Представление численной информации в ЭВМ. Системы счисления
СОДЕРЖАНИЕ Введение 1.Понятие системы счисления. Классификация систем счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления 1.1 Непозиционные системы счисления 1.2 Позиционные системы счисления 2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую2.1 Перевод целых чисел из одной позиционной системы счисления в другую 2.2. Перевод правильных дробей 2.3 Перевод неправильных дробей 2.4 Перевод чисел из системы счисления в систему с кратным основанием 3. Выбор системы счисления для применения в ЭВМ 4. Двоичная система счисления 4.1 Навыки обращения с двоичными числами 5. Формы представления двоичных чисел в ЭВМ 6. Точность представления чисел в ЭВМ Вывод Литература ВведениеТема реферата по курсу «Прикладная теория цифровых автоматов» - «Представление численной информации в ЭВМ. Системы счисления».Цель написания реферата:ознакомится с понятием системы счисления; классификацией систем счисления; переводом чисел из одной системы счисления в другую; выбором системы счисления для применения в ЭВМ; двоичной системой счисления; формами представления двоичных чисел в ЭВМ; точностью представления чисел в ЭВМ и др. 1.Понятие системы счисления. Классификация систем счисления. Позиционные и непозиционные системы счисленияСистемы счисления были созданы в процессе хозяйственной деятельности человека, когда у него появилась потребность в счете, а по мере развития научной и технической деятельности возникла также необходимость записывать числа и производить над ними вычисленияСистемой счисления называется совокупность символов и приемов, позволяющих однозначно изображать числа. Или, в общем случае, это специальный язык, алфавитом которого являются символы, называемые цифрами, а синтаксисом - правила, позволяющие однозначно сформировать запись чисел. Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа. В общем случае число записывается следующим образом:А=аn an-1 ... а2 a1 а0Отдельную позицию в записи числа принято называть разрядом, а номер позиции - номером разряда, количество разрядов в записи числа - это разрядность и она совпадает с длиной числа. В техническом плане длина числа интерпретируется как длина разрядной сетки. Если алфавит имеет р различных значений, то разряд aі в числе рассматривается как р-ичная цифра, которой может быть присвоено каждое из р значений.Каждой цифре aі данного числа А однозначно соответствует ее количественный (числовой) эквивалент - К(aі). При любой конечной разрядной секе количественный эквивалент числа А будет принимать в зависимости от кличественных отдельных разрядов значения от К(А) min до К(А) max.Диапазон представления (D) чисел в данной системе счисления - это интервал числовой оси, заключенный между максимальными и минимальными числами, представленными заданной разрядностью (длиной разрядной сетки):D=К(А)(p) max - К(А)(p) min.Существует бесчисленное множество способов записи чисел цифровыми знаками. Однако, любая система счисления, предназначенная для практического использования, должна обеспечивать:1) возможность представления любого числа в заданном диапазоне чисел;2) однозначность представления;3) краткость и простоту записи чисел;4) легкость овладения системой, а также простоту и удобство оперировать ею.В зависимости от целей применения используют различные системы счисления: 2-ю, 10-ю, 8-ю, 16-ю, римскую, а для исчисления времени - система счисления времени и т.д.В зависимости от способа записи чисел и способа вычисления их количественного эквивалента системы счисления можно классифицировать следующим образом (рис. 1)В основном системы счисления строятся по следующему принципу:А(p)= аnрn +аn-1pn-1…..+а1р1,где А(p)- запись числа в системе с базисом рі;аі- база или последовательность цифр системы счисления с рi-чным алфавитомрi - базис системы счисления (совокупность весов отдельных разрядов системы счисления). Базис десятичной системы счисления 100, 101, 102, 103, ..., 10п.База системы счисления может быть положительной (0,1,2...9), но может быть и смешанной (1, ).Рисунок. 1- Классификация систем счисленияОснованием системы счисления называется количество различных символов (цифр), используемых в каждом из разрядов для изображения числа в данной системе счисления.Вес разряда Ri в любой системе счисления - это отношение Ri=pi/p0.1.1 Непозиционные системы счисленияНепозиционные системы счисления - это системы счисления, алфавит которых содержит неограниченное количество символов (цифр), причем количественный эквивалент любой цифры постоянен и зависит только от начертания и не зависит от положения в числе. Такие системы строятся по принципу аддитивности, т.е. количественный эквивалент числа определяется как сумма цифр в числе. Наиболее известными представителями непозиционных систем счисления являются иероглифические и алфавитные, в частности, иероглифическая система - римская система счисления. Запись чисел в алфавитных системах счисления строится по такому же принципу.К основным недостаткам непозиционных систем счисления можно отнести:1) отсутствие нуля;2) необходимость содержания бесконечного количества символов;3) сложность арифметических действий.Основное внимание уделим позиционным системам счисления.1.2 Позиционные системы счисленияПозиционными называются такие системы счисления, алфавит которых содержит ограниченное количество символов, причем значение каждой цифры определяется не только ее начертанием, но и находится в строгой зависимости от позиции в числе. Основное достоинство позиционных систем счисления - удобство выполнения вычислений.Позиционные системы счисления разделяются на ряд подклассов.