Вісімкові і шістнадцяткові системи числення:

У таблиці приведені числа в десятковій, вісімковій і шістнадцятковій системах і відповідні групи бітів в двійковій системі.

16-pазpядне двійкове число із знаковим розрядом можна представити 6-pозpядним вісімковим, причому старший байт в нім прийматиме значення лише 0 або 1. У шістнадцятковій системі таке число займе 4 розряди.

Переклад чисел з однієї системи числення в іншу:

Арифметичні операції над числами у вісімковій або шістнадцятковій системах проводяться по тих же правилах, що і в десятковій системі. Тільки потрібно пам'ятати, що якщо має місце перенесення, то переноситься не після 10, а після 8 або 16.

4. Числа з фіксованою і плаваючою комою

При представленні числа в двійковому коді з цифрами 0,1 в кожному розряді записуются цифри 0 або 1. Оскільки в ЕОМ «запис» числа здійснюється за допомогою технічних пристроїв, то для представлення його в такій формі необхідно розташовувати пристрої з двома надійно різними станами, яким можуть бути зіставлені значення 0 або 1. Комбінація таких пристроїв, число яких відповідає кількості розрядів записуваного числа, може бути використана для представлення чисел в ЕОМ.

Як такі пристрої, можуть бути використані трігери. Набір трігерів, предна-значенних для представлення чисел в ЕОМ, а також для виконання над ними деяких логічних перетворень, називається регістром. Зрозуміло, число розрядів, відведене для запису числа, відповідне числу трігерів, в ЕОМ завжди звичайно. Вибір кількості розрядів для представлення чисел в ЕОМ є одним з найвідповідальніших етапів конструювання обчислювальної машини і обумовлюється цілим рядом потреб, серед яких одне з найважливіших - необхідна точність обчислень.

У ЕОМ застосовуються дві основні форми представлення чисел: півлогарифмічна - з плаваючою комою і природна - з фіксованим положенням коми.

При представленні чисел з фіксованою комою положення коми фіксується у визначеному місці щодо розрядів числа і зберігається незмінним для всіх чисел, що зображаються в даній розрядній сітці. Зазвичай кома фіксується перед старшим розрядом або після молодшого. У першому випадку в розрядній сітці можуть бути представленні тільки числа, які по модулю менше 1, в другому - тільки цілі числа.

Використання представлення чисел з фіксованою комою дозволяє спростити схеми машини, підвищити її швидкодію, але представляє певні труднощі при програмуванні. В даний час представлення чисел з фіксованою комою використовується як основне тільки в мікроконтролерах.

У універсальних ЕОМ основним є представлення чисел з плаваючою комою. Широкий діапазон представлення чисел з плаваючою комою зручний для наукових і інженерних розрахунків. Для підвищення точності обчислень в багатьох ЕОМ передбачена можливість використання формату подвійної довжини, проте при цьому відбувається збільшення витрат пам'яті на зберігання даних і сповільнюються обчислення. Розглянемо докладніше ці дві формати.

Числа з фіксованою комою

Формат для чисел з комою, фіксованою перед старшим розрядом. У цьому форматі можуть бути з точністю до представлені числа (правильні дроби) в діапазоні

Перші ЕОМ були машинами з фіксованою комою, причому кома фіксувалася перед старшим розрядом числа. В даний час, як правило, форму з фіксованою комою застосовують для представлення цілих чисел (кома фіксована після молодшого розряду).

Використовують два варіанти представлення цілих чисел: із знаком і без знаку. У послідньому випадку всі розряди розрядної сітки служать для представлення модуля числа. У ЄС ЕОМ застосовуються обидва вказані варіанти представлення цілих чисел, причому кожен з варіантів реалізується як у форматі 32-розрядного машинного слова цих машин, так і у форматі 16-розрядного півслова.

При виконанні арифметичних дій над правильними дробами можуть получитися двійкові числа, по абсолютній величині більше або рівні одиниці, що називається переповнюванням розрядної сітки. Для виключення можливості переповнювання доводиться масштабувати величини, що беруть участь в обчисленнях.

Перевага представлення чисел у формі з фіксованою комою полягає в простоті виконання арифметичних операцій.

