Враховуючи специфіку задач кардіоінтервалометрії та особливості зміни тривалостей кардіоінтервалів при фізичних навантаженнях, сформульовано вимоги до математичної моделі КІГ, що запропонована в дисертаційній роботі.

У другому розділі ґрунтуючись на особливостях формування, факті нестаціонарного (перехідного) характеру КІГ при фізичних навантаженнях (рис. 2), а також властивій стохастичності кардіоінтервалів, побудовано нову математичну модель КІГ при фізичних навантаженнях у вигляді суми дискретної детермінованої функції та стаціонарної лінійної випадкової послідовності. Розглянуто характеристики запропонованої математичної моделі. Запропоновано на основі розробленої моделі як діагностичні ознаки для прийняття рішень щодо адаптивно-регулятивних можливостей організму людини використати імовірнісні характеристики КІГ: математичне сподівання, кореляційну функцію та щільність розподілу.

Як показали результати проведених досліджень, при дії на організм людини фізичного навантаження тривалості кардіоінтервалів починають зменшуватися до певного рівня, а потім в процесі зняття фізичного навантаження зростають протягом деякого часу до попереднього рівня (стан відновлення). Це явище вимагає врахування нестаціонарності, перехідного характеру у величинах тривалостей кардіоінтервалів в математичній моделі КІГ при фізичних навантаженнях.

Враховуючи наведені вище міркування, математичну модель КІГ при фізичних навантаженнях подано у вигляді

(1)

де - деяка дискретна детермінована функція, яка відображає динаміку зміни (тренд) тривалостей кардіоінтервалів КІГ;

- стаціонарна лінійна випадкова послідовність, що враховує випадковий характер змін (флуктуацій) тривалостей кардіоінтервалів КІГ та яку подано у вигляді

(2)

де - невипадкова функція (ядро зображення (2)) двох дискретних аргументів, відносно якої виконується нерівність

,

- породжуючий білий шум з дискретним часом, математичне сподіванням якого рівне нулю.

Зауважимо, що у випадку реєстрації КІГ у стані спокою (без фізичних навантажень), її моделлю також буде випадковий процес (1) причому .

Діагностичними ознаками при визначенні адаптивно-регулятивних можливостей організму людини є ймовірнісні характеристики (математичне сподівання, кореляційна функція та щільність розподілу) процесу . Так, математичне сподівання процесу (1) рівне:

(3)

але оскільки , то

(4)

Отже, для визначення математичного сподівання достатньо знайти функцію .

Кореляційна функція процесу (1)

(5)

Тобто, кореляційна функція випадкового процесу (1) рівна кореляційній функції стаціонарної лінійної випадкової послідовності .

Одновимірна функція щільності розподілу стаціонарної компоненти не змінюється при зсуві за аргументом , що можна подати так:

. (6)

Таким чином, діагностичними ознаками при проведенні діагностики стану адаптивно-регулятивних можливостей організму при фізичних навантаженнях на основі запропонованої в роботі моделі будуть математичне сподівання, що рівне детермінованій функції f(k), кореляційна функція та функція щільності розподілу стаціонарної компоненти моделі (1).

У третьому розділі, обґрунтовано методи статистичного оцінювання діагностичних ознак, а саме, коефіцієнтів розкладу оцінки математичного сподівання та оцінки кореляційної функції КІГ у ряди за ортогональними поліномами Чебишева, а також параметрів кривих Пірсона для оцінювання щільності розподілу, що дало можливість зменшити (оптимізувати) розмірність вектора діагностичних ознак.

Виходячи із вище запропонованих діагностичних ознак, наведено методи їх статистичного оцінювання.

Оскільки статистичне оцінювання математичного сподівання здійснюється тільки за однією реалізацією КІГ, а КІГ при фізичних навантаженнях не є стаціонарною, то оцінювання математичного сподівання, що дорівнює детермінованій складовій моделі (1), здійснено на основі методу найменших квадратів.

У результаті оцінювання отримано послідовність значень, обсяг яких дорівнює кількості відліків КІГ. Зменшення розмірності діагностичного простору здійснено шляхом наближеного представлення функції у вигляді ряду

, (7)

де - спектральні коефіцієнти функції в ортогональному базисі .

