Суть алгоритма состоит в выделении максимально возможного количества процессоров для каждого блока с целью сокращения критического пути (т.е. сокращение общего времени выполнения всех блоков). Данный алгоритм исходит из наличия алгоритма построения расписания.

Алгоритм эффективный, учитывает зависимости между блоками, но не рассматривает проблему назначения групп процессоров для конкретных блоков и составления расписания их прохождения.

4.2 Упаковка в контейнеры

Bin-packin это множество алгоритмов для решения задачи: объекты различных объемов должны быть упакованы в конечное число контейнеров так, чтобы минимизировать количество используемых контейнеров. В нашем случае упаковка в контейнеры используется для равномерного распределения задач по всем процессорам.

Упаковка в контейнеры без разбиения объектов

Имеем список объектов L=(a1, a2, …, an) и их размеры s(ai) Є {1, 2, …, U}. Размер контейнеров V больше U, количество контейнеров m. Отсортируем список объектов по размеру в убывающем порядке. Первые m объектов упаковывать соответственно будем в m контейнеров. С остальными объектами действуем по принципу: упаковывать в контейнер, у которого занимаемого места меньше всего.

Упаковка в контейнеры с разбиением объектов

Существует два возможных варианта упаковки в контейнеры с разбиением объектов [4]: с сохранением и с увеличением объема данных. Будем рассматривать вариант с увеличением объема данных, так как после разбиения часто появляются дополнительные коммуникации между фрагментами.

Имеем список объектов L=(a1, a2, …, an) и их размеры s(ai) Є {1, 2, …, U}, U - размер контейнеров.

Введем некоторые понятия:

· Эффективность алгоритма A: RA(L) = A(L)/OPT(L), где A(L) - нужное количество контейнеров когда применяем алгоритм A на список объектов L, OPT(L) - оптимальное количество контейнеров для данного списка объектов.

· R называется асимптотической эффективностью в худшем случае, если

R = inf{r>=1: для некоторых N>0, RA(L)<=r для всех L где OPT(L)>=N}

· Алгоритм А называется алгоритмом без лишнего разбиения если:

a) Разбивает объект только тогда, когда его размер больше размера контейнера

б) Разбивает объект на два фрагмента так, чтобы первый фрагмент вместится полностью в одном из контейнеров

в) Открывает новый контейнер только тогда, когда в уже открытых контейнерах нельзя упаковать новый фрагмент.

Известно, что для всех алгоритмов упаковки в контейнеры без лишнего разбиения:

R <= U/(U-2), U>2

Теперь рассмотрим алгоритмы NF, NFD, NFI, FFD-I

· NF - Next-Fit

На каждом шаге открываем только один контейнер, упаковываем объекты по очереди, если размер объекта больше размера свободной части контейнера - разобьем на две части так, чтобы первая часть заполнила контейнер. После этого открываем новый контейнер и вторую часть туда упаковываем. Это очень простой алгоритм и имеет плохую эффективность

RNF=U/(U-2), U>=6

· NFD, NFI (Next-Fit с ранее отсортированным списком объектов по размеру в убывающем/возрастающем порядке)

RNFD >= U/(U-2) если U=2n, n>=3

RNFD >= (U+1)/(U-1) если U=2n+1, n>=2

Но это только нижняя оценка, мы вполне сможем подобрать пример, когда NFD и NFI работают тоже плохо, как и NF.

· FFD-I и FFI-I (Iterative First-Fit Decreasing/Increasing with Item fragmentation)

Попробуем упаковать все объекты списка L в фиксированное количество m контейнеров. Сортируем список объектов по размеру в невозрастающем порядке. Каждый объект будем упаковывать в первый подходящий контейнер, если такого нет, разобьем объект на две части. Первая часть должна заполнить первый свободный контейнер, а вторую часть положим в отсортированный список объектов. Если не удалось упаковать все объекты в m контейнеров, увеличиваем m и повторяем.

Пусть s(L) - сумма всех объектов в списке L.

1) Взять m=[s(L)/U]

2) FFD()

3) Если успешно, останавливаем

4) Иначе m=m+1 и goto 2)

Для алгоритма FFD-I:

RFFD-I <= U/(U-1) если U<=15

U/(U-1) < RFFD-I < U/(U-2) если U>=16

Получаем, что FFD-I лучше NFD/NFI и NF.

