Определение 8. Векторное пространство V называется конечномерным, имеющим разность n, если в нем найдется n линейно независимых векторов, а любые n+1 векторов линейно зависимы. Если в векторном пространстве можно указать систему из n линейно независимых векторов для любого конечного числа n, то это пространство называется бесконечномерным.

Размерность пространства обозначается в виде dim V.

Определение 9. Базисом или базой, в n-мерном векторном пространстве V называется любая ее система из n линейно независимых векторов.

Если e1, e2, …, en - база пространства V и v=x1e1+x2e2+…+xnen, то числа x1, x2, …, xn определяются однозначно и называются координатами вектора v в базе e1, e2, …, en. Вектор v в этом случае можно записать в виде v=( x1, x2, …, xn).

2.2 Эвклидовы и унитарные пространства

1. Билинейные и квадратичные формы

Определение 1. Линейной функцией, или линейной формой, в векторном пространстве V над полем вещественных (комплексных) чисел Р называется отображение f векторного пространства V в поле Р, ставящее в соответствие каждому вектору вещественное (комплексное) число, если это отображение удовлетворяет следующим условиям:

1) f(x+y)=f(x)+f(y);

2) f(x)=f(x),

где x, y - произвольные векторы из пространства V, а P.

Если dimV=n, e1, e2, …, en - базис пространства V и x= x1e1+x2e2+…+xnen - произвольный вектор из этого пространства, то

f(x)=f(x1e1+x2e2+…+xnen)= x1f(e1)+x2f(e2)+…+xnf(en) или

f(x)= a1x1+a2x2+…+anxn, где ai=f(ei), i=1, 2, …, n.

Таким образом, при фиксированном базисе линейная функция представляется линейной формой (формой называется однородный многочлен).

Определение 2. Полулинейной формой или линейной функцией второго рода называется функция f, удовлетворяющая следующим условиям:

1) f(x+y)=f(x)+f(y)

2)

где - число, комплексно-сопряженное с .

Определение 3. Функция A(x, y) векторов x и y векторного пространства V над полем вещественных чисел называется билинейной функцией или билинейной формой, если при фиксированном x она является линейной функцией от y, а при фиксированном y - линейной функцией от x.

По аналогии с линейной функцией можно показать, что билинейная функция представляется билинейной формой, т. е. выражением вида

, где aik=A(ei, ek).

Поэтому билинейную функцию часто тоже называют билинейной формой.

Если A(x, y)=A(y, x) при любых x и y, билинейная форма A(x, y) называется симметрической.

Определение 4. Функция A(x, x), которая получена из симметрической билинейной формы, если наложить y=x, называется квадратичной формой.

Определение 5. Функция A(x, y) называется полуторалинейной формой векторов x и y комплексного пространства или билинейной формой в комплексном векторном пространстве, если при фиксированном y форма A(x, y) есть линейная форма от x, а при фиксированном x форма A(x, y) есть полученная форма от y.

В комплексном векторном пространстве полуторалинейную функцию можно представить в виде билинейной формы , где aik=A(ei, ek).

Определение 6. Билинейная форма в комплексном пространстве называется эрмитово-симметрической или эрмитовой, если A(x, y)= для всех векторов x и y из этого пространства.

Определение 7. Эрмитовой квадратичной формой называется функция, полученная из эрмитово-симметрической формы A(x, y), если положить в ней y=x. Так как A(x, x)=, то эрмитова квадратичная форма принимает только вещественные значения.

Определение 8. Квадратичной формой на пространстве V (вещественном или комплексном) называется такое отображение (Р - поле вещественных или комплексных чисел), для которого существует билинейная (полуторалинейная в случае Р=С) форма В(x, y) со свойством A(x)=B(x, x) для любого вектора xV.

2. Эвклидовы и унитарные пространства

Определение 9. Симметрическая билинейная форма A(x, y) на вещественном пространстве (эрмитово-симметрическая форма на комплексном пространстве) называется положительно определенной, если A(x, x)>0 для любого, отличного от нуля вектора x из рассматриваемого пространства.

Определение 9. Квадратичная форма (эрмитова квадратичная форма) называется положительно определенной, если для любого вектора x0 она принимает положительное значение.

