С211=0; С212=1; С213=0;

С311=0; С312=0; С313=1;

С121=0; С122=1; С123=0;

С221=2; С222=1; С223=0; (26)

С321=0; С322=0; С323=2;

С131=0; С132=0; С133=1;

С231=0; С232=0; С233=2;

С331=3; С332=3; С333=0;

Тогда находим следующие системы уравнений:

(27)

Подставляя в найденные системы уравнений (27) значения из выражений (26), получим

 (1-х1) х1=0; - х2 х1+ х2=0; - х3 х1+ х3=0;

(1-х1) х2=0; (I) 2х1+(1-х2) х2=0; (II) - х2 х3+2х3=0; (III) (28)

(1-х1) х3=0; (1-х2) х3=0; 3х1+3х2-x32=0.

Обратим внимание на два обстоятельства.

1. Во всех трех системах находятся одни и те же неизвестные, стоящие вторыми сомножителями, т. е. вектор x=(x1, x2, x3) является общим собственным вектором всех матриц С(1), С(2), С(3).

2. Указанные системы можно получить, взяв матрицы (24), транспонировать их, рассмотреть разности C(1)-X1E, C(2)-X2E, C(3)-X3E и затем умножить полученные матрицы на столбец (x1, x2, x3)Т (знак Т обозначает транспонирование).

Заметим, что выше уже записаны уравнения для нахождения собственных векторов матриц C(i), однако в этих уравнениях фигурируют собственные значения этих матриц, которые необходимо найти. Для матрицы С(1) получаем трехкратное собственное значение, равное единице, поэтому находим собственные значения матриц С(2) и С(3). Запишем для них вековые уравнения:

; . (29)

Раскрывая определить третьего порядка, получаем

(2--2)(2-)=0; 1=2=2; 3=-1; -3-9=0; 1=0; 2=3; 3=-3.

4. Находим теперь собственные векторы для рассматриваемых матриц. Для матрицы С(1) - это произвольный вектор x1(1)= (x1, x2, x3). Для собственного значения =2 матрицы С(2) имеем

,

где x3 - любое. Сам вектор можно записать в виде x2(2)= (x1, x2, x3). Поскольку =2 - двукратное собственное значение, то матрица С(2) имеет два линейно независимых собственных вектора с собственными значениями, равными 2, например, (1 1 0) и (0 0 1) (фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений).

Для =-1 в случае той же матрицы находим

x2(-1)=(-2x2, x2, 0)=(2x2, -x2, 0); x2=-x2.

Для собственного значения =0 матрицы С(3) получаем х3(0)=х2(-1), т. е. мы уже нашли общий собственный вектор матриц С(1), С(2), С(3).

Для =3 в случае матрицы С(3) запишем x3(3)= (x1, x1, x1).

Для =-3 той же матрицы С(3) получим x3(-3)= (x1, x1, -x1).

Таким образом, выполнили пункт 4 алгоритма для нахождения характеров неприводимых представлений конечных групп. Чтобы выполнить пункт 5, необходимо найти общие собственные векторы для всех матриц C(i), i=1, 2, 3. Один из них уже найден - это вектор x3(3)=(x1, x1, x1) приравнивается вектору x2(2)= (x1, x1, x3), откуда следует, что x3=x1. Получим второй общий собственный вектор. Соответствующие собственные значения для этого вектора запишем в виде (1, 2, 3).

Приравняем теперь векторы x3(-3)= (x1, x1, -x1) и x2(2)= (x1, x1, x3). Это дает x3=-x1, т. е. третьим общим собственным вектором рассматриваемых матриц будет вектор (x1, x1, -x1). Поскольку матрица С(3) имеет все различные собственные значения, то соответствующие собственные подпространства одномерны. Но так как у матриц С(2) и С(3) должны быть общие собственные векторы, это накладывает ограничения x3=-x1 для собственных векторов матриц С(2) вида x2(2), которые образуют двумерное собственное подпространство. Чтобы получить характеры неприводимых представлений, необходимо нормировать полученные общие собственные векторы, учитывая, что порядок группы S3 равен 6 и что числа элементов в классах сопряженных элементов образуют вектор (1, 2, 3). Умножив скалярно вектор x3(3)= (x1, x1, x1) на вектор (1, 2, 3) и разделив на 6, получим

; x1+2x1+3x1=6,

т. е. х1=1.

Таким образом, получаем первый характер х1=(1, 1, 1). Для вектора (x1, x1, -x1), умножая его скалярно на (1, 2, -3) и деля на 6, также получаем x1=1, что дает характер х2=(1, 1, -1). Наконец, для вектора (2х2, -х2, 0) получаем

, (30)

откуда х2=1.

Заметим, что скалярный квадрат вектора (2х2, -х2, 0) равен 4x22+2x22=6x22, так как имеется два элемента в классе сопряженных

элементов K2={(1 2 3), (1 3 2)} - этим и вызвано появление множителя 2 в выражении (30). С другой стороны, этот множитель равен размерности неприводимого представления группы S3, так что x3=(2, -1, 0) есть характер двумерного неприводимого представления группы S3. Полученные результаты удобно записать в виде следующей таблицы.

