p align="left">3. Математический анализ Функция limit - вычисляет предел функции одной переменной Синтаксис limit (F, x, a) limit (F, a) limit(F) limit (F, x, a, 'right') limit (F, x, a, 'left') Описание Ш Функция limit (F, x, a) определяет предел функции F(x) при x->a. Ш Функция limit (F, a) автоматически определяет независимую переменную, например t, с помощью функции findsym(F) и затем вычисляется предел функции F(t) при t->a. Ш Функция limit(F) предполагает по умолчанию в качестве предельной точки a=0. Ш Функции limit (F, x, a, 'right') и limit (F, x, a, 'left') вычисляют соответственно правосторонний и левосторонний пределы. Примеры. >>syms x a t h >>limit (sin(x)/x) ans=1 >>limit((x_2)/(x^2-4), 2) ans=1/4 >>limit((1+2*t/x)^(3*x), x, inf) ans=exp (6*t) >>limit (1/x, x, 0,'right') ans=inf >>limit (1/x, x, 0,'left') ans=-inf >>limit((sin (x+h) - sin(x))/h, h, 0) ans=cos(x) v=[(1+a/x)^x, exp(-x)] >>limit (v, x, inf, 'left') ans=[exp(a), 0] Функция diff - выполняет дифференцирование функции одной переменной Синтаксис diff(S) diff (S, 'v') diff (S, sym(`v')) diff (S, n) diff (S, 'v', n) diff (S, n, 'v') Ш Функция diff(S) автоматически определяет независимую переменную с помощью функции findsym(S) и затем выполняет соответствующее дифференцирование. Ш Функция diff (S, 'v') и diff (S, sym(`v')) дифференцирует символьное выражение S по переменной, указанной в `v'. Ш Функции diff (S, n), diff (S, 'v', n), diff (S, n, 'v') дифференцируют n раз символьное выражение S по переменной, указанной в `v'. Ш Если S матрица, то операция дифференцирования применяется к каждому элементу матрицы. Примеры >>syms x t >>diff (sin(x^2)) ans=2*cos (x^2)*x >>diff (t^6,6) ans=720 Функция int - выполняет интегрирование функции одной переменной Синтаксис R=int(S) R=int (S, v) R=int (S, a, b) R=int (S, v, a, b) Ш Функция int(S) возвращает символьное значение неопределенного интеграла от символьного выражения или массива символьных выражений S по переменной, которая автоматически определяется функцией findsym. Если S - скаляр или матрица, то вычисляется интеграл по переменной `x'. Ш Функция int (S, v) возвращает неопределенный интеграл от S по переменной v. Ш Функция int (S, a, b) возвращает определенный интеграл от S с пределами интегрирования от a до b, причем пределы интегрирования могут быть как символьными, так и числовыми. Ш Функция int (S, v, a, b) возвращает определенный интеграл от S по переменной v с пределами интегрирования от a до b. Примеры >> x=sym('x'); >> int (x^2, x) ans = 1/3*x^3 >> int (sin(x)^3, x) ans = -1/3*sin(x)^2*cos(x) - 2/3*cos(x) >> int (log(2*x), x) ans = log (2*x)*x-x >> int((x^2-2)/(x^3-1), x, 1,2) ans = - inf >> int((x^2-2)/(x^3-1), x, 2,5) ans = -2/3*log(2)+2/3*log(31)+2/3*3^(1/2)*atan (11/3*3^(1/2)) - 2/3*log(7) - 2/3*3^(1/2)*atan (5/3*3^(1/2)) >> int([x^3 sin(x) exp(x)], x) ans = [1/4*x^4, - cos(x), exp(x)] Функция taylor - служит для получения разложений аналитических функций в ряд Тейлора (и Маклорена) Синтаксис taylor(f) taylor (f, n) taylor (f, a) taylor (f, x) Ш Функция taylor(f) возвращает шесть первых членов ряда Маклорена (ряд Тейлора в точке x=0). В