Определение 10. n-мерным эвклидовым (унитарным) пространством называется n-мерное вещественное (комплексное) векторное пространство с положительно определенным симметрическим (эрмитовым) скалярным произведением.

Все вводимые далее понятия пригодны как для эвклидовых, так и для унитарных пространств.

Определение 11. База e1, e2, …, en эвклидова (унитарного) пространства называется ортогональной, если (ei, ej)=0, ij, i, j=1, 2, …, n, и ортонормированной, если она ортогональна и длина всех векторов равны единице.

3. Изометрия эвклидовых и унитарных пространств

Определение 12. Взаимно однозначное отображение f модуля М на модуль М над одним и тем же кольцом K называется изоморфизмом, если выполняются следующие условия:

1. f(x, y)=f(x)+f(y)=x+y; x=f(x); y=f(y);

x, yM;

2. f(x)=f(x)=x; xK; xM; x=f(x)M.

Определение 13. Два векторных пространства W и W над полем Р называются изоморфными, если они изморфны как модули над кольцом, которым является поле Р.

Пусть теперь даны два векторных пространства W и W со скалярными произведениями A(x, y) и A(x, y) над полем Р.

Определение 14. Изометрией векторных пространств W и W называется любой их изморфизм, который сохраняет значения всех скалярных произведений, т. е.

A(x, y)= A(f(x), f(y))= A(x, y); x, yW;

f(x)=x; f(y)=y.

В эвклидовом пространстве из определения длины вектора и угла между двумя векторами следует, что при изометрии сохраняются длины векторов и углы между ними, т. е. сохраняются метрические соотношения, чем и объясняется название «изометрия». В унитарном пространстве при изометрии сохраняются длины векторов, ортогональные векторы переходят в ортогональные векторы.

2.3 Матрицы

1. Линейные отображения, операторы и матрицы

Определение 1. Отображение f: VW векторного пространства V в векторное пространство W над полем Р называется линейное отображение, если для всех v, v1, v2V, P выполняются условия:

f(v1+v2)=f(v1)+f(v2);

f(v)=f(v).

Если V=W, то линейное отображение называется линейным оператором или линейным преобразованием пространства V.

Пусть e1, e2, …, en - базис пространства V, а e1, e2, …, en - базис пространства W. Образы базисных векторов пространства V в базисе пространства W можно записать в виде

(i=1, 2, …, m) (1)

Коэффициенты в выражении (1) запишем в виде матрицы, которая называется матрицей линейного отображения f.

.

В случае линейных операторов, т. е. линейных отображений векторного пространства в себя, операторы удобно обозначать , а матрицу оператора в фиксированном базисе - в виде А.

2. Унитарные, ортогональные, эрмитовы операторы и матрицы

Определение 2. Линейные операторы эвклидова (унитарного) пространства, которые сохраняют скалярное произведение векторов этого пространства, называется ортогональными (унитарными) операторами.

Пусть e1, e2, …, en - ортонормированная база унитарного (эвклидова) пространства. Если - унитарный (ортогональный) оператор, то согласно его определению

(ei, ej)= (ei, ei)=1, i=1, 2, …, n;

(ei, ej)= (ei, ej)=0, iy. (2)

Это означает, что система векторов e1, e2, …, en сама составляет ортонормированную базу в соответствующем пространстве.

Пусть А - матрица унитарного (ортогонального) оператора. Тогда можно записать . Из выражения (2) следует, что в матрице А скалярные произведения векторов-столбцов на себя равны единице, а скалярное произведение различных векторов-стобцов равно нулю. Такая матрица называется унитарной (ортогональной). Унитарность (ортогональность) матрицы А означает, что сумма произведений элементов, стоящих в любом столбце этой матрицы, на сопряженные (на те же самые) к ним элементы равны единице, а сумма произведений элементов любого столбца на сопряженные к ним (на соответственные к ним) элементы другого столбца равна нулю.

Определение 3. Матрица А* называется эрмитово сопряженной (или просто сопряженной) по отношению к матрице А, если А*=, т. е. для того, чтобы из матрицы А получить эрмитово сопряженную матрицу, ее надо транспонировать и заменить элементы транспонированной матрицы комплексно-сопряженными элементами.