Таблица 5

Характеры неприводимых представлений группы S3=C3V

Таблица 5 - это известная таблица характеров неприводимых представлений группы S3 (см. табл. 2), только в нижней части ее указаны собственные значения матриц C(1), C(2), C(3), которые дают общие собственные векторы этих матриц.

Составив табл. 5, одновременно нашли первую и вторую собственную матрицу P и Q. Матрица, стоящая внизу в таблице, - это первая собственная матрица. Вторую собственную матрицу Q можно получить из соотношения PQ=QP=|G|E или найти с использованием общих правых собственных векторов-матриц Ci. Матрица Q имеет вид (рядом указана транспонированная матрица)

; .

В соответствии с теоремой 1 таблица характеров неприводимых представлений группы S3 находится по формуле

.

Здесь m1=1; m2=1; m3=4, поэтому

,

где в правой части находится таблица неприводимых характеров группы S3, приведенная в верхней части табл. 5.

2.6 Операторы проектирования

1. Операторы проектирования и идемпотенты кольца

Пусть векторное пространство V равно прямой сумме подпространств W и L: . По определению прямой суммы это означает, что каждый вектор vV однозначно представим в виде v=w+l, wW. lL.

Определение 1. Если , так что v=w+l, то отображение , сопоставляющая каждому вектору vV его компоненту (проекцию) wW, называется проектором пространства V на пространство W. называют также оператором проектирования, или проекционным оператором.

Очевидно, если wW, то (w)=w. Отсюда следует, что обладает следующим замечательным свойством 2=Р.

Определение 2. Элемент е кольца K называется идемпотентом (т. е. подобным единице), если е2=е.

В кольце целых чисел есть всего два идемпотента: 1 и 0. Иное дело в кольце матриц. Например, матрицы , , , - идемпотенты. Матрицы операторов проектирования также идемпотенты. Соответствующие им операторы называются идемпотентными операторами.

Рассмотрим теперь прямую сумму n подпространств пространства V:

.

Тогда аналогично случаю прямой суммы двух подпространств можем получить n операторов проектирования , , …, . Они обладают свойством ==0 при ij.

Определение 3. Идемпотенты ei и ej (ij) называются ортогональными, если ei ej= ej ei=0. Следовательно, и - ортогональные идемпотенты.

Из того, что IV=V, и из правила сложения линейных операторов следует, что

.

Это разложение называется разложением единицы в сумму идемпотентов.

Определение 4. Идемпотент е называется минимальным, если его нельзя представить в виде суммы идемпотентов, отличных от е и 0.

2. Каноническое разложение представления

Определение 5. Каноническим разложением представления Т(g) называется его разложение вида Т(g)=n1T1(g)+ n2T2(g)+…+ ntTt(g), в котором эквивалентные неприводимые представления Тi(g) объединены вместе, причем ni - кратность вхождения неприводимого представления Ti(g) в разложение T(g).

Теорема 1. Каноническое разложение представления определяется с помощью проекционного оператора вида

, i=1, 2, …, t, (31)

где |G| - порядок группы G; mi - степени представлений Ti(g), где i=1, 2, …, t; i(g), i=1, 2, …, t - характеры неприводимых представлений Ti(g). При этом mi определяется по формуле

. (32)

3. Проекционные операторы, связанные с матрицами неприводимых представлений групп

С помощью формул (31) можно получить только каноническое разложение представления. В общем случае, надо воспользоваться матрицами неприводимых представлений, которые позволяют построить соответствующие операторы проектирования.

Теорема 2. Пусть - матричные элементы неприводимого представления Tr(g) группы G. Оператор вида

(33)

является оператором проектирования и называется оператором Вигнера. В выражении (33) mr - размерность представления Tr(g).

4. Разложение представления в прямую сумму неприводимых представлений с помощью оператора Вигнера

Обозначим через М модуль, связанный с представлением Т. Пусть неприводимым представлениям Т1, Т2, …, Тt из канонического разложения представления согласно методу, описанному ранее (см. § 4), соответствуют неприводимые подмодули М1, М2, …, Мt. Разложение модуля М вида

(34)

называется каноническим разложением модуля М. Обозначим niMi=Li, так, что

. (35)

Неприводимые подмодули модулей Li обозначим

; i=1, 2, …, t. (36)

Эти модули нам необходимо найти.

Предположим, что задача решена. Следовательно, в каждом из модмодулей Mi(s) (s=1, 2, …, ni) найдена ортонормированная база , в которой оператор представлен матрицей Тi(g) неприводимого представления Т, полученного в результате действия (по правилу из § 3) оператора на базу по формуле

, j=1, 2, …, mi. (37)

В этом выражении можно считать, что mi - размерность неприводимого представления Ti (i=1, 2, …, t), причем - элементы базы с номером g из неприводимого подмодуля Mi. Разместим теперь элементы базы Li при фиксированном i следующим образом:

(38)

Справа в выражении (38) расположены базы модулей Mi(1), Mi(2), …, . Если же i изменять от 1 до t, то получим искомую базу всего модуля М, состоящего из m1n1+ m2n2+…+ mtnt элементов.

