(1.16)

где u[n] - последовательность на выходе каузального фильтра, y[n] - входная возбуждающая последовательность, h[k] - передаточная функция фильтра.

В зависимости от условий, накладываемых на коэффициенты, входящие в модель цифрового ряда, получают различные параметрические модели. Модель (1.16) в предположении, что последовательность у[п] является белым шумом имеет название модель авторегрессии - скользящего среднего (АРСС), здесь коэффициенты a[k] характеризуют авторегрессионую часть этой модели, а параметры b[k] - ее часть, соответствующую скользящему среднему. Если все коэффициенты a[k], называемые авторегрессиоными параметрами (АР-параметрами), за исключением а[0] равного единице, положить равными нулю, то тогда модель временного ряда принимает вид:

(1.17)

модель становится строго процессом скользящего среднего порядка q (CC(q) -процессом).

Если все коэффициенты b[k], называемые параметрами скользящего среднего (СС - параметры), положить равными нулю, тогда модель временного ряда принимает вид:

(1.18)

модель становится чисто авторегрессионой моделью (АР-модель). Величины р и q - называются параметрами модели APCC(p,q) (р - параметр авторегрессионной модели, q - параметр скользящего среднего).

Из теории линейных систем [134] известна связь между линейной импульсной характеристикой h[k] и коэффициентами a[k], b[k], выражаемая через Z-преобразование. Последовательностям h[k], a[k], b[k] ставятся в соответствие функции H(z) (дискретная системная функция фильтра [32]), A(z), B(z) (Z- преобразование последовательностей a[k], b[k]), между которыми существует следующая связь

, (1.19)

где A(z), B(z), H(z) определяются как

(1.20)

(1.21)

(1.22)

здесь z - произвольное комплексное число.

Условием устойчивости данного каузального минимально-фазового фильтра является нахождение нулей полиномов A(z), B(z) внутри единичной окружности в Z-плоскости. Z-преобразование выходной автокорреляционной последовательности u[n] - Puu (z) и Z-преобразование входной автокорреляционной последовательности случайного процесса y[n] - Pyy (z) связаны следующим соотношением [5]

, (1.23)

где знак * означает комплексное сопряжение.

Предполагая, что входная последовательность является белым шумом с нулевым средним и дисперсией pw, так что pui^Pw, выражение (1.17) принимает вид:

й(1.24)

Спектральную плотность мощности для АРСС(р,о)-модели получают из (1.24) заменой z, которую масштабируют на длительность интервала Т

(1.25)

где полиномы A(f), B(f) определяются выражениями:

(1.26)

(1.27)

векторы комплексных синусоид е (f),e (f) и векторы параметров a, b имеют вид:

(1.28)

знак Н означает операцию эрмитова сопряжения.

Полагая в (1.28) р равным нулю, получаем выражение для спектральной плотности мощности CC(q) - npoцecca

(1.29)

Полагая в (1.25) q равным нулю, получаем выражение для спектральной плотности мощности АР(р)-процесса

(1.30)

Таким образом, как видно из (1.25), (1.29), (1.30) для оценки спектров необходимо вычисление параметров модели a[k], b[k] по известной автокорреляционной последовательности, что приводит к системе уравнений Юла-Уолкера для APCC(p,q), AP(p), СС(о)-процессов, для решения которой используют рекурсивные алгоритмы, связывающие АР-параметры более высокого порядка с параметрами более низкого порядка [31]. В связи с тем, что авторегрессионные спектры имеют более острые пики (это часто связано со спектральным разрешением) и уравнения Уюла-Уолкера для АР-процесса линейны, в отличие от APCC(p,q) и СС(о)-моделей, данное направление наиболее исследовано. Следует отметить, что свойства АР(р)-процесса и его спектра породили другие его названия - метод максимальной энтропии [25,26] и метод линейного предсказания [21,22]. Подход к трактовке коэффициентов a[k], b[k], как коэффициентов отражения при интерпретации измерений физических параметров акустической трубы [25,26] и сейсмических данных, получаемых при исследовании слоистой структуры Земли, привел к созданию популярного в настоящее время метода оценки АР-параметров по последовательности оценок коэффициентов отражения - алгоритм Берга [14,15]. Помимо алгоритма Берга в [13] рассмотрены другие алгоритмы оценки коэффициентов отражения - геометрический алгоритм, рекурсивное оценивание по методу максимального правдоподобия, предложенные в [14,15]. В основе их лежит предположение о том, что из всех коэффициентов отражения a[k] только коэффициент а[р], равный коэффициенту отражения, зависит от автокорреляционной функции.

