определенной символикой и проводить элементарный математический анализ

выделяемых отношений.

В этом плане программа должна содержать, во-первых, указание тех

свойств предмета, которые подлежат освоению, во-вторых, описание

дидактических материалов, в-третьих, - и это с психологической точки зрения

главное - характеристики тех действий, посредством которых ребенок выделяет

определенные свойства предмета и осваивает их. Эти "составляющие" образуют

программу преподавания в собственном смысле этого слова.

Конкретные особенности этой гипотетической программы и ее

"составляющих" имеет смысл излагать при описании процесса самого обучения и

его результатов. Здесь представляется схема данной программы и ее узловые

темы.

Тема I. Уравнивание и комплектование объектов (по длине, объему, весу,

составу частей и другим параметрам).

Практические задачи на уравнивание и комплектование. Выделение

признаков (критериев), по которым одни и те же объекты могут быть уравнены

или укомплектованы. Словесное обозначение этих признаков ("по длине", по

весу" и т.д.).

Эти задачи решаются в процессе работы с дидактическим материалом

(планками, грузами и т.д.) путем:

- выбора "такого же" предмета,

- воспроизведения (построения) "такого же" предмета по выделенному

(указанному) параметру.

Тема II. Сравнение объектов и фиксация его результатов формулой

равенства-неравенства.

1. Задачи на сравнение объектов и знаковое обозначение результатов

этого действия.

2. Словесная фиксация результатов сравнения (термины "больше",

"меньше", "равно"). Письменные знаки ">", "<", "=".

3. Обозначение результата сравнения рисунком ("копирующим", а затем

"отвлеченным" - линиями).

4. Обозначение сравниваемых объектов буквами. Запись результата

сравнения формулами: А=Б; А<Б, А>B.

Буква как знак, фиксирующий непосредственно данное, частное значение

объекта по выделенному параметру (по весу, по объему и т.д.).

5. Невозможность фиксации результата сравнения разными формулами.

Выбор определенной формулы для данного результата (полная дизъюнкция

отношений больше - меньше - равно).

Тема III. Свойства равенства и неравенства.

1. Обратимость и рефлексивность равенства (если А=Б, то Б=А; А=А).

2. Связь отношений "больше" и "меньше" в неравенствах при

"перестановках" сравниваемых сторон (если А>Б, то Б<А и т.п.).

3. Транзитивность как свойство равенства и неравенства:

если А=Б, если А>Б, если А<Б,

а Б=В, а Б>В, а Б<В,

то А=В; тo A>B; тo А<В.

4. Переход от работы с предметным дидактическим материалом к оценкам

свойств равенства-неравенства при наличии только буквенных формул. Решение

разнообразных задач, требующих знания этих свойств (например, решение

задач, связанных со связью отношений типа: дано, что А>В, а В=С; узнать

отношение между А и С).

Тема IV. Операция сложения (вычитания).

1. Наблюдения за изменениями объектов по тому или иному параметру (по

объему, по весу, по длительности и т.д.). Изображение увеличения и

уменьшения знаками "+" и "-" (плюс и минус).

2. Нарушение ранее установленного равенства при соответствующем

изменении той или иной его стороны. Переход от равенства к неравенству.

Запись формул типа:

если А=Б, если А=Б,

то А+К>Б; то А-К<Б.

3. Способы перехода к новому равенству (его "восстановление" по

принципу: прибавление "равного" к "равным" дает "равное").

Работа с формулами типа:

если А=Б,

то А+К>Б,

но А+К=Б+К.

4. Решение разнообразных задач, требующих применения операции сложения

(вычитания) при переходе от равенства к неравенству и обратно.

Тема V. Переход от неравенства типа А<Б к равенству через операцию

сложения (вычитания).

1. Задачи, требующие такого перехода. Необходимость определения

значения величины, на которую разнятся сравниваемые объекты. Возможность

записи равенства при неизвестном конкретном значении этой величины. Способ

использования х (икса).

Запись формул типа:

если A<Б, если А>Б,

то A+х=Б; то А-x=B.

2. Определение значения х. Подстановка этого значения в формулу

(знакомство со скобками). Формулы типа

А<Б,

А+х=Б,

х=Б-А,

А+(Б-А)=Б.

3. Решение задач (в том числе и "сюжетно-текстовых"), требующих

выполнения указанных операций.

Тема Vl. Сложение-вычитание равенств-неравенств. Подстановка.

1. Сложение-вычитание равенств-неравенств:

если А=Б если А>В если А>В

и М=D, и К>Е, и Б=Г,

тo A+M=Б+D; то А+К>В+E; то А+-Б>В+-Г.

2. Возможность представления значения величины суммой нескольких

значений. Подстановка типа:

А=Б,

Б=Е+К+М,

А=E+К+М.

3. Решение разнообразных задач, требующих учета свойств отношений, с

которыми дети познакомились в процессе работы (многие задачи требуют

одновременного учета нескольких свойств, сообразительности при оценке

смысла формул; описание задач и решения приведены ниже).

Такова программа, рассчитанная на 3,5 - 4 мес. первого полугодия. Как

показывает опыт экспериментального обучения, при правильном планировании

уроков, при усовершенствовании методики преподавания и удачном выборе

дидактических пособий весь изложенный в программе материал может быть

полноценно усвоен детьми за более короткий срок (за 3 месяца).

