Линейное программирование

Задача 1 (16.88)

Минимизировать функцию f(x) на всей числовой оси методом Ньютона. Критерием достижения требуемой точности считать выполнение неравенства .

Решение:

Найдем первую и вторую производные исходной функции:

Выберем начальное приближение . И осуществим вычисления по формуле

Результаты запишем в таблице

n=1

n=2

n=3

n=4

Далее мы заканчиваем вычисления, потому что данная точность достигнута. В результате мы получаем: и .

Осуществим проверку при помощи встроенной функции Minimize:

,

Ответ:

и

Задача 2 (16.115)

Выписать матрицу Q квадратичной функции f(x), найти ее градиент в точке и убедиться в выпуклости f(x) в .

,

Решение:

Запишем исходную функцию в следующем виде:

,

где

Тогда матрица Q примет вид:

Найдем градиент в точке по формуле , где r - вектор-столбец и равен :

Подставляя в полученную матрицу , мы получаем следующее значение градиента в данной точке:

Теперь убедимся в выпуклости f(x) в . Для того, чтобы исходная функция была выпуклой в , достаточно, чтобы матрица Q была положительно определена. Для этого найдем угловые миноры матрицы Q и если они будут больше нуля, то функция f(x) будет выпуклой в .

,

Так как , ,то функция f(x) выпукла в .

Проверка в Mathcad:

Проверка на выпуклость и нахождение градиента в точке x0

Ответ: градиент равен и функция f(x) будет выпуклой в .

Задача 3 (16.136)

Минимизировать квадратичную функцию методом наискорейшего спуска, заканчивая вычисления при , .

Решение:

Тогда производные исходной функции будут иметь вид:

Выберем начальное приближение . Тогда

Для нахождения точки минимума функции найдем нули ее производной:

Зная , мы определим следующим образом:

И так далее по выше описанной цепочке.

Реализуем решение данной задачи в математическом пакете Mathcad.

Функция имеет вид:

Тогда коэффициенты будут равны

Возьмем следующие начальное приближение и :

Далее пишем программу

В результате получаем искомое решение и функцию :

Ответ:

и

Задача 4 (16.155)

Минимизировать функцию f(x) методом сопряженных направлений, заканчивая вычисления при , .

Решение:

Тогда частные производные исходной функции будут иметь вид:

Решение будем искать по следующему алгоритму:

Шаг 1.

Выбрав начальное приближение

,

Для нахождения точки минимума функции используем метод перебора:

=>> , откуда

Шаг 2.

Для нахождения точки минимума функции используем метод перебора:

=>> ,

откуда

Шаг 3.

Для нахождения точки минимума функции используем метод перебора:

=>> , откуда

Шаг 4.

следовательно требуемая точность достигнута и

Ответ:

Задача 5 (16.193)

Решить задачу линейного программирования графическим методом.

Решение:

Изобразим на плоскости наш многоугольник ABCDE (красного цвета) и одну из линий уровня (розового цвета).

Линии AB соответствует уравнение , BC соответствует , CD соответствует , DE соответствует и EA соответствует

Направление убывания функции указывает вектор . Совершая параллельный перенос линии уровня вдоль направления , находим ее крайнее положение. В этом положении прямая проходит через вершину многоугольника ABCDE. Поэтому целевая функция принимает минимальное значение в точке , причем

Ответ: и

Задача 6 (16.205)

Решить задачу линейного программирования в каноническом виде графическим методом.

Решение:

Матрица системы будет иметь следующий вид:

Ранг этой матрицы равен . Тогда число свободных переменных равно , поэтому для решения задачи можно использовать графический метод. Решив систему ограничений - равенств относительно базисных переменных , , получим:

Исключая с помощью полученной системы переменные , из выражения для целевой функции, получаем:

С учетом условия неотрицательности , , и последних равенств получаем следующую задачу:

Изобразим на плоскости наш многоугольник ABCDEJ (красного цвета) и одну из линий уровня (розового цвета).

Линии AB соответствует уравнение , BC соответствует , CD соответствует , DE соответствует , EJ соответствует и JA соответствует .

Направление убывания функции указывает вектор . Совершая параллельный перенос линии уровня вдоль направления , мы видим, что целевая функция содержит сторону AB многоугольника ABCDEJ. Таким образом, все точки отрезка AB являются точками минимума функции . Так как концы A и B имеют координаты и соответственно, то найдем отсюда координаты и :

Тогда любая точка минимума представима в виде

где . Минимальное значение целевой функции

Ответ: бесконечное множество решений

, где и .

Задача 7 (16.216)

Решить задачу линейного программирования симплекс - методом, находя начальную угловую точку методом искусственного базиса.

Решение:

Матрица системы имеет вид

.

Ее ранг равен 3. Введем дополнительные переменные и запишем условие вспомогательной задачи линейного программирования для рассматриваемого случая:

Считая дополнительные переменные базисными, запишем симплекс таблицу этой задачи, соответствующую угловой точке :

Произведем преобразования исходной симплекс-таблицы симплекс-методом следующим образом:

1) смотрим на нижнюю строку - выбираем тот столбец, в котором нижний элемент отрицательный, если таких столбцов несколько, то выбираем любой (в нашем случае выбираем первый столбец );

2) далее смотрим на последний и выбранный столбцы - сравниваем отношения элементов последнего и выбранного столбцов (в выбранном столбце берем только положительные числа), и выбираем тот элемент выбранного столбца, где отношение элементов будет наименьшим (в нашем случае 9/3 и 0/1, так как второе отношение наименьшее, следовательно, опорным элементом будет 1);

3) меняем местами переменные и , остальные переменные оставляем на своих местах;

4) на место опорного элемента ставим отношение 1/(опорный элемент);

5) на остальных местах разрешающей строки записываем соответствующие элементы исходной таблицы, деленные на опорный элемент;

6) на свободные места разрешающего столбца ставим со знаком минус соответствующие элементы исходной таблицы, деленные на опорный элемент;

7) оставшиеся свободные места в новой симплекс-таблице заполняем построчно следующим образом: из строки элементов исходной таблицы вычитаем произведение ее элемента из разрешающего столбца на уже заполненную разрешающую строку новой таблицы.

Производя преобразования симплекс-метода, получим такую последовательность симплекс-таблиц:

В нижней строке последней симплекс-таблицы нет отрицательных элементов, следовательно, минимум вспомогательной целевой функции достигнут и есть угловая точка допустимого множества исходной задачи линейного программирования, тогда

Страницы: 1, 2