Другой подход состоит в минимизации ошибки линейного предсказания методом наименьших квадратов по всем коэффициентам линейного предсказания. В зависимости от способа линейного предсказания различают алгоритмы с раздельным и комбинированным линейным предсказанием вперед и назад [13] - ковариационный и модифицированный ковариационный методы.

Основной трудностью реализации данных алгоритмов спектрального оценивания является неопределенность в выборе оптимального порядка фильтра. Поэтому решение о выборе того или иного порядка фильтра принимается заданием того или иного критерия ошибки, сравнением с которым определяется требуемый порядок модели. Малый порядок модели приводит к сильно сглаженным спектральным оценкам, излишне большой - к появлению ложных пиков. Следовательно, выбор порядка модели, определяющий разрешение спектра

и его дисперсию, эквивалентен выбору между разрешением и дисперсией для классических методов спектрального оценивания. Для выбора порядка модели предложено несколько критериев, подробно обсуждаемых в [14], поэтому ограничимся их кратким упоминанием:

1. Окончательная ошибка предсказания (ООП) (выбор порядка АР-процесса выбирается из требования минимизации средней дисперсии ошибки).

2. Информационный критерий Акаике (ИКА) (порядок модели определяется посредством минимизации некоторой теоретической информационной функции).

3. Авторегрессионный передаточной функции критерий (АПФК) (порядок модели выбирается равным порядку, при котором оценка разности среднего квадрата ошибки между истинным фильтром предсказания ошибки и оцениваемым фильтром минимальна).

Результаты оценивания спектра при использовании критериев ООП, ИКА, АПФК близки друг к другу в случае реальных данных. Однако в случае коротких записей данных ни один из критериев не обеспечивает удовлетворительных результатов [13]. Точного аналитического решения задачи о выборе порядка модели в настоящее время нет, поэтому необходимо проведение численных экспериментов с имитационным PC для выбора оптимального порядка модели.

Модель APCC(p,q) имеет больше степеней свободы, чем АР(р)-модель, что позволяет ожидать более адекватную передачу формы спектров. Однако основной сложностью данного метода является необходимость решения системы нелинейных уравнений, связывающих коэффициенты a[k], b[k] и автокорреляционную последовательность исходных данных. Методы решения нелинейных уравнений, основанные на интерационных алгоритмах, требуют большого количества вычислений, но самое главное, они зачастую могут не обеспечить сходимость к верному решению, поэтому были разработаны методы, основанные на методе наименьших квадратов, позволяющие провести линеаризацию системы уравнений и раздельно оценить АР-параметры, а затем СС-параметры.

Для оценки АР-параметров используется один из вариантов модифицированного уравнения Юла-Уолкера [16]. Так же неопределенным остается вопрос о выборе параметра модели, так как модификация ИКА, проведенная для АР-модели, проверена только для самых простых случаев.

Известен также метод моделирования выборочной последовательности данных в виде линейной комбинации экспоненциальных функций - метод Про-ни. то есть используется аппроксимация последовательных данных детерминированной экспоненциальной моделью [14]. Математически данный метод формулируется следующим образом. Пусть имеется N точечная последовательность данных и[1], u[N]. В методе Прони эта последовательность оценивается р-членной моделью комплексных экспонент:

(1.31)

где , - время регистрации, k,-- амплитуда и коэффициент затухания k-ой комплексной экспоненты,-- частота и начальная фаза k-ой экспоненты. Функцию удобно представить в виде

(1.32)

где

(1.33)

Здесь hк - комплексная амплитуда, независящая от времени, Zк - комплексная экспонента, зависящая от времени.

Найдем квадрат ошибки интерполяции

(1.34)

Ошибку [n] минимизируют по параметрам hк,zк и числу компонент р. Если значение р неизвестно, то задача становится нелинейной. Решение нелинейной задачи требует применение метода Ньютона или метода градиентного спуска, которые наряду с большим объемом вычислений могут не обеспечивать сходимость к истинному решению. Эти трудности привели к разработке субоп-тимальных процедур минимизации, которые получили название - метод наименьших квадратов Прони [15]. Обычный метод наименьших квадратов Прони может быть модифицирован при использовании незатухающих комплексных синусоид (=0) [25]. Процедура Прони завершается вычислением оценок параметров, которые определяют амплитуду, коэффициент затухания, частоту и фазу. В [13] предложено определять спектр Прони в терминах экспоненциальной аппроксимации, а не в терминах временной последовательности u[n]. Спектральная плотность энергии Прони определяется как

(1.35)

где (1.36)

для односторонней функции [n] (то есть, [n]=0 при n<0),

(1.37)

для двусторонней функции [n]. Известны приложения метода Прони к анализу динамики солнечных пятен и определения резонансных пиков в диаграммах эффективной площади рассеяния радиолокационных целей [12]. Исследования вопроса применимости данного метода к анализу ЧМ сигналов нам неизвестны.