Алгоритм упаковки в контейнеры без разбиения показывает хорошие результаты, но не учитывает параллелизм внутри блоков (исходит из последовательной постановки). Так как алгоритм упаковки в контейнеры с разбиением исходит из идеального распараллеливания на мультикомпьютере - без обменов, то, в условиях необходимости синхронизации в процессе счета подзадачи, он не даёт ответа на вопрос составления итогового расписания, расположения объектов внутри контейнера, а также не учитывает необходимость разбиения объекта на равные части.

4.3 Алгоритмы EVAH

В 2001-ом году на международной конференции по параллельной обработке, организованной IEEE (Институтом Инженеров по Электротехнике и Радиоэлектронике) Джомери и Рупак Бизвас предложили ряд новых алгоритмов для решения задачи балансировки в приложениях гидрогазодинамики [2]. Эти алгоритмы описаны в статье “Task Assignment Heuristics for Distributed CFD Applications”. Этой статьи нет в свободном доступе, но идею алгоритма можно взять в другой статье этих же самых авторов.

В рамках этой работы будем использовать один алгоритм из этой серии, который называется Largest Task First with Minimum Finish Time and Available Communication Costs” (LTF_MFT_ACC, в первую очередь большие задачи с наименьшим временем выполнения и известными затратами на коммуникации). Позже EVAH был интегрирован другими разработчиками в реальных приложениях типа OVERFLOW-D (моделирование подвижных объектов в аэродинамике) и показал весьма неплохой результат.

Ядро алгоритма можно описать следующим образом:

Пусть:

zi - задача i

Xi - время выполнения zi

R(zi) - совокупность всех задач, от которых zi получает данных

D(zi) - совокупность всех задач, которые получают данные от задачи zi

C - время коммуникации

T(pi) - суммарное время выполнения задач на процессоре pi

1: Отсортируем список задач по весу (времени выполнения) в убывающем порядке

2: В начале время выполнения задач на каждом процессоре = 0 (процессоры свободные)

3: Для каждой отсортированной задачи zi выполнять:

3.1: Распределить задачу на процессор pj, у которого загрузка T(pj) наименьшая. Пересчитать T(pj) = T(pj) + Xi

3.2: Для каждой задачи zr в R(zi), назначенной на процессор pk != pj выполнить

T(pj) = T(pj) + Cir

Если задача zr (которая уже распределена на другой процессор) получает данные от задачи zi то надо добавить в T(pj) время коммуникации между zi и zr */

3.3: Для каждой задачи zd в D(zi), назначенной на процессор pm != pj выполнить

T(pm) = T(pm) + Cdi

Если задача zi получает данные от zd (которая уже распределена на процессор pm) то надо добавить в T(pm) время коммуникации */

4: Конец цикла

Для иллюстрации работы алгоритма рассмотрим следующий пример (рисунок 3).

Имеем четыре пересекающиеся сетки (блоки) zi (i=0..3). Надо распределить блоки по двум процессорам p0 и p1 так, чтобы минимизировать время выполнения.

Рисунок 3. Иллюстрация работы алгоритма EVAH

Шаг 1. Четыре блока отсортированы в убывающем порядке по времени выполнения (Xi), получаем: z3, z2, z0, z1

Шаг 2. В начале суммарное время выполнения на процессорах равно 0, T(p0) = T(p1) = 0

Шаг 3. Самый большой блок z3 назначен на процессор p0. Получаем T (po) = 75 в шаге 3.1. Так как никакие другие блоки не были еще назначены на процессоры, пропустим шаги 3.2 и 3.3 для z3.

Повторяем шаг 3 для задачи z2. По предложенному алгоритму z2 должна быть назначена на процессор, где нагрузка наименьшая и поэтому z2 назначена на процессор p1. Получаем T(p1) = 60 в шаге 3.1. На шаге 3.2 очевидно, что z3 получает от z2 данные и поэтому T(p1) = 60 + 4 = 64. На шаге 3.3 наоборот, z2 получает данные от z3 и поэтому T(p0) = 75 + 4 = 79.

Аналогично повторяем шаг 3 для распределения задач z0 и z1.