любом разложении можно задавать число членов ряда n, точку a, относительно которой ищется разложение, и переменную x, по которой ищется разложение, например taylor (f, n, x, a). Ш Функция taylor (f, a) возвращает ряд Тейлора в окрестности точки a. Ш Функция taylor (f, x) возвращает ряд Тейлора для переменной x, определяемой функцией findsym. Примеры >> x=sym('x'); >> F=sin(x); >> taylor(F) ans = x_1/6*x^3+1/120*x^5 >> taylor (F, 10) ans = x_1/6*x^3+1/120*x^5-1/5040*x^7+1/362880*x^9 >> taylor (exp(x), 1) ans = >> taylor (cos(x), - pi/2,6) ans = x+1/2*pi_1/6*(x+1/2*pi)^3+1/120*(x+1/2*pi)^5 Функция yacobian - вычисляет матрицу Якоби Синтаксис yacobian (f, v) Ш Функция yacobian (f, v) возвращает матрицу Якоби для скаляра или вектора f по вектору переменных v. Каждый (i, j) - й элемент матрицы представляет собой частную производную ?fi/?vj. Примеры >> v=[x, y, z]; >> J=jacobian (F, v) J = [2*x, 0, 0] [1, 1/z, - y/z^2] [z, 0, x] >> v=[x; y]; >> J=jacobian (F, v) J = [2*x, 0] [1, 1/z] [z, 0] >> J=jacobian (x*y, v) J = [y, x] Функция symsum - вычисляет аналитическое значение суммы ряда Синтаксис symsum(S) symsum (S, v) symsum (S, a, b) Ш Функция symsum(S) возвращает символьное значение суммы бесконечного ряда по переменной, найденной автоматически с помощью функции findsym. Ш Функция symsum (S, v) возвращает сумму бесконечного ряда по переменной v. Ш Функция symsum (S, a, b) возвращает конечную сумму ряда в пределах номеров слагаемых от a до b. Примеры >> x=sym('x'); >> symsum (x^2) ans = 1/3*x^3-1/2*x^2+1/6*x >> symsum (1/x^4) ans = -1/6*Psi (3, x) >> symsum (1/x^4,1,5) ans = 14001361/12960000 >> symsum([x, x^2, x^3], 1,5) ans = [15, 55, 225] Функция solve - решает системы алгебраических уравнений и одиночных уравнений Синтаксис solve (expr1, expr2,…, exprN, var1, var2,…, varN) solve (expr1, expr2,…, exprN) Ш Функция solve (expr1, expr2,…, exprN, var1, var2,…, varN) возвращает значения переменных varI, при которых соблюдаются равенства, заданные выражениями exprI. Если в выражениях не используются знаки равенства, то полагается exprI=0. Ш Функция solve (expr1, expr2,…, exprN) аналогична предшествующей функции, но переменные, по которым ищется решение, определяются функцией fimdsym. Примеры >> syms x y; >> solve (x^3-1, x) ans = [1] [-1/2+1/2*i*3^(1/2)] [-1/2-1/2*i*3^(1/2)] >> solve (x^2_x_9, x) ans = [1/2+1/2*37^(1/2)] [1/2-1/2*37^(1/2)] >> syms a b c; >> solve (a*x^2+b*x+c) ans = [1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))] [1/2/a*(-b - (b^2-4*a*c)^(1/2))] >> S=solve ('x+y=3', 'x*y^2=4', x, y) S = x: [3x1 sym] y: [3x1 sym] >> S.x ans = [4] [1] [1] >> S.y ans = [-1] [2] [2] >> solve ('sin(x)=0.5', x) ans = 52359877559829887307710723054658 Функция dsolve - решает дифференциальные уравнения в форме Коши Синтаксис dsolve (`eqn1', `eqn2',…) Ш Функция dsolve (`eqn1', `eqn2',…) возвращает аналитическое решение системы дифференциальных уравнений с начальными условиями. Они задаются равенствами eqnI. Примеры >> dsolve ('D2x=-2*x') ans = C1*sin (2^(1/2)*t)+C2*cos (2^(1/2)*t) >> dsolve ('D2y=-2*x+y', 'y(0)=1', 'x') ans = 2*x+C1*sinh(x)+cosh(x) 4. Графические