дроби. Наряду с этим программа предполагает изучение метрических мер и мер

времени, овладение умением пользоваться ими для измерения, знание некоторых

элементов наглядной геометрии - вычерчивание прямоугольника и квадрата,

измерение отрезков, площадей прямоугольника и квадрата, вычисление объемов.

Полученные знания и навыки ученики должны применять к решению задач и

к выполнению простейших расчетов. На протяжении всего курса решение задач

проводится параллельно изучению чисел и действий - для этого отводится

половина соответствующего времени. Решение задач помогает учащимся понять

конкретный смысл действий, уяснить различные случаи их применения,

установить зависимость между величинами, получить элементарные навыки

анализа и синтеза. С I по IV класс дети решают следующие основные типы

задач (простых и составных): на нахождение суммы и остатка, произведения и

частного, на увеличение и уменьшение данных чисел, на разностное и кратное

сравнение, на простое тройное правило, на пропорциональное деление, на

нахождение неизвестного по двум разностям, на вычисление среднего

арифметического и некоторые другие виды задач.

С разными типами зависимостей величин дети сталкиваются при решении

задач. Но весьма характерно - учащиеся приступают к задачам после и по мере

изучения чисел; главное, что требуется при решении - это найти числовой

ответ. Дети с большим трудом выявляют свойства количественных отношений в

конкретных, частных ситуациях, которые принято считать арифметическими

задачами. Практика показывает, что манипулирование числами часто заменяет

действительный анализ условий задачи с точки зрения зависимостей реальных

величин. Задачи, вводимые в учебники, не представляют к тому же системы, в

которой более "сложные" ситуации были бы связаны и с более "глубокими"

пластами количественных отношений. Задачи одной и той же трудности можно

встретить и в начале, и в конце учебника. Они меняются от раздела к разделу

и от класса к классу по запутанности сюжета (возрастает число действий), по

рангу чисел (от десяти до миллиарда), по сложности физических зависимостей

(от задач на распределение до задач на движение) и по другим параметрам.

Только один параметр - углубление в систему собственно математических

закономерностей - в них проявляется слабо, неотчетливо. Поэтому очень

сложно установить критерий математической трудности той или иной задачи.

Почему задачи на нахождение неизвестного по двум разностям и на выяснение

среднего арифметического (III класс) труднее задач на разностное и кратное

сравнение (II класс)? Методика не дает на этот вопрос убедительного и

логичного ответа.

Таким образом, учащиеся начальных классов не получают адекватных,

полноценных знаний о зависимостях величин и общих свойствах количества ни

при изучении элементов теории чисел, ибо они в школьном курсе связаны по

преимуществу с техникой вычислений, ни при решении задач, ибо последние не

обладают соответствующей формой и не имеют требуемой системы. Попытки

методистов усовершенствовать приемы преподавания хотя и приводят к частным

успехам, однако не меняют общего положения дела, так как они заранее

ограничены рамками принятого содержания.

Представляется, что в основе критического анализа принятой программы

по арифметике должны лежать следующие положения:

. понятие числа не тождественно понятию о количественной характеристике

объектов;

. число не является исходной формой выражения количественных отношений.

Приведем обоснование этих положений.

Общеизвестно, что современная математика (в частности, алгебра)

изучает такие моменты количественных отношений, которые не имеют числовой

оболочки. Также хорошо известно, что некоторые количественные отношения

вполне выразимы без чисел и до чисел, например, в отрезках, объемах и т.д.

(отношение "больше", "меньше", "равно"). Изложение исходных

общематематических понятий в современных руководствах осуществляется в

такой символике, которая не предполагает обязательного выражения объектов

числами. Так, в книге Е.Г. Гонина "Теоретическая арифметика" основные

математические объекты с самого начала обозначаются буквами и особыми

знаками ([4], стр. 12 – 15). Характерно, что те или иные виды чисел и

числовые зависимости приводятся лишь как примеры, иллюстрации свойств

множеств, а не как их единственно возможная и единственно существующая

форма выражения. Далее, примечательно, что многие иллюстрации отдельных

математических определений даются в графической форме, через соотношение

отрезков, площадей ([4], стр. 14-19). Все основные свойства множеств и

величин можно вывести и обосновать без привлечения числовых систем; более

того, последние сами получают обоснование на основе общематематических

понятий.

В свою очередь многочисленные наблюдения психологов и педагогов

показывают, что количественные представления возникают у детей задолго до

появления у них знаний о числах и приемах оперирования ими. Правда, есть

тенденция относить эти представления к категории "доматематических

образований" (что вполне естественно для традиционных методик,

отождествляющих количественную характеристику объекта с числом), однако это

не меняет существенной их функции в общей ориентировке ребенка в свойствах

вещей. И порой случается, что глубина этих якобы "доматематических

образований" более существенна для развития собственно математического

мышления ребенка, чем знание тонкостей вычислительной техники и умение

находить чисто числовые зависимости. Примечательно, что акад. А.Н.

Колмогоров, характеризуя особенности математического творчества, специально

отмечает следующее обстоятельство: "В основе большинства математических

открытий лежит какая-либо простая идея: наглядное геометрическое

построение, новое элементарное неравенство и т.п. Нужно только применить

надлежащим образом эту простую идею к решению задачи, которая с первого

взгляда кажется недоступной" ([12], стр. 17).