Как строится наша программа дальше? Прежде всего дети знакомятся со

способом получения числа, выражающим отношение какого-либо объекта как

целого (той же величины, представленной непрерывным или дискретным

объектом) к его части. Само это отношение и его конкретное значение

изображается формулой А/К=n, где n - любое целое число, чаще всего

выражающее отношение с точностью до "единицы" (лишь при специальном подборе

материала или при сосчитывании лишь "качественно" отдельных вещей можно

получить абсолютно точное целое число). Дети с самого начала "вынуждены"

иметь в виду, что при измерении или сосчитывании может получиться остаток,

наличие которого нужно специально оговаривать. Это первая ступенька к

последующей работе с дробным числом.

При такой форме получения числа нетрудно подвести детей к описанию

объекта формулой типа А=5k (если отношение было равно "5"). Вместе с первой

формулой она открывает возможности для специального изучения зависимостей

между объектом, основанием (мерой) и результатом счета (измерения), что

также служит пропедевтикой для перехода к дробным числам (в частности, для

понимания основного свойства дроби).

Другая линия развертывания программы, реализуемая уже в I классе, -

это перенесение на числа (целые) основных свойств величины (дизъюнкции

равенства-неравенства, транзитивности, обратимости) и операции сложения

(коммутативности, ассоциативности, монотонности, возможности вычитания). В

частности, работая на числовом луче, дети могут быстро претворить

последовательность чисел в величину (например, отчетливо оценивать их

транзитивность, выполняя записи типа 3<5<8, одновременно связывая отношения

"меньше-больше": 5<8, но 5<3, и т.д.).

Знакомство с некоторыми так сказать "структурными" особенностями

равенства позволяет детям иначе подойти к связи сложения и вычитания. Так,

при переходе от неравенства к равенству выполняются следующие

преобразования: 7<11; 7+х=11; x=11-7; х=4. В другом случае дети складывают

и вычитают элементы равенств и неравенств, выполняя при этом работу,

связанную с устными вычислениями. Например, дано 8+1=6+3 и 4>2; найти

отношение между левой и правой частями формулы при 8+1-4...6+3-2; в случае

неравенства привести это выражение к равенству (вначале нужно поставить

знак "меньше", а затем приплюсовать к левой части "двойку").

Таким образом, обращение с числовым рядом как с величиной позволяет по

новому формировать сами навыки сложения-вычитания (а затем умножения-

деления).

Глава II. Методические рекомендации к изучению алгебраического

материала в начальной школе

2.1 Обучение в начальной школе с точки зрения потребностей средней

школы

Как известно, при изучении математики в 5-м классе существенная часть

времени отводится на повторение того, что дети должны были усвоить в

начальной школе. Это повторение практически во всех существующих учебниках

занимает 1,5 учебной четверти. Такая ситуация сложилась неслучайно. Ее

причина – недовольство учителей математики средней школы подготовкой

выпускников начальной школы. В чем же причина такого положения? Для этого

была проанализированы пять наиболее известных сегодня учебников математики

начальной школы. Это учебники М.И. Моро, И.И. Аргинской, Н.Б. Истоминой,

Л.Г. Петерсон и В.В. Давыдова ([2], [5], [9], [14], [16]).

Анализ этих учебников выявил несколько негативных моментов, в большей

или меньшей степени присутствующих в каждом из них и отрицательно влияющих

на дальнейшее обучение. Прежде всего это то, что усвоение материала в них в

большей мере основано на заучивании. Ярким примером этого служит заучивание

таблицы умножения. В начальной школе ее запоминанию уделяется много сил и

времени. Но за время летних каникул дети ее забывают. Причина такого

быстрого забывания в механическом заучивании. Исследования Л.С. Выготского

показали, что осмысленное запоминание гораздо более эффективно, чем

механическое, а проведенные впоследствии эксперименты убедительно

доказывают, что материал попадает в долговременную память, только если он

запомнен в результате работы, соответствующей этому материалу.

Способ эффективного усвоения таблицы умножения был найден еще в 50-х

годах. Он состоит в организации определенной системы упражнений, выполняя

которые, дети сами конструируют таблицу умножения. Однако не в одном из

рассмотренных учебников этот способ не реализован.

Другим негативным моментом, влияющим на дальнейшее обучение, является

то, что во многих случаях изложение материала в учебниках математики

начальной школы построено таким образом, что в дальнейшем детей придется

переучивать, а это, как известно, гораздо труднее, чем учить. Применительно

к изучению алгебраического материала примером может служить решение

уравнений в начальной школе. Во всех учебниках решение уравнений основано

на правилах нахождения неизвестных компонентов действий.

Несколько иначе это сделано лишь в учебнике Л.Г. Петерсон, где,

например, решение уравнений на умножение и деление строится на соотнесении

компонентов уравнения со сторонами и площадью прямоугольника и в итоге

также сводится к правилам, но это правила нахождения стороны или площади

прямоугольника. Между тем, начиная с 6-го класса детей учат совершенно

другому принципу решения уравнений, основанному на применении тождественных

преобразований. Такая необходимость переучивания приводит к тому, что

решение уравнений является достаточно сложным моментом для большинства

детей.

Анализируя учебники, мы столкнулись еще и с тем, что при изложении

материала в них зачастую имеет место искажение понятий. Например,

формулировка многих определений дается в виде импликаций, тогда как из

математической логики известно, что любое определение – это эквиваленция. В

качестве иллюстрации можно привести определение умножения из учебника И.И.

Аргинской: "Если все слагаемые в сумме равны между собой, то сложение можно

заменить другим действием – умножением". (Все слагаемые в сумме равны между

собой. Следовательно, сложение можно заменить умножением.) Как видно, это

импликация в чистом виде. Такая формулировка не только неграмотна с точки

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11