возможности Функция ezplot - строит графики символьно заданной функций Синтаксис ezplot(f) ezplot (f, xmin, xmax) ezplot (f, [xmin xmax]) ezplot (f, [xmin xmax], fig) Ш Функция ezplot(f) строит график символьно заданной функции f(x) независимой переменной `x' в интервале [-2*pi 2*pi]. Ш Функции ezplot (f, xmin, xmax) и ezplot (f, [xmin xmax]) позволяют задать диапазон изменения независимой переменной x от xmin до xmax. Ш Функция ezplot (f, [xmin xmax], fig) обеспечивает спецификацию с помощью параметра fig. Примеры >> ezplot ('tan(x)', 0,20) >> grid on
Рис. 1 Графические возможности функции ezplot Функция ezcontour - строит контурные графики функций вида f (x, y) Синтаксис ezcontour(f) ezcontour (f, domain) ezcontour(…, n) Ш Функция ezcontour(f) строит контурный график с настройкой по умолчанию. Ш Функция ezcontour (f, domain) строит контурный график с заданными параметром domain пределами изменения x и y. Ш Функция ezcontour(…, n) обеспечивает ранее указанные построения при явном задании числа линий n. Примеры >> syms x y >> ezcontour (sin(x*y), [-3,3], 30)
Рис. 2 Графические возможности функции ezcontour >> syms x y >> ezcontour (sin(x)*sin(y), [-3,3], 50)
Рис. 3 Графические возможности функции ezcontour Функция ezplot3 - строит трехмерные графики параметрически заданных функций ezplot3 (x, y, z) ezplot3 (x, y, z, [tmin tmax]) ezplot3 (…, `animate') Ш Функция ezplot3 (x, y, z) строит трехмерный график функции, заданной параметрически уравнениями x(t), y(t), z(t) при настроеке по умолчанию. Ш Функция ezplot3 (x, y, z, [tmin tmax]) строит трехмерный график функции, заданной параметрически уравнениями x(t), y(t), z(t) при изменениях аргумента t от tmin до tmaxю Ш Функция ezplot3 (…, `animate') аналогична предшествующим функциям, но обеспечивает анимацию графика. Примеры >> syms t; >> ezplot3 (cos(t), sin(t), t, [0 20], 'animate') Рис. 4 Графические возможности функции ezplot3 Функция ezsurf - строит графики поверхностей, задаваемых функциями двух переменных f (x, y) Синтаксис ezsurf(f) ezsurf (f, domain) ezsurf (x, y, z) ezsurf (x, y, z, [smin, smax, tmin, tmax]) ezsurf (x, y, z, [min max]) ezsurf(…, n) ezsurf(…, `circ') Ш Функция ezsurf(f) строит поверхность f (x, y) с параметрами x и y, меняющимися по умолчанию от -2? до 2?. Ш Функция ezsurf (f, domain) строит поверхность f (x, y) с пределами изменения x и y, заданными параметром domain. Ш Функция ezsurf (x, y, z) строит поверхность, заданной параметрически зависимостями x (s, t), y (s, t), z (s, t) при s и t, меняющихся в интервале -2? до 2?. Ш Функция ezsurf (x, y, z, [smin, smax, tmin, tmax]) строит поверхность, заданной параметрически зависимостями x (s, t), y (s, t), z (s, t) при s и t, меняющихся в заданном интервале. Ш Функция ezsurf (x, y, z, [min max]) строит поверхность, заданной параметрически зависимостями x (s, t), y (s, t), z (s, t) при s и t, меняющихся в одинаковом интервале от min до max. Ш Функция ezsurf(…, n) аналогична описанным выше командам, но с задаваемым числом линий сетки n. Функция ezsurf(…, `circ') аналогична описанным выше командам, но вписывает поверхность в окружность
Страницы: 1, 2
|