зависящих от параметров движения основания и платформы входящих в

динамические уравнения Эйлера. Основные математические преобразования

выполнялись с помощью программы “DERIVE”.

Системы координат и обозначения используемые далее.

[pic]

Рис.1.

X0,Y0,Z0 - система координат связанная с основанием.

X1,Y1,Z1 - система координат связанная с наружной

рамой.

X2,Y2,Z2 - система координат связанная с платформой.

Qij - момент количества движения j-го тела по i-й

оси.

(ij - угловая скорость j-го тела по i-й оси.

(ij' - угловое ускорение j-го тела по i-й оси.

Ji - осевые моменты инерции тела относительно i-й

оси.

Jij - центробежные моменты инерции.

Mij - внешние возмущающие моменты действующие

на j-е тело по i-й оси.

( - угол поворота наружной рамы по оси Y1.

(' - угловая скорость вращения наружной рамы по

оси Y1.

('' - угловое ускорение наружной рамы по оси Y1.

( - угол поворота платформы по оси Z2.

(' - угловая скорость вращ. платформы по оси Z2.

('' - угловое ускорение платформы по оси Z2.

Динамические уравнения Эйлера для i-го тела имеют вид:

dQxi/dt - Qyi((zi + Qzi((yi = Mxi

dQyi/dt - Qzi((xi + Qxi((zi = Myi

dQyi/dt - Qzi((xi + Qxi((zi = Myi

В случае двухосного гиростабилизатора эти уравнения преобразуются в

следующую форму:

а) для наружной рамы:

dQy1/dt - Qz1((x1 + Qx1((z1 = My1

б) для платформы:

dQx2/dt - Qy2((z2 + Qz2((y2 = Mx2

dQy2/dt - Qz2((x2 + Qx2((z2 = My2 (1)

dQz2/dt - Qx2((y2 + Qy2((x2 = Mz2

Полный момент количества движения наружной рамы в проекциях на оси X1,

Y1, Z1 определяется следующими выражениями:

Qx1 = Jx1((x1 - Jxy1((y1 - Jxz1((z1

Qy1 = Jy1((y1 - Jyx1((x1 - Jyz1((z1 (2)

Qz1 = Jz1((z1 - Jzx1((x1 - Jzy1((y1

Полный момент количества движения платформы в проекциях на оси X2,

Y2, Z2 определяется следующими выражениями:

Qx2 = Jx2((x2 - Jxy2((y2 - Jxz2((z2

Qy2 = Jy2((y2 - Jyx2((x2 - Jyz2((z2 (3)

Qz2 = Jz2((z2 - Jzx2((x2 - Jzy2((y2

Кинематические уравнения двухосного гиростаби-лизатора, для

расположения координатных осей приве-денного на рис.1, имеют вид:

а) для наружной рамы:

(x1 = (x0(cos(() - (z0(sin(()

(y1 = (y0 + (' (4*)

(z1 = (x0(sin(() + (z0(cos(()

(x1' = (x0'(cos(() - (z0'(sin(()

(y1' = (y0' + ('' (4*')

(z1' = (x0'(sin(() + (z0'(cos(()

б) для платформы:

(x2 = (x1(cos(() + (y1(sin(()

(y2 = (y1(cos(() - (x1(sin(() (5*)

(z2 = (z1 + ('

(x2' = (x1'(cos(() + (y1'(sin(()

(y2' = (y1'(cos(() - (x1'(sin(() (5*')

(z2' = (z1' + (''

Из 2-го уравнения в (5*) следует, что:

(y1=(x1(tg(()+(y2/cos(()

Из 2-го уравнения в (5*') следует, что:

(y1'=(x1'(tg(()+(y2'/cos(()

Тогда, учитывая, что (y2, (z2, (y2', (z2' являются параметрами

движения стабилизированного объекта, т.е. заданы, кинематические уравнения

можно переписать в следующем виде:

(x1 = (x0(cos(() - (z0(sin(()

(y1 = (x1(tg(()+(y2/cos(() (4)

(z1 = (x0(sin(() + (z0(cos(()

(x1' = (x0'(cos(() - (z0'(sin(()

(y1' = (x1'(tg(()+(y2'/cos(() (4')

(z1' = (x0'(sin(() + (z0'(cos(()

(x2 = (x1(cos(() + (y1(sin(() (5)

(x2' = (x1'(cos(() + (y1'(sin(() (5')

Подставляя выражения для полных моментов количества движения (2),

(3) в динамические уравнения Эйлера (1), получаем следующий вид

уравнений движения наружной рамы и платформы:

Jy1((y1' + (Jx1-Jz1)((x1((z1 + Jzx1((x12 - Jxz1((z12 +

+ Jzy1((x1((y1 - Jxy1((y1((z1 - Jyx1((x1' - Jyz1((z1' = My1 (6.1)

Jx2((x2' + (Jz2-Jy2)((y2((z2 - 2(Jzy((y22 + Jyz2((z22 +

+ Jyx2((x2((z2 - Jzx2((x2((y2 - Jxz2((z2' - Jxy2((y2' = Mx2 (6.2)

Jy2((y2' + (Jx2-Jz2)((x2((z2 + Jzx2((x22 - Jxz2((z22 +

+ Jzy2((x2((y2 - Jxy2((y2((z2 - Jyx2((x2' - Jyz2((z2' = My2 (6.3)

Jz2((z2' + (Jy2-Jx2)((x2((y2 + Jxy2((y22 - Jyx2((x22 +

+ Jxz2((y2((z2 - Jyz2((x2((z2 - Jzx2((x2' - Jzy2((y2' = Mz2 (6.4)

При отсутствии моментов внешних сил правые части уравнений (6.2),

(6.3), (6.4) обращаются в нуль, а правая часть (6.1) представляет собой

момент реакции со стороны платформы на внешнюю раму вокруг оси Y1.

Обозначив левые части уравнений (6.1), (6.2), (6.3) буквами A, B и C,

соответственно, получаем выражение для полного инерционного момента

относительно оси внешней рамы:

My1ин = A + B ( sin(() + C ( cos(() (7)

Раскрыв в (7) сокращения A, B и C и преобразовав получаем выражение

для полного инерционного момента Мy1ин.

Мy1ин=Jxz1({(x12-(z12}+

+Jxz2(cos(()((x22-Jyz2(sin(()((y22+

+{Jyz2(sin(()-Jxz2(cos(()}((z22+

+{Jyz2(cos(()-Jxz2(sin(()}((x2((y2+

+{Jxy2(sin(()+(Jx2-Jz2)(cos(()}((x2((z2+

+{(Jz2-Jy2)(sin(()-Jxy2(cos(()}((z2((y2+ (8)

+{Jx2(sin(()-Jxy2(cos(()}((x2( +

+{Jy2(cos(()-Jxy2(sin(()}((y2(-

-{Jxz2(sin(()+Jyz2(cos(()}((z2(+

+Jyz1((x1((y1-

-Jxy1((z1((y1+

+(Jx1-Jz1)((x1((z1 -

-Jxy1((x1(-

-Jyz1((z1(+

+Jy1((y1(

После подстановки в полученные выражения для инерционных моментов

Мy1ин, Mz2ин кинематических уравнений (4), (4(), (5), (5() и

преобразования, получим следующий вид выражений для Мy1ин, Mz2ин:

MZ2ИН={cos(2(()-2}(cos(()2(tg(()2(Jxy2(((x02+(z02)+

+{2(tg(()2(sin(()2-2(cos(()2+4}(sin(()(cos(()(Jxy2((x0((z0+

+{(Jy2-Jx2)/cos(()-2(Jxy2(sin(()(1+tg(()2)}(cos(()((x0((y2+

+Jyz2((z0((z2((sin(()-cos(())/cos(()-

-Jxz2((x0'(cos(()/cos(()+

+{2(Jxy2((sin(()(tg(()2+sin(())(sin(()+(Jx2-

Jy2)(sin(()/cos(()}((y2((z0+

+Jxz2((z0'(sin(()/cos(()+

+{Jxz2-Jyz2}((y2((z2(tg(()+

+{(Jy2-Jx2)(tg(()+Jxy2((1-tg(()2)}((y22-

-{Jxz2(tg(()+Jyz2}((y2'+

+Jz2((z2'

(9)

