Задача 8 (16.237)

Решить полностью целочисленную задачу линейного программирования методом Гомори.

Решение:

Введем дополнительные переменные и запишем условие вспомогательной задачи линейного программирования для рассматриваемого случая:

Считая дополнительные переменные базисными, запишем симплекс таблицу этой задачи, соответствующую угловой точке :

Произведем преобразования исходной симплекс-таблицы симплекс-методом следующим образом: смотрим на нижнюю строку - выбираем тот столбец, в котором нижний элемент отрицательный, если таких столбцов несколько, то выбираем любой (в нашем случае выбираем первый столбец ); далее смотрим на последний и выбранный столбцы - сравниваем отношения элементов последнего и выбранного столбцов (в выбранном столбце берем только положительные числа), и выбираем тот элемент выбранного столбца, где отношение элементов будет наименьшим (в нашем случае 9/3 и 0/1, так как второе отношение наименьшее, следовательно, опорным элементом будет 1); меняем местами переменные и , остальные переменные оставляем на своих местах; на место опорного элемента ставим отношение 1/(опорный элемент); а остальных местах разрешающей строки записываем соответствующие элементы исходной таблицы, деленные на опорный элемент; на свободные места разрешающего столбца ставим со знаком минус соответствующие элементы исходной таблицы, деленные на опорный элемент; оставшиеся свободные места в новой симплекс-таблице заполняем построчно следующим образом: из строки элементов исходной таблицы вычитаем произведение ее элемента из разрешающего столбца на уже заполненную разрешающую строку новой таблицы. Производя преобразования симплекс-метода, получим такую последовательность симплекс-таблиц:

Как видим, в последней строке таблицы все элементы положительны, то есть получаем решение и . Но это решение не удовлетворяет условию целочисленности, поэтому дополняем последнюю симплекс-таблицу строкой, используя следующие правила: среди нецелых элементов выбирается произвольный элемент , по r-ой строке симплекс-таблицы составляется дополнительное ограничение вида (здесь мы полагаем, что свободные переменные имеют номера m+1,…,n). С помощью вспомогательной переменной это ограничение представляется в виде равенства и вводится в симплекс-таблицу дополнительной строкой

Где

,

где фигурные скобки означают дробную часть.

Таким образом, мы получаем следующую таблицу:

Так как , то после дополнения строкой симплекс-таблица перестает соответствовать допустимому базисному решению задачи линейного программирования, которую она описывает.

Для перехода к допустимому базисному решению производятся следующие операции:

а) строка с отрицательным свободным членом считается разрешающей;

б) если все коэффициенты , то задача не имеет решения, в противном случае номер l разрешающего столбца находится из условия:

в) совершается преобразование симплекс-таблицы с опорным элементом

Если в новой таблице по-прежнему есть хотя бы один отрицательный свободный член, то описанная процедура повторяется, начиная с операции а), необходимое число раз.

Применяя данные правила к нашей симплекс-таблице, мы получаем следующие преобразования:

Полученная симплекс-таблица не только соответствует допустимому базисному решению, но и дает решение рассматриваемой задачи:

и

Ответ: и

Задача 9 (16.258)

Решить задачу дробно - линейного программирования.

Знаменатель целевой функции положителен при всех x из допустимого множества U, так как .

Вводим новые переменные

, ,

и получаем следующую задачу линейного программирования:

Неизвестные параметры мы можем уже из этих выражений найти:

,

Ответ: ,

Задача 10 (16.268)

Решить задачу квадратичного программирования.

,

Решение:

Матрица нашей квадратичной функции положительно определена. Наша исходная задача имеет вид:

(1)

, , (2)

, . (3)

На основании теоремы Куна-Таккера точка минимума целевой функции из (1) на допустимом множестве (2) и (3) может быть найдена как решение следующей системы уравнений с дополнительными переменными ; :

, ,

, ,

, ,

, ,

удовлетворяющее условию неотрицательности:

, , ,

, .

Применяя выше описанные условия, мы преобразуем исходную задачу в следующий вид:

Будем искать угловую точку множества, определяемого этой системой, методом искусственного базиса. Введем дополнительные переменные и в 3-е и 4-ое уравнения выше написанной системы, считая базисными переменными начальной угловой точки , , и .

Вспомогательную целевую функцию выразим через свободные переменные , , , , и с помощью двух первых уравнений выше написанной системы.

Последовательность симплекс-таблиц, приводящих к решению задачи, приведена ниже. Рамками обведены опорные элементы, а те свободные переменные, которые на данном шаге нельзя переносить в базисные из-за условий , обведены кружками.

Как видим, в последней строчке нет отрицательных чисел, следовательно, мы нашли решение и оно имеет вид и .

Ответ: и

Страницы: 1, 2