К другому классу методов спектрального оценивания одномерных временных рядов относятся непараметрические методы - метод минимальной дисперсии (МД), и методы, основанные на гармоническом разложении Писаренко, - метод классификации множественных сигналов MUSIC (multipay signal classification) и метод оценки собственных векторов автокорреляционной матрицы или матрицы данных EV (eigenvector) [26].

Спектральная оценка, полученная методом МД, определяется выражением

(1.38)

где - матрица, обратная известной или оцененной автокорреляционной матрице размером (р+1)х(р+1),

(1.39)

(1.40)

Алгоритм метода МД и его программная реализация приведены в [14]. Следует отметить, что оценка спектральной мощности, получаемая согласно (1.30), не характеризует полную мощность измеряемого процесса, так как обратное преобразование Фурье спектральной оценки метода МД не соответствует истинной автокорреляционной функции. То есть спектральную оценку по методу МД можно считать спектральной в том смысле, что она описывает относительные интенсивности компонент частотного спектра, высота которых прямо пропорциональна мощности синусоид, присутствующих в исходном сигнале.

Этот класс методов спектрального оценивания основан на разделении информации, содержащейся в автокорреляционной матрице или матрице данных, на два векторных подпространства - подпространство сигнала и подпространство шума. Анализ собственных векторов матриц, относящихся к указанным

подпространствам, дает возможность определять различные функции от данных векторов, имеющие острые пики на частотах синусоид, присутствующих в исходном сигнале. Считается, что данные методы обеспечивают лучшее спектральное разрешение, чем АР-методы и метод Прони, особенно при низком отношении сигнал/шум [13].

Спектральная оценка при использовании собственных векторов подпространства сигнала получается из решения матричного уравнения

(1.41)

относительно вектора неизвестных мощностей [14], любым известным методом решения линейных уравнений с комплексными коэффициентами.

Спектральная оценка методом MUSIC, основанным на использовании собственных векторов подпространства шума с равномерной весовой обработкой, определяется как

(1.42)

где (1.43)

- собственный вектор подпространства шума.

Используя весовые множители (где - собственное значение, соответствующее собственному вектору ), получаем алгоритм EV спектрального оценивания

(1.44)

Основным способом для принятия решения о значении числа М, соответствующего количеству собственных векторов подпространства сигнала, является анализ относительных величин собственных значений (сингулярных чисел) разложения автокорреляционной матрицы или матрицы данных по сингулярным значениям или использование модифицированного ИКА [14]. Следует отметить, что получаемая оценка, как и в методе МД, не является истиной спектральной плотностью мощности, так как обратное преобразование Фурье от (1.35), (1.36) не равно автокорреляционной последовательности. Исследования возможности применения непараметрических методов к анализу ЧМ сигналов, а также применимости данных методов и модифицированного ИКА при наличии небелого шума нам неизвестны.

В заключении обзора современных методов спектрального оценивания следует отметить, что проверка их частотного разрешения и статистической устойчивости выполнена либо на тестовых сигналах с известным составом (как правило, синусоиды плюс белый шум), либо для сигналов с медленно меняющимися параметрами (гидролокация, сейсмические сигналы, задачи пеленгации). Применительно к анализу сигналов с частотно-временными параметрами, аналогичными параметрам PC в задачах определения параметров поступательного движения снаряда в стволе, исследования ранее не проводились.

В фиксированном ПБ между указанными ПП существуют известные однозначные взаимосвязи :

(1.46)

где - полная амплитуда ЭМВ.

Нормированный вектор поляризации ЭМВ и антенных систем

(1.47)

определяет комплексную амплитуду принятого сигнала ,
где т-операция транспонирования; - ВП приемной антенны и ЭМВ.

Поляризационное состояние ЭМВ можно также описать вектором Стокса [12]

= = , (1.48)

где - - полная мощность ЭМВ.

Рассмотренные понятия являются математической основой для построения поляризационных моделей МНЦ.

Поляризационные характеристики (ПХ) МНЦ для заданного ПБ полностью описываются поляризационной матрицей рассеяния (ПМР)

, i,j=1,2, (1.49)

причем для случая однопозиционной радиолокации . ПМР однозначно определяет вектор поляризации .