Определение 4. Матрица А называется самосопряженной или эрмитовой матрицей, если A=A*; в том же случае, если элементы матрицы вещественны, A*=At=A и матрица А называется симметрической матрицей.

Определение 5. Матрица А называется унитарной (ортогональной) матрицей, если A*=A-1 (если At=A-1). Операторы, соответствующие эрмитовым матрицам, будем называть эрмитовыми.

2.4 Представления групп

1. Определение представлений

Определение 1. Представлением группы, действующим в n-мерном векторном пространстве V, называется гомоморфизм этой группы в группу невырожденных линейных операторов пространства V.

Невырожденным называется такой оператор , который имеет обратный оператор , дающий по определению в произведении с единичный оператор : ==.

Определение 2. Матричным представлением группы G называется гомоморфизм этой группы в группу невырожденных комплексных или действительных матриц размера nn.

Определение 3. Подстановочным представлением группы G называется гомоморфизм этой группы в группу подстановок порядка n. Если гомоморфизм группы G в группу операторов, матриц или подстановок является изморфизмом, то он называется точным представлением.

Представление группы будем обозначать буквой Т. Пусть g1 и g2 - любые элементы группы G, а Т(g1) и Т(g2) - соответствующие этим элементам матрицы представления. Тогда согласно определению гомоморфизма группы

Т(g1, g2)= Т(g1) Т(g2). (4)

Определение 4. Два матричных представления Т1 и Т2 группы G в некоторую группу матриц называется эквивалентным, если существует невырожденная матрица такая, что для всех матриц Т1(g), Т2(g) представления будет иметь место равенство

Т2(g)=Ф-1 Т1(g)Ф, gG (5)

Эквивалентные представления не различаются.

2. Приводимые и неприводимые представления

Воспользуемся языком линейных операторов. Пусть дано некоторое представление Т группы G, действующее в векторном пространстве V. Каждому вектору vV оператор (g) сопоставляет вектор (v)=v1 этого же пространства. Пусть W - подпространство пространства V.

Определение 5. Подпространство W пространства V называется инвариантным подпространством действия , если, каковы бы ни были элементы gG и векторы wW, T(w)=w1, где w1W.

Определение 6. Представление T группы G, действующее в векторном пространстве V над полем Р, называется приводимым представлением, если в этом пространстве существуют неприводимые инвариантные относительно этого действия подпространства. Представление Т называется неприводимым, если единственные его инвариантные подпространства - О и само пространство V.

Интерпретируем это определение на языке матриц. Пусть представление Т группы G приводимо. Значит, в пространстве V представления может быть найдено нетривиальное инвариантное подпространство W. Пусть e1, e2, …, ek - базис пространства W. Дополним его до базиса е1, е2, …, еk, ek+1, …, en всего пространства V. Так как W инвариантно, то (еi), где i=1, 2, …, k лежат в W. Поэтому

(еi)=a1ie1+a2ie2+…+akiek, i=1, 2, …, k.

Но так как эти векторы лежат и в пространстве V, то можно также написать

(еi)=a1ie1+a2ie2+…+akiek+0ek+1+…+0en, i=1, 2, …, k.

Что же касается отдельных базисных векторов ek+1, ek+2, …, en, то, поскольку они не принадлежат W, их образы выражаются через базис наиболее общим способом и получаем следующую картину:

(е1)=a11e1+a21e2+…+ak1ek+0ek+1+…+0en

(е2)=a12e1+a22e2+…+ak2ek+0ek+1+…+0en

(еk)=a1ke1+a2ke2+…+akkek+0ek+1+…+0en

(еk+1)=a1,k+1e1+a2,k+1e2+…+ak,k+1ek+ ak+1,k+1ek+1+…+an,k+1en

(еn)=a1ne1+a2ne2+…+aknek+ ak+1,nek+1+…+annen.

Отсюда видно, что матрицы всех элементов группы G в предствлении Т будут одновременно иметь следующий вид:

 (6)

Поэтому на языке матриц матричное представление называется приводимым, если все матрицы его могут быть записаны при определенном выборе базиса в виде (6). Если же ни при каком выборе базиса матрицы представления нельзя записать в указанном виде, представления называются неприводимыми.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6