1.1 Умова задачі

Необхідно в системі координат побудувати логарифмічну спіраль:

Рисунок 1

1.2 Аналітичне розв'язання задачі в загальному вигляді

1.2.1 Визначення

Нехай пряма UV (див. Рисунок2) рівномірно обертається біля нерухомої точки O (полюс), а крапка М рухається уздовж UV, віддаляючись від О зі швидкістю, пропорційною відстані ОМ. Лінія, що описується точкою М, має назву логарифмічної спіралі [3].

Рисунок 2

У 1638 р. Р. Декарт знайшов, що спіраль, дуга якої зростає пропорційно полярному радіусу, володіє тією властивістю, що її дотична утворює постійний кут з полярним радіусом [7].

1.2.2 Рівняння у полярних координатах

Рівняння логарифмічної спіралі для полярних координат може бути записано так [1]:

, (1)

де  -- полярний радіус точки , а q -- коефіцієнт росту.

Коефіцієнт росту логарифмічної спіралі -- це відношення q кінцевого полярного радіусу до початкового при повороті прямої UV на кут [3].

Звичайно рівняння (1) записується у вигляді:

, (2)

де k -- параметр, що виражається через коефіцієнт росту q так:

(3)

Для переходу від полярної системи координат до Декартової використовуються формули переходу [1]:

(4)

1.2.3 Властивості логарифмічної спіралі

Із багатьох властивостей логарифмічної спіралі відзначимо:

1. Будь-який промінь, що виходить з початку, перетинає будь-який виток спіралі під одним і тим же кутом. Величина цього кута залежить від числа k у рівнянні спіралі. При цьому під кутом між променем та спіраллю розуміється кут між цим променем та дотичної до спіралі, що проведена у крапці перетину (див. Рисунок3) [7].

Рисунок 3

2. Розмір витків логарифмічної спіралі поступово збільшується, але їх форма залишається незмінною.

3. Якщо віддалення точки М від полюса О супроводжується обертанням прямої UV проти часової стрілки, то логарифмічна спіраль має назву правої; в противному випадку -- лівої. Для правої спіралі коефіцієнт росту , для лівої --; при спіраль вироджується у коло з радіусом . Також для правих спіралей параметр k має позитивне значення, а для лівих -- негативне. У граничному випадку, коли спіраль вироджується в коло з радіусом . Навпаки, коли k прагне до нескінченності спіраль прагне до прямої лінії [1].

2. Розв'язання задачі для самостійно заданих початкових даних

Задача:

Побудувати в координатній площі логарифмічну спіраль.

Дано:

Коефіцієнт росту (умова 1); (умова 2); (умова 3).

Полярний радіус ;

Кількість обертів

Виконання:

1. По формулі (3) знаходимо через коефіцієнт росту параметр k:

, (для умови 1);

, (для умови 2);

, (для умови 3);

2. Отриманий результат підставляємо до формули (2):

, (для умови 1); , (для умови 2); , (для умови 3);

Із умови 3 бачимо, що спіраль вироджується у коло з радіусом .

3. Кут постійний. Виразимо його через вираз:

, де -- змінна, що характеризує крок зростання спіралі.

Нехай крок дорівнює 60 (.

4. Спіраль обертається по колу. Повне коло -- , кількість обертів , отже ми маємо отримати 12 результатів кожного кроку.5. Маємо (для умови 1):

,

(для умови 2)

У першому випадку спіраль обертається управоруч, так як . У другому -- ліворуч, так як . А у третьому -- коло з радіусом .

3 Програмування в консольному режимі, отримання результату

3.1 Код додатку

program LSpir_cons;

{$APPTYPE CONSOLE}

var

q, p, fi, a, k, p0: Real;

n, i: integer;

begin

// Расчёт данных

writeln('Введите количество оборотов (n):');

readln(n);

writeln;

writeln('Введите значение коэффициента роста (q):');

readln(q);

writeln;

writeln('Введите полярный радиус (p0):');

readln(p0);

writeln;

// Расчёт данных

if (q <> 1) then

begin

while a < 360 * n do // рассчитываем радиус, увеличивая угол от 0 до 360 градусов

for i:=0 to 11 do // index=(360/60)*n=12; [от 0 до 11]

begin

begin

fi:= a * pi / 180;

k := (ln(q))/(2*pi);

p := p0 * exp(k * fi);

a := a + 60; // шаг

writeln('p',i+1,'= ', p:6:3, ' fi',i+1,'= ', fi:6:3);

end;

end;

end

else writeln('Спираль вырождается в окружность с радиусом ',p0:2:0);

writeln;

if (q > 1) then

begin

writeln('Спираль правосторонняя.');

end;

if (q < 1) then

writeln('Спираль левосторонняя.');

readln;

end.

3.2 Блок-схема алгоритму

3.3 Реакція ЕОМ

Рисунок 4 - Реакція ЕОМ при q=1

Рисунок 5 - Реакція ЕОМ при q > 1

Рисунок 6 -Реакція ЕОМ при q < 1

4. Компоненти форми та їх властивості

Створюючи дану програму я використовував різноманітні компоненти: Edit, Label, ImageButton, Image, PaintBox, GroupBox, CheckBox, MainMenu, PageControl та OleContainer.

Таблиця 1 - Загальна характеристика компонентів:

Рисунок 7 - Приклади виводу тексту у компонент Label

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6