Командой для символьных вычислений интегралов является символьный оператор . Результат (т.е. первообразная от подынтегрального выражения) выводится справа от стрелки. Если первообразную функцию нельзя записать в аналитическом виде, то справа от стрелки будет еще раз переписан тот же интеграл.

Для того, чтобы вычислить в символьном виде определенный интеграл, MathCAD сначала вычисляет первообразную, т.е. повторяет действия неопределенного интеграла. Далее, из значения первообразной на верхней границе вычисляется ее значение на нижней границе. Полученное в результате выражение и возвращается как ответ.

Значение переменной TOL не имеет никакого значения для символьных вычислений.

Вычисление интеграла - это, по-видимому, самая сложная задача для символьного процессора MathCAD. Надо отметить, что символьное интегрирование возможно только для небольшого круга несложных подынтегральных функций. Поэтому некоторые интегралы не могут быть вычислены в символьном виде. Стоит отметить, что существует несколько интегралов, которые не имеют аналитического выражения, но часто встречаются в практических задачах. Эти интегралы в математике носят определенные названия и заданы в MathCAD в виде специальных символьных функций или констант. Таким образом, многие интегралы, которые не имеют аналитического выражения через элементарные функции, будут все же вычислены символьным процессором и записаны с использованием специальных символьных функций MathCAD.

Однако следует помнить, что результат символьного интегрирования в данном случае является лишь удобной записью того же интеграла. Если понадобится определить значение одной из этих функций в точке на числовой оси, то придется вычислять соответствующий интеграл численными методами.

Интегрирование функций с параметром. Следует помнить, что MathCAD воспринимает все неопределенные параметры в функциях как произвольные комплексные функции. Поэтому интеграл от функции с параметром будет вычислен только в том случае, если он существует при всех значениях параметра на комплексной плоскости. Такое условие выполняется далеко не для всех функций. Решение данной проблемы является использование модификатора символьных вычислений assume. С его помощью можно наложить определенные ограничения на значения параметров, входящих в подынтегральное выражение.

Вводится интеграл, знак символьного вычисления с полем ввода для модификатора, в которое вводится ключевое слово assume и через запятую условие, накладываемое на параметр подынтегрального выражения или несколько условий через запятую.

Расходящийся интеграл. Если интеграл расходится (равен бесконечности), то вычислительный процессор может выдать сообщение об ошибке, а символьный процессор справляется с этим интегралом, совершенно правильно находя его бесконечное значение.

Кратные интегралы. Кроме однократных интегралов в MathCAD есть возможность вычислять двойные, тройные интегралы, а также интегралы более высокой точности. Для вычисления кратных интегралов не предусмотрено отдельного оператора, для этого служит уже знакомый оператор определенного интеграла, в шаблоне которого в поле ввода подынтегральной функции вводится следующий шаблон определенного интеграла ит.д.

Кратные интегралы являются сложной задачей как для символьного процессора, так и для численных расчетов. Стоит вначале попытаться вычислить интеграл в символьном виде, и если результат получен не будет, вычислить его численно, задав требуемое значение TOL.

Дополнительные возможности символьного процессора.

1. С помощью символьного процессора можно рассчитать численное значение выражения (действительное или комплексное). Иногда такой путь считается более удобным, чем применение численного процессора.

Вычисления по команде complex позволяют представить выражение в виде a+jb. Вышеприведенные действия можно осуществить и с помощью соответствующих команд из меню Symbolic.

2. Последовательности символьных команд.

Символьные вычисления допускается проводить с применением цепочек из ключевых слов. Для этого ключевые слова, соответствующие последовательным символьным операциям, должны быть введены по очереди с панели Symbolic. Последовательности символьных команд допускают введение дополнительных условий в расчеты, например, таких как ограничения на действительную или комплексную форму результата. Это делается с помощью ключевого слова assume.

3. Решение неравенств в символьной форме

4. Решение систем уравнений в символьной форме

Вопросы

1. Что такое символьные вычисления? Какие способы символьных вычислений имеются в системе MathCAD? В чем преимущество вычислений с помощью оператора символьного равенства перед вычислениями с помощью меню Symbolic?

2. Какой оператор осуществляет численные вычисления? И какой - символьные вычисления?

3. Какие алгебраические символьные вычисления может делать система MathCAD? Можно ли вычислить сумму или произведение ряда с помощью оператора численного вычисления, если верхний предел равен ?

4. Какие матричные операции можно осуществить символьно?

5. Какие операторы предусмотрены для вычисления пределов в MathCADе? Можно ли вычислить предел численно?

6. Как осуществляется вычисление предела последовательности? Функции в точке, когда функция непрерывна, и в точках разрыва? Как можно обойти на графике особые точки функции (типа 0/0)?