My1ин={[Jxz2((tg(()4+2/cos(()2-1)(cos(()3+Jyz1(tg(()+Jxz1](cos(()2+

+[[(Jx1-Jz1)-Jxy1(tg(()](cos(()-Jxz1(sin(()](sin(()}((x02+

+{[[Jxy1(tg(()+(Jz1-Jx1)](sin(()-Jxz1(cos(()](cos(()+

+[Jxz2(cos(()3([2/cos(()2+tg(()4-1]+Jyz1(tg(()+Jxz1](sin(()2}((z02+

+{(Jx1-Jz1)(cos(2(()+[1-tg(()4-2/cos(()2](Jxz2(cos(()3(sin(2(()-

-[Jyz1(tg(()+2(Jxz1](2(sin(()(cos(()-

-Jxy1(tg(()(cos(2(()}((x0((z0+

+{[Jxy2(sin(()(cos(()(tg(()2+1)+(Jx2-Jz2)](cos(()}((x0((z2+

+{[Jxz2(sin(()(cos(()+Jxz2(sin(()3/cos(()+Jyz2](cos(()+

+[Jyz1(cos(()-Jxy1(sin(()]/cos(()}((x0((y2-

-{[Jxz2(sin(()(cos(()((1+tg(()2)+Jyz2](sin(()+

+[Jyz1(sin(()+Jxy1(cos(()]/cos(()}((z0((y2+

+{-[tg(()2+1](sin(()(cos(()(Jxy2+(Jz2-Jx2)](sin(()}((z0((z2+

+{[Jx2(sin(()(cos(()((1+tg(()2)+Jy1(tg(()-(Jxy1+

+Jxy2)](cos(()-Jyz1(sin(()}((x0'+

+{[-Jx2(sin(()(cos(()((1+tg(()2)+(Jxy1+Jxy2)-

-Jy1(tg(()](sin(()-Jyz1(cos(()}((z0'+

+{Jyz2(sin(()-Jxz2(cos(()]((z22-

-{Jxz2(sin(()+Jyz2(cos(()}((z2'+

+{(Jx2-Jy2)(sin(()+Jxy2(cos(()((tg(()2-1)}((z2((y2+

+{Jx2(sin(()2/cos(()-2(Jxy2(sin(()+Jy2(cos(()+Jy1/cos(()}((y2'

Анализ инерционных возмущающих моментов для различных режимов работы

гиростабилизатора.

Численный анализ инерционных возмущающих моментов (9) провожу

для различных режимов работы ГС, типовая конструкция которого

приведена на рис 2.

[pic]

Рис.2.

Пусть ГС имеет следующие инерционные параметры наружной рамы и

платформы:

Jx1 = -------//------ Jx2= 2000 гсмс2 = 0.2 кгм2

Jy1 = 1500 гсмс2 = 0.15 кгм2 Jy2= 9500 гсмс2 = 0.95 кгм2

Jz1 = -------//------ Jz2 = 10000 гсмс2 = 1 кгм2

Jxy1 = Jyx1 = 0 Jxy2 = Jyx2 = 0.0085 кгм2

Jxz1 = Jzx1 = 0 Jxz2 = Jzx2 = 0.023 кгм2

Jzy1 = Jyz1 =1500 гсмс2 = 0.15 кгм2 Jzy2 = Jyz2 = 0.04 кгм2

Угловые скорости и ускорения основания и управления платформой

принимаю равными их типовым значениям при работе гиростабилизатора на

кране.

(x0 = (1 рад/с (y2 = (2 рад/с

(y0 = (1 рад/с (z2 = (2 рад/с

(z0 = (1 рад/с (y2' = (3 рад/с2 (10)

(x0'= (0,2 рад/с2 (z2' = (3 рад/с2

(y0'= (0,2 рад/с2

(z0'= (0,2 рад/с2

Углы прокачки рам изменяются в диапазоне:

( = ( 2 рад. ( ( 120 град. (10)

( = (1 рад. ( ( 60 град.

Исследование величины численных значений инерционных возмущающих

моментов провожу с помощью программы “MOMIN” листинг которой приведен

в “Приложении 1”.

Анализ инерционных возмущающих моментов провожу для следующих

случаев работы гиро-стабилизатора:

1) Работа на неподвижном основании при наличии скоростей управления

платформой;

2) Работа на подвижном основании при неподвижной платформе;

3) Работа на подвижном основании при управляемой платформе;

1) Работа ГС на неподвижном основании при управляемой платформе,

т.е. при условии:

(x0 = (y0 = (z0 = (x0' = (y0' = (z0' = 0 (11)

( ( 0; ( ( 0; (y2( 0; (z2 ( 0; (y2' ( 0; (z2' ( 0

Тогда подставляя (11) в выражения для инерционных моментов

(9), получаем следующий их вид:

MZ2ИН=+{Jxz2-Jyz2}((y2((z2(tg(()+

+{(Jy2-Jx2)(tg(()+Jxy2((1-tg(()2)}((y22-

-{Jxz2(tg(()+Jyz2}((y2'+

+Jz2((z2'

MY1ИН=+{Jyz2(sin(()-Jxz2(cos(()}((z22-

-{Jxz2(sin(()+Jyz2(cos(()}((z2'+

+{(Jx2-Jy2)(sin(()+Jxy2(cos(()((tg(()2-1)}((z2((y2+

+{Jx2(sin(()2/cos(()-

-2(Jxy2(sin(()+Jy2(cos(()+Jy1/cos(()}((y2'

Максимальные значения инерционных моментов, полученные при

выполнении условий (10), следующие:

а) ось Y1: Мy1ин = Мин + Мцб = 5.68 + 0.14 = 5.82 Н(м.

