p align="left">Перевод дроби в общем случае представляет собой бесконечный процесс. Число цифр в новой системе счисления необходимо определять из условия, что точность представления числа в новой системе должна соответствовать точности в исходной системе. 2.3 Перевод неправильных дробей При переводе неправильной дроби необходимо отдельно перевести целую и дробную части по вышеизложенным правилам и записать число в новой системе счисления, оставив неизменным положение запятой. 2.4 Перевод чисел из системы счисления в систему с кратным основанием Если основания систем счисления кратны друг другу, т.е. связаны зависимостью: l=pm, то каждая цифра системы счисления с основанием l может быть представлена m цифрами в системе с основанием p. Следовательно, для того, чтобы перевести число из исходной системы в новую, основание которой кратно основанию исходной системы, достаточно каждую цифру переводимого числа записать при помощи m цифр в новой системе счисления, если основание исходной системы больше основания новой системы счисления. В противном случае каждые m цифр исходного числа необходимо записать при помощи одной цифры в новой системе счисления, начиная для целых чисел с младшего разряда и для правильных дробей - со старшего. Пример. [0,536]10=[0,100'010'010]2=[0,422]8 ; [0,1000'1001'0]2=[0,89]16 [138]10=[10'001'010]2=[212]8: [1000'1010]2=[8А]16 3. Выбор системы счисления для применения в ЭВМ Очевидно, что непозиционные системы счисления непригодны для применения в ЭВМ в силу своей громоздкости и трудности выполнения арифметических операций. Из позиционных наиболее удобны однородные. С точки зрения применения в ЭВМ учитываются следующие факторы. 1. Наличие физических элементов, способных изобразить символы системы. 2. Экономичность системы, т.е. количество элементов необходимое для представления многоразрядных чисел. 3. Трудоемкость выполнения арифметических операций в ЭВМ. 4. Быстродействие вычислительных систем. 5. Наличие формального математического аппарата для анализа и синтеза вычислительных устройств. 6. Удобство работы человека с машиной. 7. Помехоустойчивость кодирования цифр на носителях информации. Исторически сложилось так, что для применения в ЭВМ была выбрана двоичная система счисления, которая наиболее полно соответствует этим критериям. В современных универсальных ЭВМ применяются как двоичная, так и десятичная системы счисления. Причем цифры последней кодируются двоичными символами, т. е. речь идет в действительности не о десятичной, а о двоично-десятичной системе счисления. Каждая из отмеченных систем имеет свои достоинства и недостатки, а также свои области применения. Достоинствами двоичной системы счисления относительно двоично-десятичной являются: 1) экономия порядка 20 % оборудования; 2) примерно в 1,5 раза более высокое быстродействие; 3) упрощение логического построения и значительная экономия оборудования в схемах управления и во вспомогательных цепях. Достоинствами двоично-десятичной системы являются: 1) отсутствие необходимости перевода исходных данных и результатов расчетов из одной системы в другую; 2) удобство контроля промежуточных результатов путем вывода их на индикацию для визуального наблюдения; 3) более широкие возможности для автоматического контроля из-за наличия в двоично-десятичном коде избыточных комбинаций. Двоичную систему счисления применяют в больших и средних ЭВМ, предназначенных для решения научно-технических задач, для которых характерен большой объем вычислений и сравнительно малый объем исходных данных и результатов вычислений. Ее также целесообразно применять в ЭВМ, предназначенных для управления технологическими процессами. Двоично-десятичную систему счисления применяют для решения экономических задач, которые характеризуются большим объемом исходных данных, сравнительной простотой и малым объемом выполняемых над ними преобразований и большим количеством результатов вычислений. Эту систему целесообразно также применять в калькуляторах, ЭВМ, предназначенных для инженерных расчетов, а также в персональных ЭВМ. 4. Двоичная система счисления Под двоичной системой счисления понимается такая система, в которой для изображения чисел используются два символа, а веса разрядов меняются по закону 2+-к, где к - произвольное целое число. Классической двоичной системой является система с символами 0, 1. Ее двоичные цифры часто называют битами. В общем виде все двоичные числа представляются в виде: А= ?аі2і, (і от -к до n) Чтобы овладеть любой системой счисления, надо уметь выполнять в ней арифметические операции. Арифметические операции в двоичной системе счисления выполняются так же, как и в десятичной в соответствии с таблицами поразрядных вычислений. Сложение в двоичной системе счисления производится по правилам сложения полиномов. Поэтому при сложении чисел А и В i-й разряд суммы Si и перенос Пi из данного разряда в (i+1) разряд будет определяться в соответствии со следующим выражением: аі+ bі + Пі-1= Sі +Пі+1 |
