|
p align="left"> Можно видеть, что значения E*c не совсем точно совпадают со значениями эксперименталь-ных данных y, но эти отклонения могут быть сравнимы с ошибками измерений. Прямоугольная матрица A называется матрицей неполного ранга, если ее столбцы линейно-независимы. Если матрица A имеет неполный ранг, то решение AX = B не является единст-венным. Оператор \ при этом выдает предупреждающее сообщение и определяет основное решение, которое дает минимально возможное число ненулевых решений. Недоопределенные системыНедоопределенные системы линейных уравнений содержат больше неизвестных чем урав-нений. Когда они сопровождаются дополнительными ограничениями, то становятся сферой изучения линейного программирования. Сам по себе, оператор \ работает только с системой без ограничений. При этом решение никогда не бывает единственным. MATLAB находит ос-новное решение, которое содержит по меньшей мере m ненулевых компонент (где m - число уравнений), но даже это решение может быть не единственным. Ниже приводится пример, где исходные данные генерируются случайным образом.R = fix (10*rand(2,4)) R =6 8 7 33 5 4 1b = fix (10*rand(2,1)) b =12Система уравнений Rx = b содержит два уравнения с четырьмя неизвестными. Поскольку матрица коэффициентов R содержит небольшие по величине целые числа, целесообразно представить решение в формате rational (в виде отношения двух целых чисел). Частное ре-шение представленное в указанном формате есть:p = R\b p =05/70-11/7Одно из ненулевых решений есть p(2), потому что второй столбец матрицы R имеет наи-большую норму. Вторая ненулевая компонента есть p(4) поскольку четвертый столбец матрицы R становится доминирующим после исключение второго столбца (решение нахо-дится методом QR-факторизации с выбором опорного столбца).Обратные матрицы и детерминантыЕсли матрица А является квадратной и невырожденной, уравнения AX = I и XA = I имеют одинаковое решение X. Это решение называется матрицей обратной к A, обозначается через A-1 и вычисляется при помощи функции inv. Понятие детерминанта (определителя) матрицы полезно при теоретических выкладках и некоторых типах символьных вычислений, но его масштабирование и неизбежные ошибки округления делают его не столь привлекательным при числовых вычислениях. Тем не менее, если это требуется, функция det вычисляет определитель квадратной матрицы. Например,A = pascal (3) A =1 1 11 2 31 3 6d = det (A)X = inv (A) d =1 X =3 -3 1-3 5 -21 -2 1Опять таки, поскольку A является симметричной матрицей целых чисел и имеет единичный определитель, то же самое справедливо и для обратной матрицы. С другой стороны, дляB = magic(3) B =8 1 63 5 74 9 2d = det(B)X = inv(B) d =-360 X =0.1472 -0.1444 0.0639 -0.0611 0.0222 0.1056-0.0194 0.1889 -0.1028Внимательное изучение элементов матрицы X, или использование формата rational , показы-вает, что они являются целыми числами, разделенными на 360.Если матрица A является квадратной и несингулярной, то, пренебрегая ошибками округле-ния, выражение X = inv(A)*B теоретически означает то же, что и X = A\B , а Y = B*inv(A) теоретически есть то же, что и Y = B/A. Однако вычисления включающие операторы \ и / более предпочтительны, поскольку требуют меньше рабочего времени, меньшей памяти и имеют лучшие свойства с точки зрения определения ошибок.Псевдообратные матрицыПрямоугольные матрицы не имеют детерминантов и обратных матриц. Для таких матриц по крайней мере одно из уравнений AX = I или XA = I не имеет решения. Частично данный про-бел восполняется так называемой псевдообратной матрицей Мура-Пенроуза, или просто псевдообратной матрицей, которая вычисляется при помощи функции pinv. На практике необходимость в этой операции встречается довольно редко. Желающие могут всегда обра-титься к соответствующим справочным пособиям. Степени матриц и матричные экспонентыПоложительные целые степениЕсли А есть некоторая квадратная матрица, а р - положительное целое число, то A^p эквива-лентно умножению A на себя р раз.X = A^2 X =3 6 106 14 2510 25 46Отрицательные и дробные степениЕсли А является квадратной и невырожденной, то A^(-p) эквивалентно умножению inv(A) на себя p раз.Y = B^(-3) Y =0.0053 -0.0068 0.0018-0.0034 0.0001 0.0036-0.0016 0.0070 -0.0051Дробные степени, например A^(2/3), также допускаются; результаты при этом зависят от ра-спределения собственных значений матрицы А.Поэлементное возведение в степеньОператор .