Так как абсолютная фаза ПМР не влияет на поляризацию рассеянной ЭМВ и на мощность принимаемого сигнала, то без потери информации можно перейти к ПМР с относительной фазой или нормированной (по любому элементу) ПМР. В любом случае при заданной частоте зондирования и постоянном ракурсе наблюдения ПМР характеризуется пятью параметрами, четыре из которых носят сугубо поляризационный характер. В собственном ПБ объекта ПМР представляется через собственные числа

(1.50)

К ,ПМР заданная в произвольном ПБ, может быть приведена при помощи унитарного преобразования

,

где

. (1.51)

Хьюненом предложена форма представления собственных чисел :

. (1.52)

В этом случае опять же МНО характеризуется пятью вещественными характеристиками, которым Хьюненом дана следующая физическая трактовка [12]:

m - «заметность или величина объекта», служит общей мерой размера МНЦ;

- «угол ориентации объекта», служит мерой ориентации объекта относительно линии визирования;

- «угол эллиптичности объекта», служит мерой симметрии объекта относительно правой и левой круговых поляризаций (=450 - для симметричных объектов и ±450 для полностью асимметричных);

- «угол скольжения объекта», характеризует множественность переотражений сигнала от объекта (для однократного переотражения для двукратного -±450);

- «угол поляризации объекта», характеризующий способность объекта поляризовывать падающее на него неполяризованное излучение (-для полностью поляризованного и -для неполяризованного отраженных сигналов).

Необходимо отметить, что в литературе [8] известны и другие формы представления матрицы Q:

(1.53)

где и

Инвариантами ПМР относительно ПБ являются:

след ПМР (полная ЭПР МНЦ) А= =

детерминат ПМР В=

степень поляризационной анизотропии

Таким образом, рассмотрены основные свойства ПМР и выявлены ее характеристики, которые могут использовать для описания ПХ МНЦ.

При наблюдении флуктуирующих МНЦ определенные выше параметры являются случайными, поэтому объект может быть охарактеризован многомерным законом распределения этих ПП. Применительно к задаче поляризационной селекции более конструктивные результаты получаются при рассмотрении введенной ранее матрицы М или ковариационной матрицы рассеяния R определяемой как

,

где

« + »- знак транспортирования и комплексного сопряжения. Матрица- столбец , ковариационная матрица R при переходе из линейного в новый ПБ подвергаются линейным преобразованиям где L-унитарная матрица перехода. Матрица R имеет шесть независимых элементов: вещественные R11, R22, R33 и комплексные . Следовательно, матрица R имеет 9 независимых параметров.

Для описания ПХ МНЦ используются также матрицы когерентности отраженного сигнала, в заданном ПБ определяемая через усреднение по времени как

, (1.54)

где -поляризационный вектор зондирующей ЭМВ. Матрица позволяет определить степень поляризации отраженного сигнала:

m.

Поток мощности отраженного сигнала определяется энергетической характеристикой рассеяния цели - матрицей Грейвса [4]:

(1.55)

Данная модель характеризуется 8 параметрами: пять описывают матрицу S0 и три дисперсии Вместо этих трех дисперсий можно использовать следующие параметры:

- степень поляризации;

- величина флуктуации;

- величина флуктуации поляризации;

Для описания ПХ некоторых типов мешающих отражений при численных оценках можно пользоваться упрощенной моделью «эффективной» матрицы S0:

, (1.60)

где - отношение между минимальными и максимальными коэффициентами.

По принципу действия радиотехнические системы с поляризационной селекцией объектов можно разделить на следующие группы [21,22]:

по количеству каналов приема: одноканальные и двухканальные (с приемом отраженных сигналов на двух ортогональных поляризациях);

основанные на оптимизации ПП антенн: при излучении и приеме, только при излучении, только при приеме, при совпадении поляризациях излучения и приема;

основанные на выборе постоянных ПП антенн и с управляемой поляризацией (адаптивные);

когерентные и некогерентные;

по типам зондирующих сигналов:

монополяризованные при постоянных ПП антенн

с использованием поляризационно - модулированных сигналов, для РЛС с непрерывным и импульсным излучением;

по количеству антенн: с общей антенной на излучение и прием, и с различными передающей и приемной антеннами;

ориентированные на типы помех: от подстилающей поверхности, гидрометров, дипольных отражателей, внутренних неполяризованных шумов, активных помех;

с совмещением ПС с другими видами селекции;

по критериям оптимизации: максимизация отношения сигнал / помеха, минимизация мощности помехи, оптимизация критерии теории статистических решений.

Страницы: 1, 2, 3