аі | bі | Пі-1 | Sі | Пі+1 | | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | | |
Таблица умножения двух двоичных чисел полностью определяется двумя правилами: умножение любого числа на ноль дает в результате ноль, умножение любого числа на 1 оставляет его без изменения, т.е. результат равен исходному числу. 4.1 Навыки обращения с двоичными числами Хотя все правила выполнения операций в двоичной системе счисления очень просты, но тем не менее при работе с двоичными числами из-за отсутствия навыков возникают разного рода неудобства. Ниже приведены некоторые простые приемы, которые позволяют довольно свободно обращаться с двоичными числами. Таблица 4.1. |
n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | | 2n | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 | 2048 | 4096 | | |
1. Число 100...00 = 2n. n нулей Необходимо знать наизусть десятичные значения чисел, представленных в таблице 4.1. 2. Число 111...11= 2n -1. n единиц 3. Необходимо знать наизусть десятичные значения двоичных чисел от 0 до 31 включительно. Эти числа в дальнейшем будут называться “малыми числами”. 4. Двоичное число А= аn-k+5 аn-k+4 аn-k+3 аn-k+2 аn-k+1 000...000 малое число k нулей равно а2k . Пример. 11011000=11011х23 = 27 х 8 = 216. Двоичное число А= аn-k+5 аn-k+4 аn-k+3 аn-k+2 аn-k+1 00...00 b5b4b3b2b1= а х 2k + b малое число a малое число b k разрядов Пример. 10110000101 = 1011 х 27 + 101 = 11 х 128 + 5 = 1413. 5. Если в n- разрядном числе много единиц и мало нулей, то для определения его количественного эквивалента можно из n разрядного числа, записанного одними единицами, вычесть малое число, в котором разряды со значением 1 соответствуют разрядам исходного числа с нулевым значением и наоборот. Пример. 11111101001 соответствует 11111111111 = 211 - 1 10110 = 22 11111101001 т.е. 11111101001 = 2048 -1 - 10110 = 2047 - 22 = 2025. 6. Чтение двоичных дробей А= 0,000...001 = 2-n n-1 нулей Дробь А = 0,111...111 = 1 - 2-k. k единиц Двоичная дробь читается по тем же правилам, что и десятичная: разряды справа от запятой читаются как целое число, которое является числителем; знаменатель читается как целое число, являющееся 2k , причем k - номер младшего разряда справа от запятой. 5. Формы представления двоичных чисел в ЭВМ Машинное представление числа - это представление числа в разрядной сетке ЭВМ. Машинное изображение числа условно обозначают [A]. При этом А=[A]kA, где kA - масштабный коэффициент, величина которого зависит от формы представления числа в ЭВМ. Под формой представления числа в ЭВМ понимают свод правил, позволяющий установить взаимное соответствие между записью числа и его количественным эквивалентом. Если произвольное вещественное число А`=[A]kA, то такое число представлено в разрядной сетке машины точно. Если А`?[A]kA, то произвольное вещественное число может быть представлено в машине приближенно или вообще не может быть представлено. При приближенном представлении вещественное число А` заменяется некоторым числом [А], принадлежащим множеству машинных чисел. Множеству машинных чисел принадлежат только числа, кратные двум, так как любые два попарно соседних машинных числа отличаются друг от друга на величину 2-n , где n - количество разрядов. Аmin‹ |A| ‹ A max Если |A| ‹ A min, такое число называют машинным нулем. Числа, большие чем Amax, не могут быть представлены. В этом случае говорят о переполнении разрядной сетки. Существует три формы представления чисел в ЭВМ: естественная, с фиксированной запятой и нормальная (с плавающей запятой). Естественной формой записи числа называется запись числа в виде полинома, представленного в сокращенном виде: А= аn an-1 ... a1 a0 a--1 a--2 ... a--k При этом отсчет весов разрядов ведется от запятой. Запятая ставится на строго определенном месте - между целой и дробной частью числа. Поэтому для каждого числа необходимо указать положение его запятой в одном из разрядов кода, т.е. в общем случае место положения запятой должно быть предусмотрено в каждом разряде. Обычно такую форму представления используют в калькуляторах. Если место запятой в разрядной сетке машины заранее фиксировано, то такое представление называется представлением с фиксированной запятой (точкой). В большинстве ЭВМ с фиксированной запятой числа, с которыми оперирует машина, меньше единицы и представлены в виде правильных дробей, т.е. запятую фиксируют перед старшим разрядом числа, причем числа, больше единицы, приводятся к такому виду при помощи масштабного коэффициента КА. Представление чисел в виде правильных дробей обусловлено необходимостью уменьшить возможность переполнения разрядной сетки машины, т. е. уменьшить опасность потери значащих цифр старших разрядов при выполнении арифметических операций.
Страницы: 1, 2, 3
|