Неоднородные позиционные системы счисления (со смешанным основанием)В таких системах счисления в каждом разряде количество допустимых символов может быть различно значения не зависят друг от друга и могут принимать любые значения. Примером неоднородной позиционной системы счисления может служить система счисления времени, для которой Р0- 1сек,Р1- 60 сек, Р2- 60 мин, Р3- 24 часа, Р4- 365 суток.Однородные позиционные системы счисления.Это частный случай позиционных систем счисления, в них веса отдельных разрядов представляют собой ряд членов геометрической прогрессии со знаменателем p. Поэтому число в однородных системах может быть представлено в общем случае полиномом вида:А(p)= аnрn + аn-1рn-1 + ... а1р1 + а0р0 + а-1р-1 +...+ а--k р-k ,илиОснованием однородной позиционной системы может быть любое целое число, так как в определении позиционных систем счисления не наложено никаких ограничений на величину основания. Поэтому возможно бесчисленное множество позиционных систем счисления. Обычно число в однородной системе счисления записывается в сокращенном виде:А(p)= аn аn-1... а1а0а-1... а--k,а название системы счисления определяет ее основание: десятеричная, двоичная, восьмеричная, и т.д. Для любой позиционной системы счисления справедливо, что ее основание изображается символами 10 в своей системе.Кодированные системы счисления Это такие системы, в которых цифры одной системы счисления кодируются при помощи цифр другой системы. Примером может служить двоично-десятичная система с весами (8-4-2-1) или (8-4-2-1+3). 2. Перевод чисел из одной системы счисления в другуюСуществует два основных метода перевода чисел из одной системы счисления в другую: табличный и расчетный [2].Табличный метод прямого перевода основан на сопоставлении таблиц соответствия чисел различных систем счисления. Этот метод очень громоздок и требует очень большого объема памяти для хранения таблиц, но применим для любых систем счисления.Расчетный метод перевода применим только для позиционных однородных систем счисления.2.1 Перевод целых чисел из одной позиционной системы счисления в другуюПусть задано число А в произвольной позиционной системе счисления с основанием L и его необходимо перевести в новую систему счисления с основанием Р, т.е. преобразовать к виду:А(p)= аnрn + аn-1рn-1 + ... а1р1 + а0р0 , (2.1)где ai = 0 ч (p-1) - база новой системы счисления.Это выражение можно записать в виде: А=А1р+а0 , где А1= (аnрn-1 + аn-1рn-2 + ... а2р1 + а1) - целая часть частного,а0 - остаток от деления А/р, который является цифрой младшего разряда искомого числа.При делении числа А1 на р получим остаток а1 и т.д. Иными словами, если записать выражение (2.1) по схеме Горнера:,после чего правую часть последовательно разделить на основание новой системы счисления р, то получим коэффициенты: ... При этом деление продолжается до тех пор, пока не окажется, что Правило перевода целых чисел из одной позиционной системы счисления в другую формулируется следующим образом: Чтобы перевести целое число из одной позиционной системы счисления в другую необходимо исходное число последовательно делить на основание новой системы счисления, записанное в исходной системе счисления, до получения частного, равного нулю. Число в новой системе счисления записывается из остатков от деления, начиная с последнего. Рассмотрим в качестве примера перевод целого числа 138 в двоичную, восьмеричную, шестнадцатиричную системы счисления. 138, 69, 34, 17, 8, 4, 2, 1, 0- частное 0 1 0 1 0 0 0 1 - остаток 138, 17, 2, 0- частное 2 1 2 138, 8, 0 10 8 [138]10=[10001010]2=[212]8=[8А]16 При переводе из двоичной системы счисления в десятичную исходное число необходимо делить на основание новой системы, т.е. на 10102. Деление выполнить в двоичной системе трудно, поэтому на практике удобнее пользоваться общей записью числа в виде полинома. При переводе двоичных чисел в десятичную систему счисления обычно подсчитывают сумму степеней основания 2, при которых коэффициенты аі равны 1. Расчеты при этом ведутся в десятичной системе. 2.2 Перевод правильных дробей Пусть правильную дробь А, заданную в произвольной позиционной системе счисления с основанием L необходимо перевести в новую систему с основанием Р, т.е. преобразовать ее к виду: А= а-1р-1 +...+ а--k р-k, (2.2) если, аналогично переводу целых чисел разделить обе части выражения на р-1, т.е умножить на р, то получим: Ар = а-1 + А1, где А1= а-2р-1 + а-3р-2 +...+ а--k р-k+1 - дробная часть произведения, а-1 - целая часть результата. Полученная при этом цифра целой части результата и будет первой цифрой искомого числа. Умножив теперь дробную часть результата на основание новой системы счисления, получим: А1р = а-2 + А2, где А2 - дробная часть произведения, а-2 - следующая цифра искомого числа. Следовательно, при переводе выражение (2.2) представляется по схеме Горнера: А = р-1(а-1 +р-1(а-2 + ... + р-1(а-к+1 + р-1а-к)...)). Для перевода правильной дроби из одной позиционной системы счисления в другую ее надо последовательно умножать на основание новой системы счисления до тех пор, пока в новой дроби не будет нужного количества цифр, которое определяется требуемой точностью представления дроби. Правильная дробь в новой системе счисления записывается из целых частей произведений получающихся при последовательном умножении, причем первая целая часть будет старшей цифрой новой дроби. Рассмотрим в качестве примера перевод правильной дроби 0,536 в двоичную, восьмеричную, шестнадцатиричную системы счисления [0,536]10=[0,10001001]2=[0,422335]8=[0,8937]16 |
0, | 536 2 | | 0, | 536 8 | | 0, | 536 16 | | 1, | 072 2 | | 4, | 288 8 | | 8, | 576 16 | | 0, | 144 2 | | 2, | 304 8 | | 9, | 216 16 | | 0, | 288 2 | | 2, | 432 8 | | 3, | 456 16 | | 0, | 576 2 | | 3, | 456 8 | | 7, | 296 | | 1, | 152 2 | | 3, | 648 8 | | | | | 0, | 304 2 | | 5, | 184 | | | | | 0, | 608 | | | | | | | | |
Страницы: 1, 2, 3
|