7. Назовите три способа символьного дифференцирования. Приведите пример. Как можно определить производную в точке? Влияют ли константы TOL и CTOL на точность численного дифференцирования? Как можно определить производную вблизи точки разрыва?

8. Как вычисляются в MathCADе производные высших порядков и частные производные? Производные только каких порядков можно вычислить численно и почему?

9. Что такое численное интегрирование в MathCADе и как оно осуществляется? С помощью какой встроенной переменной можно контролировать точность численного интегрирования? От чего еще зависит точность численного интегрирования?

10. Назовите три способа символьного вычисления неопределенного интеграла в системе MathCAD. Приведите пример. Как осуществляется вычисление определенного интеграла с помощью оператора символьного равенства?

11. Как вычисляются интегралы с параметром, расходящиеся интегралы, кратные интегралы?

12. Как можно с помощью символьного процессора рассчитать численное значение выражения (вещественное или комплексное)?

13. Как создаются последовательности символьных команд? Приведите примеры.

14. Как решаются в MathCADе уравнения, неравенства и системы уравнений в символьной форме?

Лекция № 15

Решение дифференциальных уравнений в MathCAD

Дифференциальные уравнения являются основой огромного количества расчетных задач из самых различных областей науки и техники.

В MathCAD нет средств символьного (точного) решения дифференциальных уравнений, но достаточно хорошо представлены численные методы их решения.

Дифференциальные уравнения - это уравнения, в которых неизвестные являются не переменные (т.е. числа), а функции одной или нескольких переменных. Эти уравнения (или системы) включают соотношения между искомыми функциями и их производными. Если в уравнения входят производные только по одной переменной, то они называются обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). В противном случае говорят об уравнениях в частных производных. Таким образом, решить (иногда говорят проинтегрировать) дифференциальное уравнение - значит, определить неизвестную функцию на определенном интервале изменения ее переменных.

Как известно, одно обыкновенное дифференциальное уравнение или система ОДУ имеет единственное решение, если помимо уравнения определенным образом заданы начальные или граничные условия. Имеется два типа задач, для которых возможно численное решение ОДУ с помощью MathCAD:

- задачи Коши, для которых определены начальные условия на искомые функции, т.е. заданы значения этих функций в начальной точке интервала интегрирования уравнения;

- краевые задачи, для которых заданы определенные соотношения сразу на обеих границах интервала.

Из дифференциальных уравнений в частных производных есть возможность решать только уравнения с двумя независимыми переменными: одномерные параболические и гиперболические уравнения, такие как уравнения теплопроводности, диффузии, волновые уравнения, а также двухмерные эллиптические уравнения (уравнения Пуассона и Лапласа).

В MathCAD нет универсальной функции для решения дифференциальных уравнений, а есть около двадцати функций для различных видов уравнений, дополнительных условий и методов решения. Эти функции можно найти в библиотеке Insert/Function, категория “Differential Equation Solving (решение дифференциальных уравнений).

Решение Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ)

ОДУ первого порядка.

ОДУ первого порядка называется уравнение

F(x,y,y')=0

F - известная функция трех переменных;

x - независимая переменная на интервале интегрирования[a,b];

y - неизвестная функция;

y' - ее производная.

Функция y(x) является решением дифференциального уравнения, если она при всех x[a,b] удовлетворяет уравнению

F(x,y(x),y'(x))=0

График решения y(x) называется интегральной кривой дифференциального уравнения. Если не заданы начальные условия, таких решений y(x) будет множество. При известных начальных условиях y(x0)= y0 решение y(x) будет единственным.

Вычислительный процессор MathCAD может работать только с нормальной формой ОДУ. Нормальная форма ОДУ - это ОДУ, разрешенное относительно производной

y'=f(x,y)

ОДУ высших порядков.

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида

F(x,y,y',y'', …,y(n))=0

F - известная функция n+2 переменных;

x - независимая переменная на интервале интегрирования[a,b];

y - неизвестная функция;

n - порядок уравнения.

Функция y(x) является решением дифференциального уравнения, если она при всех x[a,b] удовлетворяет уравнению

F(x, y(x), y'(x), y''(x),…, y(n)(x))=0

Нормальная форма ОДУ высшего порядка имеет вид

Y(n) =f(x, y, y', …, y(n-1))

Если не заданы начальные условия, то дифференциальное уравнение n - го порядка имеет бесконечное множество решений, при задании начальных условий y(x0)= y0, y'(x0)= y0,1, y''(x0)= y0,2, …, y(n-1)(x0)= y0,n-1 решение становится единственным (задача Коши).

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13