при ( = 0.067 рад.

( = 1 рад.

(y2 = -2.0 рад/с.

(y2' = 3.0 рад/с2.

(z2 = 2 рад/с.

(z2' = -3.0 рад/с2.

где Мин - вклад в Мy1ин возмущающих моментов, связаных с

осевыми моментами инерции наружной рамы и платформы;

Мцб - вклад в Мy1ин возмущающих моментов, связаных с

центробежными моментами инерции наружной рамы и платформы;

Вклад Мцб в суммарный возмущающий момент составил:

Мцб

К = ( 100% = 2.38 %

Мин + Мцб

б) ось Z2: Мz2ин = Мин + Мцб = 7.67 + 0.33 = 8.0 Н(м.

при ( = 0.067 рад.

( = 1 рад.

(y2 = 2.0 рад/с.

(y2' = -3.0 рад/с2.

(z2 = -2 рад/с.

(z2' = 3.0 рад/с2.

Вклад Мцб в суммарный возмущающий момент составил:

Мцб

К = ( 100% = 4.2 %

Мин + Мцб

2) Работа ГС на подвижном основании при неподвижной платформе,

т.е. при:

(y2= (y2'= (z2 = (z2' = 0; ( ( 0; ( ( 0; (12)

(x0 ( 0; (y0 ( 0; (z0 ( 0; (x0' ( 0; (y0' ( 0; (z0' ( 0

Тогда подставляя (12) в выражения для инерционных моментов (9)

получаем следующий их вид:

MZ2ИН={cos(2(()-2}(cos(()2(tg(()2(Jxy2(((x02+(z02)+

+{2(tg(()2(sin(()2-2(cos(()2+4}(sin(()(cos(()(Jxy2((x0((z0+

-Jxz2((x0'(cos(()/cos(()+

+Jxz2((z0'(sin(()/cos(()+

MY1ИН={[Jxz2((tg(()4+2/cos(()2-1)(cos(()3+Jyz1(tg(()+

+Jxz1](cos(()2+

+[[(Jx1-Jz1)-Jxy1(tg(()](cos(()-Jxz1(sin(()](sin(()}((x02+

+{[[Jxy1(tg(()+(Jz1-Jx1)](sin(()-Jxz1(cos(()](cos(()+

+[Jxz2(cos(()3([2/cos(()2+tg(()4-1]+Jyz1(tg(()+

+Jxz1](sin(()2}((z02+

+{(Jx1-Jz1)(cos(2(()+[1-tg(()4-2/cos(()2](Jxz2(cos(()3(

(sin(2(()-[Jyz1(tg(()+2(Jxz1](2(sin(()(cos(()-

-Jxy1(tg(()(cos(2(()}((x0((z0+

+{[Jx2(sin(()(cos(()((1+tg(()2)+Jy1(tg(()-(Jxy1+Jxy2)](cos(()-

-Jyz1(sin(()}((x0'+

+{[-Jx2(sin(()(cos(()((1+tg(()2)+(Jxy1+Jxy2)-Jy1(tg(()](sin(()-

-Jyz1(cos(()}((z0'+

При этом получены следующие максимальные значения инерционных

возмущающих моментов:

а) ось Y1:

Мy1ин = Мин + Мцб = 0.154 + 0.551= 0.705 Н(м.

при ( = - 0.82 рад.

( = 1 рад.

(x0 = (z0 = 1 рад/с.

(x0' = (z0' = 0.2 рад/с2.

(y0 = 0.167 рад/c.

(y0' = 0.167 рад/с2.

Вклад Мцб в суммарный возмущающий момент составил:

Мцб

К = ( 100 % = 78.14 %

Мин + Мцб

б) ось Z2:

Мz2ин = Мин + Мцб = 0 + 0.07= 0.07 Н(м.

при ( = - 0.785 рад.

( = 1 рад.

(x0 = (z0 = 1 рад/с.

(x0' = (z0' = 0.2 рад/с2.

(y0 = 0.167 рад/с.

(y0' = 0.167 рад/c2

Вклад Мцб в суммарный возмущающий момент составил:

Мцб

К = ( 100 % = 100 %

Мин + Мцб

3) Работа ГС на подвижном основании при управляемой платформе.

При подвижном основании и управляемой платформе инерционные

возмущающие моменты определяются выражениями (9).