У дисертаційній роботі за діагностичні ознаки прийнято декілька перших коефіцієнтів із сукупності ортогонального розкладу оцінки математичного сподівання в ряди за ортогональними поліномами дискретного аргументу Чебишева, Кравчука, Лагера та за дискретними тригонометричними функціями. На основі аналізу результатів розкладу оцінки математичного сподівання КІГ в ряди за цими ортогональними базисами, виходячи з критерію мінімуму кількості членів ряду, які складають не менше 95% від повної енергії сигналу, встановлено, що за цим критерієм найменша кількість коефіцієнтів (3-4 коефіцієнти ряду) потрібно при розкладі в ряд за ортогональними поліномами Чебишева. Отже, діагностичними ознаками на основі розкладу оцінки математичного сподівання в ряди за дискретними ортогональними поліномами вибрано коефіцієнти ряду поліномів Чебишева.

Враховуючи отримані результати розкладу оцінки математичного сподівання, математичну модель (1) уточнено і подано у вигляді:

(8)

де - коефіцієнти ряду Чебишева;

та - узагальнені коефіцієнти, що дорівнюють та

- узагальнений степінь.

У дисертаційній роботі побудовано гістограми стаціонарної компоненти (2) математичної моделі КІГ при фізичних навантаженнях та здійснено апроксимацію щільності розподілу КІГ системою кривих Пірсона, які визначаються як розв'язок диференціального рівняння

, (9)

де , - дійсні параметри, що повністю характеризують форму (тип) кривої розподілу. Для характеристики стану адаптивно-регулятивних можливостей організму запропоновано використовувати нові діагностичні ознаки - параметри диференціального рівняння (9). Приклад побудови кривої Пірсона наведено на рис. 4.

Враховуючи ергодичність послідовності (2), статистичне оцінювання кореляційної функції здійснювалось згідно виразу

. (10)

Для зменшення діагностичного простору здійснено розклад оцінки кореляційної функції в ряд

, (11)

де - спектральні коефіцієнти кореляційної функції в ортогональному базисі .

В дисертаційній роботі як діагностичні ознаки за оцінкою кореляційної функції розглянуто коефіцієнти ортогональних розкладів цих оцінок в ряди за ортогональними поліномами дискретного аргументу Кравчука, Лагера, Чебишева та за дискретними тригонометричними функціями. Враховуючи енергетичний критерій, як і у випадку розкладу оцінки математичного сподівання в ряди, встановлено, що для представлення оцінки кореляційної функції стаціонарної компоненти (2) достатньо 15 перших коефіцієнтів ряду Чебишева. Таким чином, запропоновано як діагностичні ознаки за оцінкою кореляційної функції використовувати коефіцієнти ряду поліномів Чебишева.

Обгрунтовано метод прийняття рішень при діагностиці адаптивно-реглятивних механізмів організму за КІГ на основі аналізу коефіцієнтів розкладу оцінки математичного сподівання та оцінки кореляційної функції у ряди за ортогональними поліномами Чебишева, коефіцієнтів кривих Пірсона на основі критерію Неймана-Пірсона та критерію Байєса.

У четвертому розділі розглянуто питання комп'ютерного імітаційного моделювання КІГ на базі лінійних випадкових послідовностей. Проведено серію експериментів по моделюванню КІГ при фізичних навантаженнях. Розглянуто питання точності імітаційного моделювання. Розроблено систему комп'ютерних програм для проведення імітаційних експериментів та обробки кардіоінтервалограм при фізичних навантаженнях на основі запропонованих у дисертаційній роботі моделі та методів.

Алгоритм комп'ютерного моделювання КІГ полягає в моделюванні нестаціонарного випадкового процесу (1), що зводиться до імітації детермінованої складової , що обчислюється на основі поліномів Чебишева за визначеними на основі спектрального розкладу оцінки математичного сподівання в ряд за поліномами Чебишева коефіцієнтами та моделювання стаціонарної лінійної випадкової послідовності (2).

Алгоритм моделювання реалізацій дискретної стаціонарної лінійної послідовності (2) полягає в наступному:

Будується рівняння авторегресії

, , (12)

розв'язком якого є стаціонарна лінійна послідовність (2).