В настоящее время целесообразны самые различные идеи относительно

структуры и способов построения новой программы. К работе по ее

конструированию необходимо привлечь математиков, психологов, логиков,

методистов. Но во всех своих конкретных вариантах она, как представляется,

должна удовлетворять следующим основным требованиям:

. преодолевать существующий разрыв между содержанием математики в начальной

и средней школе;

. давать систему знаний об основных закономерностях количественных

отношений объективного мира; при этом свойства чисел, как особой формы

выражения количества, должны стать специальным, но не основным разделом

программы;

. прививать детям приемы математического мышления, а не только навыки

вычислений: это предполагает построение такой системы задач, в основе

которой лежит углубление в сферу зависимостей реальных величин (связь

математики с физикой, химией, биологией и другими науками, изучающими

конкретные величины);

. решительно упрощать всю технику вычисления, сводя до минимума ту работу,

которую нельзя выполнить без соответствующих таблиц, справочников и

других подсобных (в частности, электронных) средств.

Смысл этих требований ясен: в начальной школе вполне возможно

преподавать математику как науку о закономерностях количественных

отношений, о зависимостях величин; техника вычислений и элементы теории

чисел должны стать особым и частным разделом программы.

Опыт конструирования новой программы по математике и ее

экспериментальная проверка, проводимая начиная с конца 1960-х годов,

позволяют уже в настоящее время говорить о возможности введения в школу

начиная с I класса систематического курса математики, дающего знания о

количественных отношениях и зависимостях величин в алгебраической форме.

1.2 Психологические основы введения алгебраических понятий в начальной

школе

В последнее время при модернизации программ особое значение придают

подведению теоретико-множественного фундамента под школьный курс (эта

тенденция отчетливо проявляется и у нас, и за рубежом). Реализация этой

тенденции в преподавании (особенно в начальных классах, как это

наблюдается, например, в американской школе [19]) неизбежно поставит ряд

трудных вопросов перед детской и педагогической психологией и перед

дидактикой, ибо сейчас почти нет исследований, раскрывающих особенности

усвоения ребенком смысла понятия множества (в отличие от усвоения счета и

числа, которое исследовалось весьма многосторонне).

Логические и психологические исследования последних лет (в особенности

работы Ж. Пиаже) вскрыли связь некоторых "механизмов" детского мышления с

общематематическими понятиями. Ниже специально рассматривается особенности

этой связи и их значение для построения математики как учебного предмета

(при этом речь пойдет о теоретической стороне дела, а не о каком-либо

частном варианте программы).

Натуральное число является фундаментальным понятием математики на всем

протяжении ее истории; весьма существенную роль оно играет во всех областях

производства, техники, повседневной жизни. Это позволяет математикам-

теоретикам отводить ему особое место среди других понятий математики. В

разной форме высказываются положения о том, что понятие натурального числа

- исходная ступень математической абстракции, что оно является основой для

построения большинства математических дисциплин.

Выбор начальных элементов математики как учебного предмета по существу

реализует эти общие положения. При этом предполагается, что, знакомясь с

числом, ребенок одновременно раскрывает для себя исходные особенности

количественных отношений. Счет и число - основа всего последующего усвоения

математики в школе.

Однако есть основания полагать, что эти положения, справедливо выделяя

особое и фундаментальное значение числа, вместе с тем неадекватно выражают

его связь с другими математическими понятиями, неточно оценивают место и

роль числа в процессе усвоения математики. Из-за этого обстоятельства, в

частности проистекают некоторые существенные недостатки принятых программ,

методик и учебников по математике. Необходимо специально рассмотреть

действительную связь понятия о числе с другими понятиями.

Многие общематематические понятия, и в частности понятия соотношения

эквивалентности и порядка, систематически рассматриваются в математике

независимо от числовой формы. Эти понятия не теряют своего независимого

характера на их основе можно описывать и изучать частный предмет - разные

числовые системы, понятия о которых сами по себе не покрывают смысла и

значения исходных определений. Причем в истории математической науки общие

понятия развивались именно в той мере, в какой "алгебраические операции",

известный пример которых доставляют четыре действия арифметики, стали

применяться к элементам совершенно не "числового" характера.

В последнее время делаются попытки развернуть в преподавании этап

введения ребенка в математику. Эта тенденция находит свое выражение в

методических руководствах, а также в некоторых экспериментальных учебниках.

Так, в одном американском учебнике, предназначенном для обучения детей 6 -

7 лет ([19]) , на первых страницах вводятся задания и упражнения,

специально тренирующие детей в установлении тождественности предметных

групп. Детям показывается прием соединения множеств, - при этом вводится

соответствующая математическая символика. Работа с числами опирается на

элементарные сведения о множествах.

Можно по-разному оценивать содержание конкретных попыток реализации

этой тенденции, но сама она, на наш взгляд, вполне правомерна и

перспективна.

На первый взгляд понятия "отношение", "структура", "законы композиции"

и др., имеющие сложные математические определения, не могут быть связаны с

формированием математических представлений у маленьких детей. Конечно, весь

подлинный и отвлеченный смысл этих понятий и их место в аксиоматическом

построении математики как науки есть объект усвоения уже хорошо развитой и

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11