Если же

s(t) - p + r(0) - u(0) < r(0) - u(0)

то старое оборудование целесообразно сохранить. Итак, для последнего года оптимальная политика и максимальная прибыль F1(t) находятся из условия

Пусть k = 2, т. е. рассмотрим прибыль за два последних года. Де лаем предположение о возможном состоянии t оборудования на начало предпоследнего года. Если в начале этого года принять решение о со хранении оборудования, то к концу года будет получена прибыль r(t) u(t). На начало последнего года оборудование перейдет в состоя ние t + 1 и при оптимальной политике в последнем году оно принесет прибыль, равную F1 (t+1). Значит общая прибыль за два года составит r(t) u(t) + F1(t + 1). Если же в начале предпоследнего года будет принято решение о замене оборудования, то прибыль за предпоследий год составит

s(t) p + r(0) - u(0).

Поскольку приобретено но вое оборудование, на начало последнего года оно будет в состоянии t = 1. Следовательно, общая прибыль за последние два года при оптимальной политике в последнем году составит

s(t) - p + r(0) - u(0) + F1(1)

Условно оптимальной в последние два года будет политика, доставляющая максимальную прибыль

Аналогично находим выражения для условно оптимальной прибыли за три последних года, четыре и т. д. При k=T получим max Z = FT (t0).

Таким образом, разворачивая весь процесс от конца к началу, получаем, что максимальная прибыль за плановый период Т составит FT(t0). Так как начальное состояние t0 известно, из выражения для FT(t0) находим оптимальное решение в начале первого года, потом вытекающее из него оптимальное решение для второго года и т. д. Обратимся к числовому примеру. Практическое применение рассмотренной выше схемы представлено в приложении.

3. Расчет показателей экономико-математической модели

Решим задачу замены оборудования на плановый период в N = 10 лет, оборудование пятилетнего возраста (T = 5).

В начале планового периода продолжительности в N лет имеется оборудование возраста t, известна стоимость r(t) продукции, производимой в течение года с использованием этого оборудования; ежегодные расходы u(t) связанные с эксплуатацией оборудования; его остаточная стоимость s; стоимость p нового оборудования (сюда же включены затраты, связанные с установкой, запуском оборудования). Данные задачи приведены в таблице.

Для решения задания применим принцип оптимальности Беллмана. Рассмотрим интервалы времени, т.е. годы, планового периода от конца к началу. Обозначим функцию условно-оптимальных значений функции цели Fk(t) - максимальную прибыль, которая будет получена от использования оборудования возраста t лет за последние k лет планового периода.

Запишем функциональные уравнения для последнего года планового периода F1(t) и последних k лет планового периода Fk(t) при исходных числовых значениях параметра:

Пользуясь этими выражениями, будем последовательно вычислять значения максимальной прибыли Fk(t) и записывать их в табл. 1. Первую строку получим, придавая параметру t в равенстве (1) значения 0, 1, 2, +, 10 и используя исходные данные. Например при t = 0: = 20 (сохранение).

Аналогично расчет ведется до t = 9: = 7 (сохранение).

Заметим, что если прибыль от нового оборудования ровна прибыли от старого, то старое лучше сохранить еще на год. При t = 10= = = 7 (замена).

Из табл.1 видно, что r(t) - л(t) с ростом t убывает. Поэтому при t > 9 оптимальной будет политика замены оборудования. Чтобы различать, в результате какой политики получается условно-оптимальное значение прибыли, будем эти значения разграничивать (до t = 9 включительно оптимальной является политика сохранения). Для заполнения второй строки табл.1, используем формулу (2) для k = 2:

Придавая параметру t значения 0, 1, 2,+ ,10, используя исходные данные и значения F1(t+1) из первой строки таблицы, заполним вторую строку. Например, при t = 4= = =28(сохранение).

Для третьей строки таблицы используем формулу (2) для k = 3:= = и т.д.

Таблица 1

Пусть, например, в начале планового периода имелось оборудование возраста T = 5 лет. Разработаем политику "замен" на десятилетний период доставляющий максимальную прибыль. Информация для этого представлена в табл.1 на пересечении столбца t = 5 строки F10(t); она составляет 150 единиц.

Значение максимальной прибыли F10(5) = 150 записано в области "политики замены". Это значит, что для достижения в течение 10 лет максимальной прибыли в начале первого года оборудование надо заменить. В течение первого года новое оборудование постареет на год, т.е., заменив оборудование и проработав на нем год, за 9 лет до конца планового периода будем иметь оборудование возраста 1 год. Из табл. 1 берем F9(1) = 143. Это значение располагается в области "политики сохранения", т.е. во втором году планового периода надо сохранить оборудование возраста 1 год, и, проработав на нем год, за 8 лет до конца планового периода будем иметь оборудование возраста 2 года.

Значение F8(2) = 123 помещено в области сохранения. Работаем на оборудовании еще год. Теперь до конца планового периода осталось 7 лет, а возраст оборудования составляет 3 года. Находим F7(3) = 106. Это область сохранения. Работаем на оборудовании еще год. Его возраст становится равным 4 годам. До конца планового периода остается 6 лет. Определяем F6(4) = 90. Это область сохранения. Работаем на оборудовании еще год. Его возраст становится равным 5 годам. До конца планового периода остается 5 лет. Определяем F5(5) = 75. Это область замен. Заменяем оборудование на новое. Проработаем на нем в течение пятого года. Оно постареет на год. До конца планового периода остается 4 года. Продолжая подобные рассуждения, получим, что F4(1) = 68, F3(2) = 48, F2(3) = 31, F1(4) = 15 расположены в области сохранения. Разработанную политику изобразим следующей цепочкой:

F10(5) F9(1) F8(2) F7(3) F6(4) F5(5) F4(1)

F3(2) F2(3) F1(4)

Из табл.1 можно найти оптимальную стратегию замены оборудования с любым начальным состоянием от 0 до 10 лет и на любой плановый период, не превосходящий 10 лет.