Недоліки - в необхідності вибору масштабних коефіцієнтів і в низькій точності уявлення з малими значеннями модуля (нулі в старших розрядах модуля приводять до зменшення кількості розрядів, займаних значущою частиною модуля числа).

Числа з плаваючою комою

При використанні плаваючої коми число складається з двох частин: мантиси m, що містить значущі цифри числа, і порядку p, що показує ступінь, в який треба звести підстава числа q, щоб отримане при цьому число, помножене на мантису, давало дійсне значення числа, що представлялося:

Мантиса і порядок представляються в двійковому коді. Звичайне число дається в нормалізованому вигляді, коли його мантиса є правильним дробом, причому перша значуща цифра (одиниця) слідує безпосередньо після коми: наприклад, де m=0,1010; p=10; q=2

Порядок вказує на дійсне положення коми в числі. Код в приведеному форматі представляє значення числа в напівлогарифмічній формі:

Точність представлення значень залежить від кількості значущих цифр мантиси. Для підвищення точності числа з плаваючою комою представляються в нормалізованій формі, при якій значення модуля мантиси лежить в межах Ознакою нормалізованого числа служить наявність одиниці в старшому розряді модуля мантиси. У нормалізованій формі можуть бути представлені всі числа з деякого діапазону за винятком нуля.

Нормалізовані двійкові числа з плаваючою комою представляють значення модуля в діапазоні:

де - максимальне значення модуля порядку.

Так, при p=7 -1= =63 і діапазон представлення модулів нормалізованих чисел:

Таким чином, діапазон чисел:

Для розширення діапазону чисел, що представляються, при фіксованій довжині рорядної сітки (m+p) як основа системи числення вибирається . При цьому число, що представляється в розрядній сітці, набуває значень . Нормалізована мантиса 16-ого числа з плаваючою комою має значення в діапазоні . Ознакою нормалізації такого числа є наявність хоч би однієї одиниці в чотирьох старших розрядах модуля мантиси. Діапазон представлення чисел в цьому випадку істотно розширюється, знаходячись при тій же кількості розрядів в межах від до .

При записі чисел в кодах ASCII цифрам від 0 до 9 поставлені у відповідність восьмирозрядні двійкові коди від 00110000 до 00111001.

ЕОМ, призначені для обробки економічної інформації, наприклад IBM AT, дозволяють проводити арифметичні операції в десятковій системі числення над числами, представленими в двійково-десяткових кодах і кодах ASCII.

5. Висновки

В процесі налагодження програм та в деяких інших ситуаціях у програмуванні актуальною є проблема переведення чисел з однієї позиційної системи числення в іншу. Якщо основа нової системи числення дорівнює деякому степеню старої системи числення, то алгоритм переводу дуже простий: потрібно згрупувати справа наліво розряди в кількості, що дорівнює показнику степеня і замінити цю групу розрядів відповідним символом нової системи числення. Цим алгоритмом зручно користуватися коли потрібно перевести число з двійкової системи числення у вісімкову або шістнадцяткову. Наприклад, 101102=10 110=268, 10111002=101 1100=5C8

У двійковому відбувається за зворотнім правилом: один символ старої системи числення заміняється групою розрядів нової системи числення, в кількості рівній показнику степеня нової системи числення. Наприклад, 4728=100 111 010=1001110102, B516=1011 0101=101101012

Як бачимо, якщо основа однієї системи числення дорівнює деякому степеню іншої, то перевід тривіальний. У протилежному випадкові користуються правилами переведення числа з однієї позиційної системи числення в іншу (найчастіше для переведення із двійкової, вісімкової та шістнадцяткової систем числення у десяткову, і навпаки).

6. Програмна реалізація

Програма розроблена для перетворення чисел з однієї системи числення в іншу.Реалізована в середовищі програмування Borland C++Builder.

Лістінг програми:

#include <vcl.h>

#pragma hdrstop

#include "Unit1.h"

#include <math.h>

#include <conio.h>

#include <iostream.h>

#include <string.h>

//---------------------------------------------------------------------------

#pragma package(smart_init)

#pragma resource "*.dfm"

TForm1 *Form1;

//---------------------------------------------------------------------------

__fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner)

: TForm(Owner)

{

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::Button1Click(TObject *Sender)

{

//зчитуваня початкового числа

sprintf(s,"%s",Edit1->Text.c_str()); // копіюємо текст в рядок S

sscanf(s,"%s",&szInitialNumber); // зчитуємо значення із рядка S

l=strlen(s);

// зчитування початкової системи числення

sprintf(s,"%s",Edit2->Text.c_str());

sscanf(s,"%i",&InitialSystem);

//зчитування потрібної системи числення

sprintf(s,"%s",Edit3->Text.c_str());

sscanf(s,"%i",&NecessarySystem);

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::Button2Click(TObject *Sender)

{

for(i=0; i<l; i++)

if( szInitialNumber[i]=='.')

