.

Определение плотности распределения f(t) путем решения интегрального уравнения (1.5) связано с некоторыми трудностями, которые вызваны скачкообразным изменением параметра потока отказов. Один из возможных подходов к определению функции f(t) состоит в следующем. Найдем функцию f(t) в виде кусочно-постоянной функции

если ak-1< t ?ak , k=1, 2, … , n;

если t>an

Здесь a0 = 0, an = T, f k - искомые величины, которые можно определить из условия выполнения уравнения (1.5) в среднем по интегральной метрике

при ограничениях

Вариант 3

Дано:

· Два набора исходных данных об отказах элементов.

· N - число элементов в каждом наборе.

· Закон распределения времени до отказа в первом варианте.

· Закон распределения времени между отказами во втором варианте.

· Моменты отказа элементов.

Определить:

· Показатели надежности элемента, характеризующие время его работы до отказа (первый набор исходных данных): Т1, Р(t), Q(t), f(t), л(t).

· Показатели надежности элемента, характеризующие время его работы между отказами (второй набор исходных данных): Т2, F(t), f(t), л(t).

Решение получить в виде таблиц и графиков.

При обработке данных вручную и на компьютере их следует разобрать 10 групп (классов). Подбор подходящего распределения необходимо установить для уровня значимости, равного 0,05.

Обозначения:

Нормальное распределение - Normal Distribution;

Экспоненциальное распределение - Exponential Distribution;

Гамма-распределение - Gamma Distribution;

Равномерное распределение - Uniform Distribution;

1. Первый набор исходных данных

На испытания поставлено N = 100 элементов. Моменты отказов элементов представлены в табл.1.2. Все элементы работают до своего отказа и после отказа не ремонтируются. Требуется определить статистические и теоретические показатели надежности элемента: T1, P(t), Q(t), f(t,), л(t).

Таблица 1.2. Моменты отказов элементов, в часах

2. Второй набор исходных данных

На испытаниях находится N = 10 элементов. В течение периода Т = 700 час регистрируются моменты времени отказов элементов (табл. 1.3). Предполагается, что отказавшие элементы заменяют идентичными по надежности элементами. Требуется определить показатели надежности элемента, характеризующие время его работы между соседними отказами: Т2, f(t), F(t), л(t).

Обработка статистических данных предусматривает их группировку в 10 частичных интервалах (классах). Уровень значимости принять равным 0,05.

Таблица 1.3. Моменты времени отказов элементов

1.3.2 Последовательность выполнения работы с использованием программы StatGraphics

Статистический графический пакет StatGraphics (Statistical Graphics System) предназначен для статистического анализа и обработки данных на персональном компьютере. Он является наиболее полной интегрированной статической и графической системой, объединяющей профессиональные методы обработки больших объемов данных, качественную графику и дружественный пользовательский интерфейс. StatGraphics позволяет выполнять статический анализ экспериментальных данных, полученных в результате исследования сложных стохастических (вероятностных) систем.

Для определения показателей надежности для двух вариантов исходных данных необходимо выполнить последовательность действий:

1. Подготовка исходных данных к статистической обработке для двух наборов одновременно. С этой целью запускаем StatGraphics Plus, создадим две переменные (2 столбца) с именами narabotka1 и narabotka2, сохраним их в файле с именем OTKAZ. Для этого необходимо вызвать меню File и выбрать соответствующие пункты подменю Save\Save Data File или нажать комбинацию клавиш Shift+F12.

В переменную (столбец) narabotka1 поместим первый набор исходных данных непосредственно из табл. 1.2. Для исходных данных, содержащихся в табл. 1.3, вычислим разности между последующими и предыдущими значениями моментов времени отказов каждого элемента, в результате чего получим набор чисел, приведенный в табл. 1.4.

Таблица 1.4. Время между отказами элементов

Полученные разности из табл. 3 поместим в переменную (столбец) narabotka2. На экране компьютера получается следующая заставка:

Длины переменных narabotkal и narabotka2 соответственно равны 100 и 65, что соответствует количеству чисел в табл. 1.2 и 1.4.

2. Определение статистических показателей для каждого набора данных, содержащихся в переменных OTKAZ.narabotka1 и OTKAZ.narabotka2.

Нажатием кнопки StatWizard получим:

Это приведет к расчету требуемых характеристики и выводу их на экран в следующем виде:

Отсюда следует, что для первого набора исходных данных средняя наработка до первого отказа приближенно равна T1=362 часа, а для второго набора средняя наработка на отказ равна T2 = 95 часов. В первом случае распределение времени работы элемента между отказами явно отличается от экспоненциального, т. к. стандартное отклонение s1= 237 существенно отличается от средней наработки на отказ. Во втором случае стандартное отклонение s2 =91 достаточно близко к средней наработке до отказа, что свидетельствует о возможной близости распределения к экспоненциальному.

