений. Такая система недостаточна для описания процессов в электрических цепях, так как не известны р токов и р напряжений.

Чтобы дополнить систему уравнений, необходимо определить (или задать) еще р уравнений. Эти уравнения должны отражать свойства элементов системы - ветвей электрической цепи. Очевидно, что такие связи должны быть записаны для р ветвей цепи. В матричной форме запишем эти уравнения в виде

i=f(u) или u=(i),

т.е.

 (3.11)

В зависимости от характера функций fk и k (k=1…р) системы уравнений электрических цепей могут быть линейными - для линейных электрических цепей, т.е. для цепей, у которых r, L, С и М не зависят от значений и направлений токов и напряжений в цепи, и нелинейными - для нелинейных электрических цепей, т.е. для цепей, у которых r, L, С или М хотя бы одного из участков зависят от значений или от направлений токов и напряжений в этом участке цепи.

Каждая ветвь линейной цепи может содержать сопротивление, индуктивность, емкость, идеальный источник ЭДС и идеальный источник тока (рис. 3.9).

Рис. 3.9

Ток в сопротивлении ветви и падение напряжения ветви U связаны законом Ома.

U=ZI,

где сопротивление ветви . Эти соотношения для всех ветвей можно записать в матричной форме:

или кратко

U=ZI, (3.12)

где Z - диагональная матрица сопротивлений ветвей;

U, I, J, E - соответственно векторы напряжений и токов ветвей, токов источников тока и ЭДС ветвей.

Это матричная форма закона Ома.

Замечание: Матрица Z диагональна лишь в случае, когда ток k-ой ветви создает напряжение на сопротивлении Z, k-ой ветви. В цепях со взаимной индукцией Z имеет элементы вне главной диагонали Zij=Zji=sMij.

М-сопротивления индуктивной связи i-ой и j-ой ветвей. Они положительны (отрицательны), если ориентация i-ой и j-ой ветвей по отношению одноименных зажимов одинакова (противоположна).

Уравнения закона Ома можно представить в другой форме:

I=YU, (3.13)

где Y=Z-1 - матрица проводимостей, обратная матрице сопротивлений ветвей.

Если в функции fk и k входят производные токов и напряжений, то процессы в этой линейной или нелинейной электрической цепи будут характеризоваться системой, соответственно, линейных или нелинейных дифференциальных уравнений. При отсутствии производных в функциях fk и k процессы в этой линейной или нелинейной электрической цепи будут характеризоваться системой, соответственно, линейных или нелинейных алгебраических уравнений.

Система из 2 р уравнений, включающая в себя уравнения, записанные согласно законам Кирхгофа, и уравнения, характеризующие связи между токами и напряжениями элементов электрической цепи, и есть полная система уравнений электрической цепи, или полная математическая модель этой цепи.

3.4 Узловые уравнения

Для формирования системы уравнений относительно узловых напряжений выразим через параметры пассивных и активных элементов обобщенных ветвей:

.

Согласно первому закону Кирхгофа, для узлов графа

AI=-AJ или AYU=-AJ.

Теперь напряжение на ветвях определим через узловые потенциалы:

U=AT+Е.

Таким образом, получаются уравнения

AYAT=AJ-AYE, (3.14)

которые называют узловыми уравнениями.

Если ввести обозначения

- Yy=AYAT - матрица узловых проводимостей,

- Jy=AJ-AYE - матрица узловых токов,

то узловые уравнения запишутся кратко:

Yy =Jy. (3.14a)

При выполнении узлового анализа на ЭВМ обычно не строятся матрицы A и Y и не выполняют матричные умножения, а непосредственно пользуются правилами составления узловых уравнений:

1. Диагональные элементы матрицы Yу положительны и Yjj равны сумме проводимостей ветвей, подключенных к j-му узлу.

2. Внедиагональные элементы матрицы Yy отрицательны и Yjk равны сумме проводимостей ветвей, включенных между j-м и k-м узлами.

3. Произвольный элемент вектора тока Jy с номером j Jj равны сумме узловых токов, втекающих в j-узел.

Тогда l-я ветвь, направленная от узла j к узлу k, приводит к следующему вкладу в матрицы Yy и Jy:

Так составляются уравнения по методу узловых потенциалов последовательным перебором топологического списка ветвей схемы.

Потенциалы узлов k равны напряжениям Vk между q-1 узлом и опорным узлом.

3.5 Контурные уравнения

Уравнения на основе второго закона Кирхгофа

CU=CE,

уравнение закона Ома

U=ZI

и соотношение

подставим в контурное уравнение и получим:

.

Токи в обобщенных ветвях определим через контурные токи:

.

Так получаются контурные уравнения:

. (3.15)

Если ввести обозначения

Zk=СZСT - матрица контурных сопротивлений,

Ek= СE-СZJ - матрица контурных ЭДС, то контурные уравнения запишутся в виде:

. (3.15а)

В матричной форме решения для контурных токов

(3.16)

выражают принцип наложения.

3.6 Независимые токи и напряжения

Запишем уравнения ЗКТ, используя матрицу главных сечений:

DI=0,

где I - вектор токов ветвей.

Разделив матрицу на блоки, получим:

или

IP= - FIX. (3.17)

Токи ребер графа выражаются через токи хорд:

(3.17а)

Токи хорд можно рассматривать как независимые переменные.

Уравнения, составленные по ЗКН,

CU=0,

где U - вектор напряжений на всех ветвях, использовав блочное представление матрицы С, запишем:

.

Напряжение на ветвях хорд выражаются через напряжения на ветвях ребер:

UX=FTUP. (3.18)

Напряжение на ветвях можно представить:

.

Из последнего, с учетом D=[lF], следует:

U = DTUP. (3.18а)

Напряжения, соответствующие ребрам графа, можно рассматривать как независимые переменные.

Страницы: 1, 2, 3