Метод наименьших квадратов рис 1.1

МНК график остатков рис 1.2

2.1 Постановка задачи

Объект описан дифференциальным уравнением:

Требуется:

1. Записать модель объекта в пространстве состояний.

2. Записать модель объекта в форме передаточной функции.

3. Получить частотные характеристики объекта.

2.2 Математическая постановка задачи

Рассмотрим систему автоматического управления (САУ), описываемую линейным (линеаризованным) дифференциальным уравнением вида:

(2.1)

где u(t) - входной процесс, y(t) - выходной процесс, ai, bj - постоянные коэффициенты, n, m (n>m)- постоянные числа. В операторной форме выражение (2.1) может быть записано 38

.

Здесь D - оператор дифференцирования 38

. Отсюда преобразование “вход-выход” системы:

где W(D) называется операторной передаточной функции.

Один из способов моделирования систем заключается в представлении преобразования “вход-выход” в виде комплексной передаточной функции:

которая получается путем применения преобразования Лапласа к (2.2) ри начальных нулевых условиях. Здесь s-комплексная переменная. Связь между операторной (2.2) и комплексной (2.3) передаточными функциями можно записать в виде:

Комплексные числа, являющиеся корнями многочленаВ(s), называются нулями передаточной функции, а корни многочлена A(s) - полюсами.

Явный вид связи входа и выхода определяется выражением:

где w(t) - оригинал (т.е. полученный с помощью обратного преобразования Лапласа) комплексной передаточной функции W(s).

Динамические свойства систем характеризуют реакции на входные воздействия специального вида. В частности анализ выхода системы на единичный скачок и -функцию (дельта-функцию).

Пусть u(t) = 1(t), то есть на вход системы подается функция Хевисайда (единичный скачок), определяемая:

График функции Хевисайда приведен на рис. 2.1а:

а)

б)

Рис.2.1. Функции Хевисайда (а) и Дирака (б)

Реакция САУ на единичный скачек называется переходной функцией системы и обозначается h(t).

Если u(t) = (t), то есть на вход системы поступает функция Дирака (-функция, импульсная функция, рис. 2.1б) определяемая:

то реакция САУ называется импульсной переходной функцией системы и обозначается w(t). Таким образом оригинал комплексной передаточной функции можно измерить как реакцию систему на импульс.

Импульсная и переходная функции системы связаны соотношением:

Благодаря широкому применению при исследовании устойчивости динамических систем и проектировании регуляторов получили распространение частотные характеристики.

Пусть на вход системы с передаточной функцией W(s) подается гармонический сигнал u(t) = aucos(wt), t>0. В этих условиях справедлива следующая теорема:

Если звено является устойчивым, то установившаяся реакция y(t) на гармоническое воздействие является функцией той же частоты с амплитудой ay = au |W(iw)| и относительным сдвигом по фазе y = argW(iw).

Таким образом, выход определяется гармонической функцией

y(t) = au |W(iw)| cos(w t + argW(iw)),(2.9)

где i - комплексная единица, - частотная характеристика.

При фиксированном значении w частотная характеристика является комплексным числом, и, следовательно, может быть представлена в виде:

где 38

- амплитудно-частотная характеристика (АЧХ); - фазово-частотная характеристика (ФЧХ); - вещественная частотная характеристика (ВЧХ); - мнимая частотная характеристика (МЧХ).

Геометрическое место точек W(iw) на комплексной плоскости при изменении w от w0 до от w1 (обычно w0 = 0, w1 = 38

), называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) или частотным годографом Найквиста.

Имеет широкое практическое значение диаграмма Боде (логарифмическая амплитудная характеристика, ЛАХ), которая определяется как L = 20 lg A(w), измеряется в децибелах и строится как функция от lg w .

2.3 Результаты выполнения задания

Выполняем анализ с помощью пакета прикладных программ MatLab

Передаточная функция имеет вид:

Полюса передаточной функции:

-13.8796

-0.5602 + 1.4614i

-0.5602 - 1.4614i

Нули передаточной функции:

-35.7482

-0.2518

При помощи команды step(w) строим переходную функцию h(t) рис2.2

Рис.2.2. Переходная функция h(t)

При помощи команды impulse(w) строитьсяимпульсная переходная функция w(t) рис2.3:

Рис. 2.3. Импульсная переходная функцияw(t)

При помощи команды bode(w) строим Диаграмму Боде рис 2.4:

Рис.2.4. Диаграмма Боде

АФХ системы он жегодограф НайквистаW(i), строится при помощи команды nyquist(w):

Рис. 2.5. Годограф Найквиста

Текст расчетов в MatLab

>> w= TF([1,36,9],[1,15,18,34])

Transfer function:

s^2 + 36 s + 9

------------------------

s^3 + 15 s^2 + 18 s + 34

>>pole(w)

ans =

-13.8796

-0.5602 + 1.4614i

-0.5602 - 1.4614i

>>zero(w)

ans =

-35.7482

-0.2518

>>step(w)

>>impulse(w)

>>bode(w)

>>nyquist(w)

>>ltiview(w)

Рисунок 2.6 - Блок-схема программы исследования характеристик динамической системы

Плоская стенка первоначально прогрета равномерно до температуры 600С. В дальнейшем на внутренней поверхности стенки (х = 0) обеспечивается условие теплоизоляции (плотность теплового потока равна нулю), а с наружной поверхности (х = L) идет теплообмен с внешней средой, имеющей постоянную температуру Тср = -40 0С.. Изменение температуры в стенке осуществляется в результате процесса теплопроводности. Требуется получить зависимость от времени температуры на внутренней поверхности стенки. Толщина стенки L=20смб коэффициент теплоотдачи б=100Вт/м2К (неявная схема).

3.2 Математическая постановка задачи

Для неявной разностной схемы апроксимация уравнения теплопроводности будет иметь следующий вид:

(3.1)

Теперь удобно ввести и в левой и правой части сгруппировать все члены с индексрмj+1:

Страницы: 1, 2, 3