Оцінюються коефіцієнти , рівняння авторегресії (12) шляхом розв'язання системи рівнянь Юла-Уокера за заданою кореляційною матрицею.

Оцінюється послідовність відліків ядра за рекурентними співвідношеннями

,

, (13)

, .

Генеруються реалізації дискретного стаціонарного білого шуму з математичним сподіванням рівним нулеві та дисперсією .

Генеруються реалізації лінійної випадкової послідовності (2).

На основі математичної моделі (1) проведено серію імітаційних експериментів по моделюванню КІГ в період фізичного навантаження та в період відновлення серцевого ритму (рис. 6).

З метою перевірки адекватності, точності імітаційної моделі КІГ при фізичних навантаженнях, було проведено оцінювання абсолютних та відносних похибок комп'ютерного імітаційного моделювання. Для цього змодельовані реалізації КІГ в період фізичного навантаження та КІГ в період відновлення частоти серцевих скорочень. Отримані оцінки математичних сподівань та оцінки кореляційних функцій змодельованих КІГ порівнювались із отриманими протягом експериментальних досліджень оцінками математичних сподівань та оцінками кореляційних функцій.

Скориставшись правилом „” визначено, що з довірчою ймовірністю відносна похибка імітаційного моделювання КІГ на основі її моделі (10) для оцінки математичного сподівання буде належати інтервалу , а відносна похибка оцінки кореляційної функції буде належати інтервалу , що дає підстави стверджувати про досить високу ступінь точності імітаційного моделювання КІГ при фізичних навантаженнях.

На базі розробленої в даній дисертаційній роботі математичної моделі та методів обробки КІГ створено систему програм для обробки, аналізу та імітаційного моделювання КІГ, яка може використовуватися в сучасних системах комп'ютерної діагностики серця.

Ця система програм реалізує такі функції:

Статистична обробка КІГ при фізичних навантаженнях.

Визначення коефіцієнтів різних ортогональних розкладів (в базисах Чебишева, Кравчука, Лагера та тригонометричних функцій) статистичних оцінок математичного сподівання та оцінок кореляційної функції КІГ, що є діагностичними ознаками.

Визначення типу кривої Пірсона та параметрів цих кривих для оцінювання щільності розподілу, що пропонуються як діагностичні ознаки.

Ідентифікація ядра лінійної випадкової послідовності та ймовірнісних характеристик її породжуючого процесу на основі методу Юла-Уокера.

Проведення імітаційного моделювання КІГ на базі лінійних випадкових послідовностей для потреб тестування та навчання комп'ютерних діагностичних систем.

Оцінювання точності імітаційного експерименту та точності визначення діагностичних ознак.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі розв'язано актуальну наукову задачу: побудовано математичну модель КІГ при фізичних навантаженнях, обґрунтовано методи її статистичної обробки та запропоновано нові класи діагностичних ознак адаптивно-регулятивних можливостей організму для комп'ютерних систем автоматизованої діагностики. Основні результати та висновки проведених теоретичних та експериментальних досліджень полягають в наступному:

Розроблено нову математичну модель КІГ з врахуванням фізичного навантаження у вигляді суми дискретної детермінованої функції та стаціонарної лінійної випадкової послідовності, що дало змогу врахувати як перехідний характер, так і стохастичність структури КІГ при фізичних навантаженнях.

Обґрунтовано методи статистичної обробки КІГ, що базуються на розробленій математичній моделі. З використанням методу найменших квадратів побудовано алгоритм оцінювання математичного сподівання КІГ, а з використанням теорії статистичного оцінювання ймовірнісних характеристик ергодичних відносно кореляційної функції та щільності розподілу випадкових послідовностей, запропоновано алгоритм оцінювання кореляційної функції та щільності розподілу стаціонарної компоненти КІГ.

Запропоновано нові класи діагностичних ознак: коефіцієнти розкладу оцінки математичного сподівання та оцінки кореляційної функції в ряди за ортогональними дискретними поліномами Чебишева та параметри кривої Пірсона, що апроксимує щільність розподілу КІГ. Запропоновані класи діагностичних ознак дають змогу мінімізувати розмірність діагностичного простору, що суттєво зменшує вимоги до обчислювальних ресурсів комп'ютерної діагностичної системи.

Страницы: 1, 2, 3