Видим также, что для первого набора данных все реализации случайной наработки до отказа находятся в интервале [30; 997], и размах выборки равен 967 часов. Для второго набора данных все выборочные значения содержатся в интервале [2; 371] длиной 369 часов.

Определение показателей надежности неремонтируемого элемента

Нажатием кнопки Capability Analysis

Заполним поля Data и USL. В Analysis Options контекстного меню выберем пункт Gamma получим гистограмму частот и выравнивающую ее функции плотности Гамма-распределения (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Подбор плотности распределения к гистограмме частот

Значение Estimated Beyond Spec, равное 72,890636% указывает на уровень значимости для Гамма-распределения: 0,728906. Так как это значение больше требуемого 0,05, то Гамма-распределение согласуется с экспериментальными данными.

Значения Shape и Scale необходимо будет запомнить, так как они потребуются нам в дальнейшем.

В пункте меню Describe\Distributions\Probability Distributions построим графики требуемых показателей надежности в соответствии с рассчитанными ранее параметрами.

Для переменной narabotka1 подберем Гамма-распределение. Выберем пункт Gamma.

В окне Probability Distributions раскроем вспомогательное меню Graphical Options и отметим соответствующие пункты:

Пункты вспомогательного меню означают следующее:

Density function -- плотность распределения f(t);

Cumulative d.f. -- функция распределения Q(t);

Survivor function -- вероятность безотказной работы P(t);

Log survivor function -- логарифм вероятности безотказной работы;

Hazard function -- интенсивность отказов л(t).

В результате выбора того или иного пункта меню получим графики, изображенные на рис. 1.6--1.8.

В Analysis Options контекстного меню введем значение Shape и Scale.

Рис. 1.6. Вероятность безотказной работы элемента P(t)

Рис. 1.7. Вероятность отказа элемента Q(t)

Рис. 1.8. Интенсивность отказов элемента л(t)

Определение показателей надежности ремонтируемого элемента

Нажатием кнопки Capability Analysis

Заполним поля Data и USL. В Analysis Options контекстного меню выберем пункт Exponential, получим гистограмму частот и выравнивающую ее функции плотности экспоненциального распределения (рис. 1.5).

Гистограмма по narabotka2 и соответствующая кривая экспоненциального распределения приведены на рис. 1.9. Значение Estimated Beyond Spec, равное 28,449182% указывает на уровень значимости для экспоненциального распределения: 0,284492, что больше заданного уровня значимости, равного 0,05. Следовательно, экспоненциальное распределение не противоречит опытным данным.

Рис. 1.9. Подбор плотности распределения w(t) к гистограмме частот

В пункте меню Describe\Distributions\Probability Distributions построим графики требуемых показателей надежности в соответствии с рассчитанными ранее параметрами.

Для переменной narabotka2 подберем Экспоненциальное распределение. Выберем пункт Exponential.

В окне Probability Distributions раскроем вспомогательное меню Graphical Options и отметим следующие пункты:

Cumulative d.f. -- функция распределения Q(t);

Hazard function -- интенсивность отказов л(t).

В пункт Analysis Options контекстного меню введем следующие параметры экспоненциального распределения: среднее отклонение = 93,2542

На рис. 1.10. и 1.11 изображены графики функций распределения и интенсивности отказов соответственно.

Средняя наработка на отказ равна T= 93,2542 час.

Рис. 1.10. Функция распределения времени работы элемента между отказами F(t)

Рис. 1.11. Интенсивность отказов элемента л(t) Обработка статистических данных

Размах варьирования:

Количество интервалов размаха варьирования:

Вопрос о выборе числа и ширины интервалов группировки приходится решать в каждом конкретном случае исходя из целей исследования, объема выборки и степени варьирования признака в выборке. Однако, приближенно число интервалов k можно оценить исходя только из объема выборки n. Делается это одним из следующих способов:

1) по формуле Стерджеса:

2) с помощью таблицы

Выбор числа интервалов группировки

Разобьем размах варьирования на k интервалов:

,

где N-число элементов выборки. N=100.

k округляется в сторону ближайшего меньшего целого числа.

Длина интервала:

Количество отказов выборки, попавших в i-ый интервал(количество чисел, в данном интервале из таблицы 1):

Не все интервалы удовлетворяют условию n>=5, следовательно, требуется объединение интервалов.

Плотность распределения наработки до отказа:

Интенсивность отказа в момент t:

Гистограммы:

Плотность распределения наработки до отказа в i-ом интервале:

Интенсивность отказа в i-ом интервале:

Страницы: 1, 2