Рассмотрим теперь оператор

, (39)

действующий в модуле М (j фиксировано). Согласно теореме 2, - оператор проектирования. Поэтому этот оператор оставляет без изменения все базисные элементы (s=1, 2, …, ni), расположенные в j-м столбце выражения (38), и обращает в нуль все остальные векторы базы. Обозначим через Mij векторное пространство, натянутое на ортогональную систему векторов , стоящие в j-м столбце выражения (38). Тогда можно сказать, что является оператором проектирования на пространство Mij. Оператор известен, так как известны диагональные элементы матриц неприводимых представлений групп, а также оператор T(g).

Теперь можно решить нашу задачу.

Выберем ni произвольных базисных векторов в M: и подействуем на них оператором проектирования . Полученные векторы лежат в пространстве Mij и являются линейно независимыми. Они не обязательно ортогональны и нормированы. Ортонормируем полученную систему векторов согласно правилу из § 2. Полученную систему векторов обозначим eij(s) в соответствии с обозначениями, принятыми в предположении, что задача решена. Как уже обозначалось, здесь j фиксировано, а s=1, 2, …, ni. Обозначим eif(s) (f=1, 2, …, j-1, j+1, …, mi), остальные элементы базы модуля Mi размерности nimi. Обозначим через следующий оператор:

. (40)

Из соотношений ортогональности для матриц неприводимых представлений следует, что этот оператор дает возможность получить eigs по формуле

, i=1, 2, …, t. (41)

Все сказанное можно выразить в виде следующего алгоритма.

Для того, чтобы найти базу модуля М из элементов, преобразующихся по неприводимым представлениям Тi, содержащихся в представлении Т, связанном с модулем М, необходимо:

По формуле (32) найти размерности подпространств Мij, соответствующих j-компоненте неприводимого представления Ti.

Найти с помощью оператора проектирования (39) все подпространства Mij.

В каждом подпространстве Mij выбрать произвольную ортонормированную базу.

Используя формулу (41), найти все элементы базы, преобразующихся по остальным компонентам неприводимого представления Тi.

Заключение

Группы - один из основных типов алгебраических систем, а теория групп - один из основных разделов современной алгебры. Понадобилась работа нескольких поколений математиков прежде чем идея групп выкристаллизовалась с ее сегодняшней ясностью. От Лагранжа через работы Руффини и Абеля к Эваристу Галуа, в работах которого уже достаточно сознательно используется идея группы (им же впервые введен и сам термин), - вот путь, по которому развивалась эта идея в рамках теории алгебраических уравнений. В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей алгебры, имеющей многочисленные применения в как в самой математике, так и за ее пределами - в топологии, теории функций, кристаллографии, квантовой механике и других областях математики и естествознания. Конечной целью собственно теории групп является описание всех групповых композиций.

Понятие группы позволяет в точных терминах охарактеризовать симметричность той или иной геометрической фигуры. Именно с таких позиций Е.С. Федоров решил задачу классификации правильных пространственных систем точек, являющуюся одной из основных задач кристаллографии.

Независимо и по другим причинам идея группы возникла в геометрии, когда в середине XIX в. на смену единой античной геометрии пришли многочисленные «геометрии» и остро встал вопрос об установлении связей и родства между ними. Выход был указан «Эрлангенской программой» Клейна, положившей в основу классификации геометрий понятие группы преобразований.

Лежащее в фундаменте современной математики понятие группы является весьма разносторонним орудием самой математики. Вместе с тем группы - это мощный инструмент познания одной из наиболее глубоких закономерностей реального мира - симметрии.

Список использованной литературы

Морозов В.П., Дышлис А.А. Лекции по теории симметрии молекулы: Учеб. пособие. - Днепропетровск: Изд-во ДГУ, 1991. - 180 с.

Александров П.С. Введение в теорию групп. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической лит-ры, 1980 - 144 с.

Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп - 4-е изд., перераб. - М.: Наука. Физматлит, 1996 - 288 с.

Минкин В.И., Симкин Б.Я., Миняев Р.М. Теория строения молекул./ Серия «Учебники и учебные пособия». Ростов-на-Дону: «Феникс», 1997 - 560 с.

Дей К., Селби Д. Теоретическая неорганическая химия. Пер. с англ.; под ред. д-ра хим. наук К.В. Астахова. Изд. 3-е, испр. и доп. М., «Химия», 1976 - 568 с.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. - М.: Наука, 1965 - 588 с.

Глинка Н.Л. Общая химия: Учеб. пособие для ВУЗов, - 23-е изд., испр./ Под ред. В.А. Рабиновича. - Л.: Химия, 1983 - 704 с.

Курош А.Г. Курс высшей алгебры - М.: Наука, 1971 - 432 с.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6