^ (с точкой !) осуществляет поэлементное возведение в степень. Например, X = A.^2 A =1 1 11 4 91 9 36Вычисление корня квадратного из матрицы и матричной экспонентыДля невырожденных квадратных матриц А функция sqrtm вычисляет главное значение квад-ратного корня , т.е. если X = sqrtm(A) , то X*X = A . Буква m в sqrtm означает, что выпол-няется матричная операция. Это отличает данную функцию от sqrt(A), которая, подобно A.^(1/2) (обратите внимание на точку !), выполняет операцию извленчения корня поэлемен-тно. Система обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка может быть записана в видеdx/dt = Axгде x = x(t) есть векторная функция от t, а A есть постоянная матрица не зависящая от t.Решение данной системы может быть выражено в виде матричной экспоненты.x(t) = ?Atx(0)Функция expm(A) вычисляет матричную экспоненту. Рассмотрим пример системы диффере-нциальных уравнений со следующей 3х3 матрицей коэффициентов A =0 -6 -16 2 -16-5 20 -10и начальными условиями x(0)x0 = [ 1 1 1]'.Использование матричной экспоненты для вычисления решения дифференциального уравне-ния в 101 точке с шагом 0.01 на интервале 0 ? t ? 1 записывается в виде X = [ ];for t = 0 : 0.01 : 1 X = [X expm(t*A)*x0]; endТрехмерный график решения в фазовом пространстве может быть получен при помощи спе-циальной функции plot3(X(1,:), X(2,:), X(3,:), '-o') Решение имеет вид спиральной функции сходящейся к началу координат (см. рис. ниже). Та-кое решение обусловлено комплексными собственными значениями матрицы коэффициен-тов А. Собственные значения и собственные векторыСобственным значением и собственным вектором квадратной матрицы А называются ска-ляр л и вектор v, удовлетворяющие условиюAv = лvДиагональная декомпозицияИмея диагональную матрицу Л, составленную из собственных значений л матрицы А и мат-рицу V , составленную из соответствующих собственных векторов v, можно записатьAV = VЛЕсли матрица V несингулярная, на основании данного выражения получаем спектральное разложение матрицы АА = VЛV-1Неплохой пример использования спектрального разложения дает рассмотренная выше мат-рица коэффициентов линейного дифференциального уравнения. Ввод выражения lambda = eig(A) дает следующий вектор-столбец собственных значений (два из них являются комплексно-сопряженными) lambda = -3.0710 -2.4645 + 17.6008i -2.4645 - 17.6008i Действительные части всех собственных значения являются отрицательными, что обеспечи-вает устойчивость процессов в системе. Ненулевые мнимые части комплексно-сопряженных собственных значений обуславливают колебательный характер переходных процессов. При двух выходных аргументах, функция eig вычисляет также собственные векторы и выда-ет собственные значения в виде диагональной матрицы . [V,D] = eig(A) V = -0.8326 0.2003 - 0.1394i 0.2003 + 0.1394i -0.3553 -0.2110 - 0.6447i -0.2110 + 0.6447i -0.4248 -0.6930 -0.6930 D = -3.0710 0 0 0 -2.4645+17.6008i 0 0 0 -2.4645-17.6008i Первый собственный вектор (первый столбец матрицы V) является действительным, а два других являются комплексно-сопряженными. Все три вектора являются нормализованными по длине, т.е. их Евклидова норма norm(v,2), равна единице. Матрица V*D*inv(V), которая в более сжатой форме может быть записана как V*D/V, равна, в пределах погрешностей округления, матрице А. Аналогично, inv(V)*A*V, или V\A*V, рав-на, в пределах погрешностей округления, матрице D. Дефектные матрицыНекоторые матрицы не имеют спектрального разложения. Такие матрицы называются дефек-тными или не диагонализируемыми. Например, пусть матрица А имеет вид A =6 12 19-9 -20 -334 9 15Для этой матрицы ввод [V, D] = eig(A) дает V =-0.4741 -0.4082 -0.40820.8127 0.8165 0.8165-0.3386 -0.4082 -0.4082 D =-1.0000 0 00 1.0000 00 0 1.0000Здесь имеются два положительных единичных кратных собственных значений. Второй и третий столбцы матрицы V являются одинаковыми и поэтому полного набора линейно-неза-висимых собственных векторов не существует (и поэтому не существует обратная матрица V-1).Сингулярное разложение матрицСингулярным значением и соответствующими сингулярными векторами прямоугольной ма-трицы A называются скаляр у и пара векторов u и v такие, что удовлетворяются соотноше-нияAv = уuATu = уv Имея диагональную матрицу сингулярных чисел У и две ортогональные матрицы U и V, сформированные из соответствующих собственных векторов, можно записать
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28
|