MZ2ИН={cos(2(()-2}(cos(()2(tg(()2(Jxy2(((x02+(z02)+

+{2(tg(()2(sin(()2-2(cos(()2+4}(sin(()(cos(()(Jxy2((x0((z0+

+{(Jy2-Jx2)/cos(()-2(Jxy2(sin(()(1+tg(()2)}(cos(()((x0((y2+

+Jyz2((z0((z2((sin(()-cos(())/cos(()-

-Jxz2((x0'(cos(()/cos(()+

+{2(Jxy2((sin(()(tg(()2+sin(())(sin(()+(Jx2-

-Jy2)(sin(()/cos(()}((y2((z0+

+Jxz2((z0'(sin(()/cos(()+

+{Jxz2-Jyz2}((y2((z2(tg(()+

+{(Jy2-Jx2)(tg(()+Jxy2((1-tg(()2)}((y22-

-{Jxz2(tg(()+Jyz2}((y2'+

+Jz2((z2'

MY1ИН={[Jxz2((tg(()4+2/cos(()2-1)(cos(()3+Jyz1(tg(()+

+Jxz1](cos(()2+

+[[(Jx1-Jz1)-Jxy1(tg(()](cos(()-Jxz1(sin(()](sin(()}((x02+

+{[[Jxy1(tg(()+(Jz1-Jx1)](sin(()-Jxz1(cos(()](cos(()+

+[Jxz2(cos(()3([2/cos(()2+tg(()4-1]+

+Jyz1(tg(()+Jxz1](sin(()2}((z02+

+{(Jx1-Jz1)(cos(2(()+[1-tg(()4-2/cos(()2](Jxz2(cos(()3(

(sin(2(()-[Jyz1(tg(()+2(Jxz1](2(sin(()(cos(()-

-Jxy1(tg(()(cos(2(()}((x0((z0+

+{[Jxy2(sin(()(cos(()(tg(()2+1)+(Jx2-Jz2)](cos(()}((x0((z2+

+{[Jxz2(sin(()(cos(()+Jxz2(sin(()3/cos(()+Jyz2](cos(()+

+[Jyz1(cos(()-Jxy1(sin(()]/cos(()}((x0((y2-

-{[Jxz2(sin(()(cos(()((1+tg(()2)+Jyz2](sin(()+

+[Jyz1(sin(()+Jxy1(cos(()]/cos(()}((z0((y2+

+{-[tg(()2+1](sin(()(cos(()(Jxy2+(Jz2-Jx2)](sin(()}((z0((z2+

+{[Jx2(sin(()(cos(()((1+tg(()2)+Jy1(tg(()-(Jxy1+Jxy2)] (

(cos(()-Jyz1(sin(()}((x0'+

+{[-Jx2(sin(()(cos(()((1+tg(()2)+(Jxy1+Jxy2)-Jy1(tg(()](

(sin(()-Jyz1(cos(()}((z0'+

+{Jyz2(sin(()-Jxz2(cos(()}((z22-

-{Jxz2(sin(()+Jyz2(cos(()}((z2'+

+{(Jx2-Jy2)(sin(()+Jxy2(cos(()((tg(()2-1)}((z2((y2+

+{Jx2(sin(()2/cos(()-2(Jxy2(sin(()+Jy2(cos(()+

+Jy1/cos(()}((y2'

При этом получены следующие максимальные значения инерционных

моментов.

а) ось Y1:

Мy1ин = Мин + Мцб = 8.1 + 1.65 = 9.75 Н(м

при ( = 0.776 рад.

( = 1.0 рад.

(y2 = -2 рад/с.

(y2' = 3 рад/с2.

(z2 = 2 рад/с.

(z2' = -3 рад/с2.

(x0 = (z0 = 1 рад/c.

(x0' = 0.2 рад/c2.

(z0' = - 0.2 рад/c2.

(y0 = 0.167 рад/c.

(y0' = 0.167 рад/c2.

Вклад Мцб в суммарный возмущающий момент составил:

Мцб

К = ( 100 % = 16.9 %

Мy1ин+Мцб

б) ось Z2:

Мz2ин = Мин + Мцб = 11.6 + 0.361 = 11.96 Н(м

при ( = -0.785 рад.

( = 1.0 рад.

(y2 = 2 рад/с.

(y2' = -3 рад/с2.

(z2 = -2 рад/с.

(z2' = 3 рад/с2.

(x0 = (z0 = 1 рад/c.

(x0' = (z0' = - 0.2 рад/c2.

(y0 = 0.167 рад/c.

(y0' = 0.167 рад/c2.

Вклад Мцб в суммарный возмущающий момент составил:

Мцб

К = ( 100 % = 3.02 %

Мy1ин + Мцб

Страницы: 1, 2