В результате распределения T(p0)=123, T(p1)=122. Значит, время параллельного выполнения будет 123 а время последовательного 225 (сумма всех Xi без затрат времени на коммуникации)

Заметим, что алгоритм EVAH имеет большое преимущество перед традиционными алгоритмами на неориентированных графах именно в силу возможной обработки ориентированного графа. Для многоблочных задач объем коммуникации между соседними блоками не всегда симметричный.

Алгоритм EVAH учитывает время на коммуникации, но не пытается распределить блоки на несколько процессоров, используя параллелизм внутри блока.

5 Исследование и построение решения задачи

5.1 Первоначальные предложения по отображению

Попытаемся свести нашу задачу отображения многоблочных задач на процессоры к задаче упаковки в контейнеры с дроблением грузов первого типа - дроблением с увеличением груза (накладными расходами).

Первый вариант:

Квантуем время на достаточно малые равные промежутки dt. Будем считать, что каждый контейнер имеет вместимость N (количество процессоров в вычислительной системе), а количество заполненных контейнеров обозначает время счета совокупности подзадач (если заполнено T контейнеров, то совокупное время счета распределенных на вычислительную систему подзадач будет T*dt). Будем считать, что каждый груз уже раздроблен на части весом Kmax (максимальное возможное количество процессоров для счета подзадачи, для каждого груза этот показатель свой). При дроблении количество частей в зависимости от веса каждой части будем получать по формуле [Time(K)/dt]+1, где Time(K) - время счета подзадачи на K процессорах.

Остается лишь ввести следующие ограничения:

1. При дроблении груза веса частей всегда равны между собой

2. В контейнере не может быть более одной части одного груза

3. После появления части i-го груза в контейнере если i-ый груз не полностью выложен в контейнеры, то в следующем контейнере обязана появится часть i-го груза.

Этот вариант плох тем, что имеет отрицательную динамику роста общего веса груза при его дроблении - то есть полное время выполнения (равное времени выполнения, умноженному на количество задействованных процессоров) подзадачи уменьшается с увеличением количества частей, на которые разбивается соответствующий ей груз. Считаю, что данная отрицательная динамика не позволяет полностью свести нашу задачу к задаче упаковки в контейнеры с дроблением первого типа, а также делает известные методики упаковки неприменимыми.

Второй вариант:

Считаем, что каждый контейнер обозначает процессор. Груз - подзадачу. Будем считать, что каждый груз уже раздроблен на Kmin (минимальное возможное количество процессоров для подзадачи) частей (для каждого груза этот показатель свой). При дроблении вес частей в зависимости от количества будем получать по формуле Time(K), где K - количество частей, на которые раздроблен груз, а Time(K) - время выполнения подзадачи с использованием K процессоров. Далее для получения ответа будем варьировать вместимости контейнеров в поиске минимальной возможной вместимости для размещения всех грузов в данных N контейнерах.

Здесь также вводятся дополнительные ограничения:

1. При дроблении веса частей всегда равные

2. В контейнере не может быть более одной части одного груза

3. А также ограничение, которое заметно сложнее выполнить:

После полной упаковки учитывая ограничения 1 и 2, должна существовать расстановка частей грузов в каждом контейнере (возможно, с добавлением в контейнеры фиктивных грузов для занятия места) такая, что все части одного груза имели бы равные начальные времена (начальное время для части груза в контейнере с упорядоченными частями грузов есть суммарный вес всех частей грузов с номерами меньшими данного). При этом возможно переполнение контейнеров и данное распределение считается неудовлетворяющим ограничению 3.

Второй вариант кажется предпочтительнее своей естественностью, однако поддержание ограничения 3 создает сильное препятствие для работы алгоритма отображения.

5.2 Эволюция предложений по отображению

Рассмотрим сначала второй вариант из подраздела 5.1

Выше изложенный принцип на данный момент не был использован для отображения с учетом параллелизма, однако был использован для отображения без учета параллелизма внутри подзадач. Был реализован и отлажен алгоритм, основанный на данном принципе и названный «Жадное Отображение», принято решение использовать жадную стратегию заполнения контейнеров - такую, при которой следующий груз-кандидат попадает в самый незаполненный контейнер.

Описание алгоритма:

Страницы: 1, 2, 3