В приложении рассмотрена задача для любого начального возраста оборудования и для любого расчетного периода.

Список использованных источников

1. А.В. Кузнецов, В.А. Сакович, Н.И. Холод Математическое программирование. - М.: Вышэйшая школа,1994.

2. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.

3. Колемаев В.А. Математическая экономика.- М.: Юнити,1998.

Приложение

program Kurs;

uses

Crt;

const

(* ACTIONS CONSTANT *)

SELL = 0;

SAVE = 1;

(* TYPES SIZE CONSTANT *)

MAX_VECTOR_SIZE = 64;

type

TOutMatrixCell = record

action : byte;

value : real;

end;

TOutMatrix = record

rows : word;

cols : word;

items : array[1..MAX_VECTOR_SIZE - 1, 0..MAX_VECTOR_SIZE - 1] of TOutMatrixCell;

end;

TPlanCell = record

year : word;

action : byte;

end;

IVector = record

size : word;

items : array[1..MAX_VECTOR_SIZE - 1] of byte;

end;

DVector = record

size : word;

items : array[0..MAX_VECTOR_SIZE - 1] of real;

end;

var

vectorR : DVector;

vectorU : DVector;

outMatrix : TOutMatrix;

optimalPlan : IVector;

startTime : word;

count : word;

{----------------------------------------------------------------------------}

procedure ReadData(path : string);

var

inFile : Text;

i : word;

elem : real;

s : string;

begin

Assign(inFile, path);

Reset(inFile);

Writeln('Условие:');

repeat

Readln(inFile, s);

Writeln(s);

until (s = '');

Writeln('Начальные данные:');

Write('R(x) : ');

i := 0;

while not Eoln(inFile) do

be

Read(inFile, elem);

Write(elem:3:1, ' ');

vectorR.items[i] := elem;

Inc(i);

end;

vectorR.size := i;

Readln(inFile);

Writeln;

Write('U(x) : ');

i := 0;

while not Eof(inFile) do

begin

Read(inFile, elem);

Write(elem:3:1, ' ');

vectorU.items[i] := elem;

Inc(i);

end;

vectorU.size := i;

Close(inFile);

Writeln;

Write('начальный возраст оборудования = ');

Readln(startTime);

Write('расчетный период = ');

Readln(count);

Writeln;

end;

{----------------------------------------------------------------------------}

procedure WriteData;

var

i : word;

q : array[0..1] of string;

begin

Writeln('Решение:');

q[0] := 'заменить';

q[1] := 'сохранить';

for i := 1 to optimalPlan.size do

Writeln(i, ' year -> ', q[optimalPlan.items[i]]);

end;

{----------------------------------------------------------------------------}

function S(t : word) : real;

begin

S := 2;

end;

{----------------------------------------------------------------------------}

function P(t : word) : real;

begin

P := 15;

end;

{----------------------------------------------------------------------------}

function U(t : word) : real;

begin

U := vectorU.items[t];

end;

{----------------------------------------------------------------------------}

function R(t : word) : real;

begin

R := vectorR.items[t];

end;

{----------------------------------------------------------------------------}

function F(t : word; order: word; var action : byte) : real;

var

a : real;

b : real;

begin

if (order = 1)

then

begin

a := R(t) - U(t);

b := S(t) - P(t) + R(0) - U(0);

if (b >= a)

then

begin

F := b;

action := SELL;

end

else

begin

F := a;

action := SAVE;

end;

exit;

end;

a := R(T) - U(T) + outMatrix.items[order - 1, t + 1].value;

b := S(T) - P(T) + R(0) - U(0) + outMatrix.items[order - 1, 1].value;

if (b >= a)

then

begin

F := b;

action := SELL;

end

else

begin

F := a;

action := SAVE;

end;

end;

{----------------------------------------------------------------------------}

procedure BuildOutMatrix;

var

i : word;

j : word;

action : byte;

begin

outMatrix.rows := vectorR.size - 1;

outMatrix.cols := vectorR.size;

for i := 1 to outMatrix.rows do

for j := 0 to outMatrix.cols do

begin

outMatrix.items[i, j].value := F(j, i, action);

outMatrix.items[i, j].action := action;

end;

end;

{----------------------------------------------------------------------------}

procedure GetOptimalPlan(startTime : word; count : byte);

var

i : word;

currTime : word;

begin

currTime := startTime;

optimalPlan.size := count;

for i := count downto 1 do

begin

optimalPlan.items[count - i + 1] := outMatrix.items[i, currTime].action;

if (outMatrix.items[i, currTime].action = SELL)

then

currTime := 1

else

Inc(currTime);

end;

end;

{----------------------------------------------------------------------------}

begin

ClrScr;

ReadData('data.txt');

BuildOutMatrix;

GetOptimalPlan(startTime, count);

WriteData;

Readln;

end.

Страницы: 1, 2, 3