SplitPoint=i;

for(i=0; i<SplitPoint; i++)

szIntegralPart[i]=szInitialNumber[i];

for(i=SplitPoint+1; i<l; i++)

szFractionalPart[i]=szInitialNumber[i];

l2=l-SplitPoint-1;

l1=l-l2-1;

// перетворення цілої частини

for(i=0; i<l1; i++)

for(j=0;j<=100;j++)

if(szIntegralPart[i]==( j >= 10 ? 'A' + j - 10 : '0' + j ))

u[i]=j;

e=0;

for(i=0; i<l1-1; i++)

e=(u[i]+e)*InitialSystem;

n=e+u[l1-1];

m=0;

for(i=0; n>=m; i++)

{

m=pow(NecessarySystem, i);

ll=i-1;

}

for(k=ll; k>=0; k--)

{

t=pow(NecessarySystem, k);

x=n/t;

o[k]=x;

for(j=0; j<100; j++)

if(o[k]==j)

w[k]=( j >= 10 ? 'A' + j - 10 : '0' + j ) ;

n=n%t;

}

lll=strlen(w);

for(i=0; i<=ll; i++)

szGetIntegralPart[i]=w[ll-i];

// перетворення дробової частини

for(i=SplitPoint+1; i<l; i++)

for(j=0; j<=100; j++)

if(szFractionalPart[i]==( j >= 10 ? 'A' + j - 10 : '0' + j ))

u1[i]=j;

e1=0;

pp=InitialSystem;

r=1/pp;

for(i=l-1;i>SplitPoint;i--)

e1=(u1[i]+e1)*r;

n1=e1;

nn[0]=n1;

for(i=0; i<20; i++)

{

nn[i+1]=nn[i]*NecessarySystem;

if(nn[i+1]>=1)

{

nnn[i+1]=nn[i+1];

nn[i+1]=nn[i+1]-nnn[i+1];

}

else

{

nn[i+1]=nn[i+1];

nnn[i+1]=nn[i+1];

}

}

for(k=1; k<20; k++)

for(j=0; j<100; j++)

if(nnn[k]==j)

szGetFractionalPart[k]=( j >= 10 ? 'A' + j - 10 : '0' + j );

for(k=0; k<20; k++)

szGetFractionalPart[k]=szGetFractionalPart[k+1];

Edit4->Text=PP;

if(u[0]==0)

szGetIntegralPart[0]='0';

sprintf(s,"%s.%s", szGetIntegralPart, szGetFractionalPart);

Edit4->Text=s;

for(i=0;i<=ll;i++)

szGetIntegralPart[i]=PP[i];

for(i=0;i<=40;i++)

szGetFractionalPart[i]=PP[i];

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::N1Click(TObject *Sender)

{

Close();

}

Контрольні приклади:

Приклад 1.

Перетворити число 109 з десяткової системи числення в двійкову.

Приклад 2.

Перетворити число 1011100000001111 з двійкової системи числення в шістнадцяткову систему числення.

Список використаної літератури

1. Григоренко Я.М., Панкратова Н. Д. “Обчислювальн методи в задачах прикладно математики”. Навч.посбник.-К.:Либдь,1995.-280с.

2. “Численные методы в инженерных исследованиях” / В. Е. Краскевич, К. Х. Зеленский, В. И. Гречко.-К.: Вища шк. Головное изд-во,1986.-263 с.

3. Фейсон Т. « Объектно-ориентированное программирование на Borland C++ 4.5». Киев, «Диалектика»,1996.

4. Каган Б.М. Электронные вычислительные машины и системы, М.: Энергоатомиздат, 1985.

5. Фомин С.В. Системы счисления, М.: Наука, 1987.

6. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике, М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.

Страницы: 1, 2